Nå som vi har fått lagt oss til rette på den nye planeten vår, har vi fått sendt opp et par satellitter som går i bane rundt planeten. Disse satellittene har blitt utstyrt med antenner som gjør at de har mulighet å fungere som GPS. De fungerer på nøyaktig samme måte som solsystemposisjoneringssystemet vi løste i en forrige bloggpost. Vi vil så bruke disse satellittene til å finne posisjonen vår på planeten.
Som tittelen sier, er ikke dette bare å bruke vanlig klassisk fysikk. Likevel ser vi hva vi ville ha fått om vi hadde brukt dette. La oss starte med noen antakelser for å forenkle matten nok til at vi kan løse det relativt elegant. Vi antar at planeten ikke roterer, lar origo være i sentrum av planeten slik at vi ikke trenger å ta hensyn til at vi beveger oss heller. Satellittene har en sirkulær bane rundt ekvator og ikke påvirket av noen annen kraft enn gravitasjonskraften. Satellittene kan også sende meldingene sine gjennom planeten.
Nå som det er sagt, vil jo dette gi oss at vi egentlig bare trenger to satellitter til å finne posisjonen vår, ettersom vi mest sannsynlig ikke befinner oss noen andre sted enn på overflaten. er det bare å sitte i treet vårt og prøve å få kontakt med disse satellittene. Vi sender så en forespørsel.
Rød satellitt: {x: 8943,565 km, y: -6349,441 km, t: 46,6651117 s}
Blå satellitt: {x: 10920,075 km, y: -1026,955 km, t: 46,6596009 s}
Klokken min viser så {t: 46,7056120 s}, det er så en liten forsinkelse mens vi venter på svar. I denne delen tar vi ekstra godt vare på desimalene våre, for de vil komme til nytte senere. Hva blir så banen til satellittene? Jo vi kan da bare bruke pytagoras av koordinatene for å få radiusen!
\(|r| = \sqrt{x^2+y^2} \\ |r_r| = \sqrt{8943.565^2 + (-6349.441)^2} = 10968.26129 \mathrm{km} \\ |r_b| = \sqrt{10920.075^2 + (-1026.9552)^2} = 10968.25760 \mathrm{km}\)
Vi finner så høyden over bakken ved å trekke fra radiusen til planeten:
\(|r_p| = 4064.7662769 \mathrm{km} \\ h_r = 10968.26129 \mathrm{km} - 4064.7662769 \mathrm{km} = 6903.49502 \mathrm{km} \\ h_b = 10968.25760 \mathrm{km} - 4064.7662769 \mathrm{km} = 6903.49133 \mathrm{km} \)
De går så i en bane rundt planeten vår på en høyde 6903.5 km! Vi kan så spørre om hvilken hastighet de vil holde rundt planeten vår! Om du husker fra keplers lover hadde vi den modifiserte Keplers tredje lov som ga:
\(P^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}a^3\)
Vi kan bruke dette til å finne omløpstiden som vi kan bruke igjen til å finne banehastigheten. Vi lar så omløpstiden være t, radiusen være r og fjerner massen til satellitten ettersom planeten har en MYE MYE større masse enn denne. Definitivt ikke fordi jeg glemte å måle vekten på den før vi skjøt den opp!
\(t = \sqrt{\frac{4\pi^2}{Gm_p}r^3} = 2\pi r\sqrt{\frac{r}{Gm_p}}\)
\(v = \frac{2\pi r}{t} \\ v = \frac{2\pi r}{2\pi r\sqrt{\frac{r}{Gm_p}}} = \sqrt{\frac{Gm_p}{r}}\)
\(m_p = 1.26077389\cdot10^{24} \\ v = \sqrt{\frac{G\cdot1.26077389\cdot10^{24}}{10968.25760\cdot10^3}} = 2769.8 \mathrm{m/s}\)
Vi kan så gjøre våres trilaterasjonsteknikker til å finne hva vår posisjon blir. Vi vet også at distansen mellom oss og satellittene kan skrives som \(c\Delta t\) fordi dette er distansen meldingen fra satellitten (som er stråling) må dra før den når oss.
