Vi bygger på situasjonen fra forrige bloggpost. Vi ser nå på referansesystemene med Lisa og planetene. Vi begynner derfor rett på og løser for tideromsavstanden mellom event B og B'. La oss hente fram verdiene vi løste fra før:
| Planet | Lisa | |||
|---|---|---|---|---|
| Akse | x | t | x' | t' |
| B | L0 | \(\frac{L_0}{v}\) | 0 | \(\frac{L_0}{\gamma v}\) |
| B' | 0 | tB' | \(-\frac{L_0}{\gamma}\) | \(\frac{L_0}{\gamma v}\) |
\(\Delta x_{BB'} = 0 - L_0 = -L_0 \\ \Delta t_{BB'} = t_{B'}-\frac{L_0}{v} \\ \Delta x_{BB'}' = \frac{-L_0}{\gamma} - 0 = -\frac{L_0}{\gamma} \\ \Delta t_{BB'}' = 0\\ \Delta S_{BB'}^2 = \Delta t_{BB'}^2 - \Delta x_{BB'}^2 = (t_{B'}-\frac{L_0}{v})^2 - L_0^2 \\ \Delta S_{BB'}'^2 = \Delta t_{BB'}'^2 - \Delta x_{BB'}'^2 = - (\frac{L_0}{\gamma})^2 \\ (t_{B'}-\frac{L_0}{v})^2 = L_0^2 - (\frac{L_0}{\gamma})^2 \\ (t_{B'}-\frac{L_0}{v})^2 = L_0^2(1 - \frac{1}{\gamma^2}) \\ (t_{B'}-\frac{L_0}{v})^2 = L_0^2v^2 \\ t_{B'} = \frac{L_0}{v} - L_0v = L_0\frac{1-v^2}{v} = \frac{L_0}{\gamma^2 v} \\ \)
I forrige bloggpost antok vi at Lisa endret akselerasjon så fort at vi ikke kunne se det. La oss nå anta at så fort Lisa ankommer Destiny (event B), begynner hun å akselerere konstant. Vi vil nå gjøre at denne akselerasjonen endrer seg over en lengre tid og velger en akselerasjon på \(g = -0.1\mathrm{m/s}\). Vi lurer dermed så på når Lisa vender, altså vendepunktet. Vi kan tenke på problemstillingen som et kast i fritt fall og vil så finne tiden til Lisa ved ekstremalpunktet. Akselerasjonen er definert som:
\(a = \frac{\Delta v}{\Delta t} \\ g = \frac{v_{vp}-v_B}{t_{vp}-t_B}\)
Vi vet jo fra denne intuisjonen at i ekstremalpunktet vil farten være 0. Farten i event B blir så fartens initialverdi (v0). Dermed har vi at:
\(g = \frac{-v_0}{t_{vp}-t_B} \\ t_{vp} = \frac{-v_0}{g}+t_B\)
Hva er så Lisas fart når hun kommer tilbake til Destiny? Jo, vi vet at hun er påført en konstant akselerasjon som betyr en konstant kraft virker på henne. Ser vi bort i fra alle andre krefter vil så denne kraften være konservativ (husker du helt tilbake?). En annen konservativ kraft er gravitasjonskraften. Du kan så tenke deg fra eksempelet hvor vi kaster noe og lar det falle fritt at det samme vil gjelde her, og det er jo slik det vil være. Lisa vil ha oppnådd sin gamle hastighet på 0.99c ved Destiny.
La oss nå definere et nytt event eller en serie av eventer, nemlig event Y. Event Y vil være litt spesiell da den skjer så mange ganger, likevel blir event Y som vårt event B bare event Y representerer at Lisa har kommet til et nytt inertialsystem. Vi definerer så event Y' på presis måte som event B', men kun simultant med event Y i Lisas referansesystem. Event Y' blir så en annen rakett som holder en fart i takt med Lisa, men denne raketten holder seg på Homey og kikker på klokkene der. Vi setter opp det vi vet:
| Planet | Lisa | |||
|---|---|---|---|---|
| Akse | x | t | x' | t' |
| Y | xY | tY | 0 | t'Y |
| Y' | 0 | tY' | x'Y' | t'Y'=t'Y |
Hvis vi skal sette opp tideromsavstanden for å løse systemet for tY' slik vi startet bloggen med, bør vi først se om vi kan resonnere oss fram til noen uttrykk. La oss starte med xY. Vi vet at xY vil være posisjonen til Lisa, denne må så minst være L0. Kan også gjøre et dobbeltintegral av akselerasjonen til Lisa for å finne posisjonen hennes da vi vet initialverdiene:
\(x_Y = \int\int g \: \mathrm{d}t\: \mathrm{d}t = \int gt + v_0 \: \mathrm{d}t = \frac{1}{2}gt^2+v_0t+L_0\)
Vi kan så måle dette opp mot det vi gjorde i forrige bloggpost, eller se relasjonene mellom variablene i det problemet vi løste aller først i denne bloggposten. Dermed har vi:
\(x'_{Y'} = -\frac{x_Y}{\gamma}\)
Som blir negativ ettersom at posisjonen er bakover ved Homey i forhold til Lisa. Vi dropper å løse for tiden det skjer ved Lisa ettersom de er simultan i hennes system og vil kansellere hverandre ut når vi løser for tideromsavstanden.
