Tvillingparadokset

La oss si at vi har en venninne som heter Lisa. Lisa bor i en galakse langt, langt borte på en planet som heter Homey. Hun har så gjerne lyst å besøke planeten Destiny, som ligger 200 lysår unna. Lisa hopper så på romskipet sitt som heter Apollo-Out, og drar mot Destiny på en fart 0.99c. Denne ideen hadde Peter også fra planeten Beyond, en planet som også ligger like langt unna Destiny.

Vi vil så ha tre referansesystemer. Et som følger planetene, et som følger Lisa og et som følger Peter. Vi kaller så event A når Lisa drar fra Homey, event B når Lisa ankommer Destiny.

La oss begynne ved å se på noen problemstillinger nå som vi har introdusert situasjonen. Hvor lang tid tar det for Lisa å nå Destiny (event B)? La oss se på dette først fra planetenes referansesystem. Siden Lisa har konstant fart kan vi bruke vegformelen til å løse for tiden:

\(t_B = \frac{200c\:\mathrm{yr}}{0.99c} \approx 202 \mathrm{yr}\)

Vi kan så bruke det vi vet om tidsdilatasjon for å finne ut hvor lang tid dette gikk for Lisas referansesystem:

\(t'_B = \frac{t_B}{\gamma}\)

Hvor gamma er lorentzfaktoren som vi snakket om her.

\(t'_B = \sqrt{1-0.99^2}\cdot202 \mathrm{yr}\approx28.5\mathrm{yr}\)

For en hel tur-retur vil jo vi kunne gange disse med to på grunn av symmetri for å få tiden:

\(\Delta t = 404 \mathrm{yr}\\ \Delta t' = 57 \mathrm{yr}\)

Virker rimelig så langt, den som beveger seg raskere vil oppleve en tregere tid, dette stemmer med det vi vet i relativitetsteorien. La oss nå bytte referansesystem til Lisa, og finne ut hvor lang tid hun faktisk opplever. Ifølge Lisa, står hun i ro mens Homey forsvinner vekk fra henne med en fart 0.99c. Vi skal så kunne gjøre tidsdilatasjonen fra Lisas system og komme oss tilbake:

\(t_B = \frac{t'_B}{\gamma} \\ t_B = \sqrt{1-0.99^2}28.5 \mathrm{yr} \approx 4 \mathrm{yr}\)

Dette kan jo ikke stemme, det har bare gått 4 år på Homey, men det skal jo ha gått 202 år! Hvor har alle årene blitt av? For hele turen har du jo bare gått 8 år på Homey, men det skulle jo være 404 år? Et paradoks? Ikke nødvendigvis...

Vi har gjort en antakelse at Lisa har hatt konstant fart gjennom hele turen, dette er ikke helt riktig. Det kan godt være hun var i sitt eget referansesystem når hun var på veg til Destiny, men når hun snur, så kan hun ikke ha hatt en konstant fart ettersom hun endret retning! Lisa har dermed byttet referansesystemer, hun var ikke lenger i et inertialsystem, men et akselerert. Her bryter den spesielle relativitetsteorien ned.

La oss nå se litt nærmere på dette. Når Lisa ankommer Destiny skjer event B', som er en annen rakett med lik hastighet som ankommer Homey når Lisa ankommer Destiny. Denne raketten ser på klokkene på Homey og sender et lyssignal til de på Homey når hun er fremme. Når sender denne raketten ut lyssignalet ifølge planetenes referansesystem? Vi henter så fram lorentztransformasjonene og hadde at:

\(t_B = \frac{L_0}{v} \\ t'_B = \gamma(t_B-vx) = \gamma(\frac{L_0}{v}-vL_0) = \gamma L_0(\frac{1-v^2}{v}) = \frac{L_0}{\gamma v} \\ t'_B = \frac{200\cdot\sqrt{1-0.99^2}}{0.99} = 28.5\)

Som stemmer med det vi fikk tidligere. Vi bruker så lorentztransformasjonen for å finne x'_B'. Vi vet at i Lisas referansesystem så skjedde B og B' simultant, og kan sette \(t'_B=t'_{B'}\). Vi vet også at distansen mellom planetene Homey og Destiny har opplevd en lengdekontraksjon. Som gir oss at \(x'_{B'} = \frac{L_0}{\gamma}\).