\(|r-r_{sat}| = c\Delta t \)
Vi kan så gjøre et lite triks for å finne vinkelen \(\alpha\) mellom vektorene:
\((r-r_{sat})^2 = c^2\Delta t^2 \\ |r|^2-2r\cdot r_{sat} + |r_{sat}|^2 = c^2\Delta t^2 \\ 2|r|\cdot|r_{sat}|\cdot \cos{\alpha} = |r|^2 + |r_{sat}|^2 - c^2\Delta t^2 \\ \alpha = \cos^{-1}\left(\frac{|r|^2 + |r_{sat}|^2 - c^2\Delta t^2 }{2|r|\cdot|r_{sat}|}\right)\)
Denne vinkelen må så adderes eller subtraheres fra vinkelen (\(\theta\)) til vektoren til satellitten, dette vil så gi oss vår posisjonsvinkel (\(\phi\)).
Spørsmålet er så; hva er posisjonen vår? Posisjonen vår kan vi finne ved å gjøre om fra polarkoordinater tilbake til kartesiske.
\(r = (r_p\cos{\phi}, r_p\sin{\phi})\)
Vi får dermed:
\(\Delta t = t - t_{sat}\\ \alpha_r = \cos^{-1}\left(\frac{|r_p|^2 + |r_{r}|^2 - c^2\Delta t^2 }{2|r_p|\cdot|r_{r}|}\right) = \pm 1.6899\\ \alpha_b = \cos^{-1}\left(\frac{|r_p|^2 + |r_{b}|^2 - c^2\Delta t^2 }{2|r_p|\cdot|r_{b}|}\right) = \pm 2.2135\)
Før vi kan finne vår egen vinkel, må vi vite vinkelen til satellittene. Vi finner så polarkoordinaten fra de kartesiske koordinatene:
\(\theta_r = \tan^{-1}{\frac{-6349.441}{8943.565}} = -0.6173695 \\ \theta_b = \tan^{-1}{\frac{-1026.955}{10920.075}} = -0.09376707\)
\(\phi = -0.6173695 \pm 1.6899\\ \phi = -0.09376707 \pm 2.2135\)
Vi ser så at den vi må trekke fra på begge om vi skal få vinklene til å samsvare:
\(\phi = -2.30726 \\ r = (4064.7662769\cdot\cos{(-2.30726)}, 4064.7662769\cdot\sin{(-2.30726)}) = (-2730.19\mathrm{km},-3011.38\mathrm{km})\)
Nå som vi har gått igjennom metoden for å finne posisjonen vår på planeten, kan vi jo nå ta i betrakning at vi er i et akselerert system, og vet så at tiden vil oppleves annerledes for en som står på bakken enn noen som går i bane rundt planeten. Dette vil jo så ha en innvirkning på vår \(\Delta t\)! Husker du uttrykket vi fant i tvillingparadokset? Denne vil så gjelde når en som ikke er i et akselerert system ser på det akselererte systemet. Vi kan derimot dele disse to uttrykkene på hverandre for å finne skalaren som tiden endrer seg på og danne oss en formel som tar i betrakning at vi selv er i et akselerert system.
\(\Delta T' = \sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\Delta T\)
Som vi ble enig om måtte være:
\(\frac{\Delta T}{\Delta T_{sat}} = \frac{\sqrt{1-\frac{2GM}{r}}}{\sqrt{1-\frac{2GM}{r_{sat}}}} \\ \Delta T = \sqrt{\frac{1-\frac{2GM}{r}}{1-\frac{2GM}{r_{sat}}}}\Delta T_{sat}\)
Vi må så også huske at det ikke bare er et akselerert system, men har også en fart! Vi husker at dette betydde at en tidsdilatasjon ville skje. Vi må så også ta i betrakning at:
\(\Delta t = \gamma \Delta t_{sat}\)
Nå som vi har alle verktøyene vi skulle trenge for å løse problemet relativistisk, er det jo bare å sette i gang. Vi kan nå finne en generell løsning som løser for tidsdilatasjonen og akslerert system samtidig ved å sette opp hele Schwarzschild linjeelementet:
\(\Delta T' = \sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\Delta T - r\Delta \theta\)
\(\Delta T = \sqrt{\frac{1-\frac{2GM}{r}}{1-\frac{2GM}{r_{sat}}-v_\theta^2}}\Delta T_{sat}\)
Vi må huske at den skal være dimensjonsløs, og må så gange inn lyshastigheten for å få massen i meter. Dette høres kanskje litt sprøtt ut, men i relativitetsteorien kan du bruke lyshastigheten til å gjøre om enheter til andre:
\(\Delta T = \sqrt{\frac{1-\frac{2GM}{c^2r}}{1-\frac{2GM}{c^2r_{sat}}-(\frac{v_\theta}{c})^2}}\Delta T_{sat}\)
Dermed kan vi finne skalaren vår ved å regne denne ut:
\(\Delta T = 0.9999999998977085\Delta T_{sat}\)
Det er så en veldig liten forskjell i tiden, man kan jo tenke seg at det er en veldig liten forskjell om vi regner relativistisk eller ikke? La oss sette dette inn i formelen for posisjonen:
\(\Delta t = t - 0.9999999998977085t_{sat}\\ \alpha_r = \cos^{-1}\left(\frac{|r_p|^2 + |r_{r}|^2 - c^2\Delta t^2 }{2|r_p|\cdot|r_{r}|}\right) = \pm 1.6899\\ \alpha_b = \cos^{-1}\left(\frac{|r_p|^2 + |r_{b}|^2 - c^2\Delta t^2 }{2|r_p|\cdot|r_{b}|}\right) = \pm 2.2135\)
Du har så rett, vi ser ikke en forskjell i kalkulasjonene våre. La oss gjøre en ny forespørsel til satellitten og se om dette stemmer fortsatt.