\(t_{B'} = \gamma(\frac{L_0}{\gamma v}-v\frac{L_0}{\gamma}) = \frac{L_0}{v}-vL_0 \\ t_{B'} = \frac{200}{0.99}-0.99\cdot200 \approx 4\)

Det må så nemlig stemme det vi hadde gjort, det som vi hadde glemt er at samtidigheten er relativ. For de på Homey har ikke Lisa kommet fram enda, men i Lisas referansesystem har hun kommet fram. Dette virker kanskje litt mystisk, men som vi hadde vist før kan jo eventer skje på forskjellig tidspunkt mellom referansesystemer. 

Vi lar så endelig Peter få bli med og vil så finne når han kommer fram til Destiny. Vi lar så et nytt event B'' være lyssignalet Peter gir når Lisa hopper over fra sin egen rakett til Peters. Vi tyr til det vi lærte om tideromsavstander og løser:

\(\Delta x_{BD} = x_D - x_B = L_0 \\ \Delta x''_{BD} = x''_D - x''_B = 0 \\ \Delta t_{BD} = t_D - t_B = -\frac{L_0}{v}\\ \Delta t''_{BD} = t''_D - t''_B = - t''_B \\ \Delta S_{BD}^2 = \Delta t_{BD}^2 - \Delta x_{BD}^2 \\ \Delta S_{BD}''^2 = \Delta t_{BD}''^2 - \Delta x_{BD}''^2 \\ t_B''^2 = (\frac{L_0}{v})^2 - L_0^2 \\ t_B'' = \frac{L_0}{\gamma v}\)

Som forteller oss at det tok like lang tid for Peter som Lisa å komme seg til Destiny. Dermed finner vi for t_B''. Vi vet at x''_B'' må være lik lengdekontraksjonen mellom Destiny og Homey på grunn av symmetri. På grunn av at B og B'' er samtidig for Peter, vil også tiden være den samme.

\(\Delta x_{DB''} = x_{B''} - x_D = 2L_0 \\ \Delta x''_{DB''} = x''_{B''} - x''_D = \frac{L_0}{\gamma} \\ \Delta t_{DB''} = t_{B''} - t_D = t_{B''}\\ \Delta t''_{DB''} = t''_{B''} - t''_D = \frac{L_0}{\gamma v} \\ \Delta S_{DB''}^2 = \Delta t_{DB''}^2 - \Delta x_{DB''}^2 \\ \Delta S_{DB''}''^2 = \Delta t_{DB''}''^2 - \Delta x_{DB''}''^2 \\ t_{B''}^2 = (\frac{L_0}{\gamma v})^2 - (\frac{L_0}{\gamma})^2 + (2L_0)^2 = \frac{L_0^2}{\gamma^2}(\frac{1-v^2}{v^2})+4L_0^2 = \frac{L_0^2(1-v^2)^2}{v^2}+4L_0^2 = \frac{L_0^2(1+v^2)^2}{v^2}\\ t_{B''} = \frac{L_0}{v} + vL_0 \\ t_{B''} = \frac{200}{ 0.99}+0.99\cdot200 = 400\)

Så var det ikke et paradoks allikevel! Vi ser så at når Lisa hopper over i Peter sin rakett, tar det hele 400 år før at event B'' skjer i planetenes system. Det må bety at fra de 4 årene det tok for Lisa å komme seg til Destiny, går det plutselig 396 år for henne å bytte referansesystem! Dermed tar det 4 år for henne å komme seg tilbake, som blir totalt 404 år, og vi har dermed løst tvillingparadokset!