Rød satellitt: {x: -7192,747 km, y: 8280,528 km, t: 15506.2226783 s}
Blå satellitt: {x: -2088,837 km, y: 10767,521 km, t: 15506,2171674 s}
Og vi måler {t: 15506,2631770 s}. La oss løse dette problemet klassisk igjen:
\(\Delta t = t - 0.9999999999228398t_{sat}\\ \alpha_r = \cos^{-1}\left(\frac{|r_p|^2 + |r_{r}|^2 - c^2\Delta t^2 }{2|r_p|\cdot|r_{r}|}\right) = \pm 1.68977\\ \alpha_b = \cos^{-1}\left(\frac{|r_p|^2 + |r_{b}|^2 - c^2\Delta t^2 }{2|r_p|\cdot|r_{b}|}\right) = \pm 2.21333\)
\(\theta_r = \tan^{-1}{\frac{8280.528}{-7192.747}} = -0.8555833 \\ \theta_b = \tan^{-1}{\frac{10767.521}{-2088.837}} = -1.3791822\)
\(\phi = -0.8555833 \pm 1.68977\\ \phi = -1.3791822 \pm 2.21333\)
Vi får så at vi må addere over og under for at de skal samsvare:
\(\phi = 0.8341478 \\ r = (4064.7662769\cdot\cos{(0.8341478)}, 4064.7662769\cdot\sin{(0.8341478)}) = (2730.747\mathrm{km},3010.871\mathrm{km})\)
Hmm, her ble det litt annerledes enn det vi fikk før. Ser ut som det har vært fortegnsfeil, men ser vi bort fra det har jo y-aksen endret seg med en hel kilometer! La oss nå regne på dette relativistisk:
\(\Delta t = t - 0.9999999999228398t_{sat}\\ \alpha_r = \cos^{-1}\left(\frac{|r_p|^2 + |r_{r}|^2 - c^2\Delta t^2 }{2|r_p|\cdot|r_{r}|}\right) = \pm 1.6899\\ \alpha_b = \cos^{-1}\left(\frac{|r_p|^2 + |r_{b}|^2 - c^2\Delta t^2 }{2|r_p|\cdot|r_{b}|}\right) = \pm 2.21351\)
\(\phi = -0.8555833 \pm 1.6899 \\ \phi = -1.3791822 \pm 2.21351\)
Vi resonnerer likt som ved den klassiske løsningen at vi må addere.
\(\phi = 0.8343167 \\ r = (4064.7662769\cdot\cos{(0.8343167)}, 4064.7662769\cdot\sin{(0.8343167)}) = (2730.239\mathrm{km},3011.332\mathrm{km})\)
La oss nå se hva den absolutte feilen blir når vi antar at den relativistiske er presis:
\(|r-r_k| = 0.685992\)
Så uten den relativistiske, får vi en feil på hele 700m! Dette er ikke bra når vi vil finne posisjonen vår, og dette var jo bare etter 4 timer fra vi nullstilte klokken! Tenk hvor ubrukelig den blir etter bare en dag?
Vi ser derfor at planetens akselerasjonsfelt har noe å si for tiden på en satellitt som kun beveger seg 2.8km/s. Dette vil gjøre GPS-systemet ubrukelig med mindre vi tar i betraktning at vi er i et akselerert system. En feilkilde som godt kan ha oppstått er at vi tok for lite desimaler, selv om vi prøvde å holde på mange. Dette har så å si på posisjonen vi fant ved relativistisk og klassisk. Det er klart at det har skjedd en endring allerede fra første måling, men den var liten nok til å unnslippe desimalkuttene våre.