\(\Delta x_{YY'} = x_Y - 0 = x_Y \\ \Delta t_{YY'} = t_{Y'}-t_Y \\ \Delta x_{YY'}' = 0 - \frac{-x_Y}{\gamma} = \frac{x_Y}{\gamma} \\ \Delta t_{YY'}' = t'_Y - t'_Y = 0\\ \Delta S_{YY'}^2 = \Delta t_{YY'}^2 - \Delta x_{YY'}^2 = (t_{Y'}-t_Y)^2 - x_Y \\ \Delta S_{YY'}'^2 = \Delta t_{YY'}'^2 - \Delta x_{YY'}'^2 = - (\frac{x_Y}{\gamma})^2 \\ (t_{Y'}-t_Y)^2 - x_Y = - (\frac{x_Y}{\gamma})^2 \\ t_{Y'} = x_Yv+t_Y \)
Som var skrevet på akkurat samme måten som den vi hadde løst! Dermed har vi et uttrykk for tiden raketten ved Homey i planetenes referansesystem. Nå løser vi endelig for vendepunktet til Lisa. Vi må også huske at når vi regner med akselerasjonen til Lisa videre, vil vi gjerne ha den oppgitt i naturlige enheter. Vi regner derfor om g:
\(g_n = \frac{g}{c^2} = 1.113\cdot 10^{-18}\)
Merk at vi kommer til å referere til g i naturlige enheter som g videre! Formelen for vendepunktet fant vi ved:
\(t_{vp} = \frac{-v_0}{g}+t_B \\ t_{vp} = \frac{-0.99}{-1.113\cdot10^{-18}}\cdot\frac{1}{yr\cdot c} + 202\mathrm{yr} \approx 296 \mathrm{yr}\)
Det vil så ved symmetri at Lisa er tilbake ved Homey etter 592 år. Som nevnt tidligere, vil farten være null i vendepunktet. Setter så dette inn i formelen vi fant for tY' og finner:
\(t_{Y'} = x_Yv+t_Y \\ t_{Y'} = t_Y \)
Som er forventet. Når vi er i samme referansesystem, som Lisa vil være med fart 0, så skal tiden også være lik.
Vi nullstiller så klokkene våre, og ser på det akselererende systemet som går en veg, mot Homey. Vi kan dermed bruke tidsdilatasjon til å finne tiden for Lisa. Siden farten konstant endrer seg, kan det være greit å skrive denne opp som en funksjon av T. Fra vendepunktet var v0 lik 0:
\(\Delta T' = \frac{\Delta T}{\gamma} = \sqrt{1-v^2}\Delta T = \sqrt{1-g^2T^2}\Delta T\)
Vi kan så summere over alle disse intervallene tilbake til Destiny, som blir av symmetri \(v_0 \over g\) i et integral for å fjerne differensialformen:
\(\int\Delta T' = \int^{\frac{v_0}{g}}_{0} \sqrt{1-g^2T^2}\Delta T \\ T' = \frac{v_0\sqrt{1-v_0^2}+\sin^{-1}{v_0}}{2g} \\ T' = \frac{0.99\sqrt{1-0.99^2}+\sin^{-1}{0.99}}{2(1.113\cdot10^{-18})}\cdot\frac{1}{c\cdot yr} \approx 74.5 \mathrm{yr}\)
Vi får så at den totale tiden blir så:
I planetenes system:
\(202\mathrm{yr} + 94\mathrm{yr} + 94\mathrm{yr} + 202\mathrm{yr} = 592\mathrm{yr} \)
I Lisas system:
\(28.5\mathrm{yr} + 74.5\mathrm{yr} + 74.5\mathrm{yr} + 28.5\mathrm{yr} = 206\mathrm{yr}\)
Husker du da vi sammenliknet akselerasjonen med gravitasjonskraften? Det har seg nemlig slik at ved ekvivalensprinsippet kan man egentlig ikke vite om man er i et akselerert system eller et gravitasjonsfelt. På dette vis kan vi bruke formelen vår for tidsdilatasjon i et akselerert system til å løse om vi hadde vært i et gravitasjonsfelt. Vi lager oss en ny formel for posisjonen vår, fra vendepunktet har vi at alle initialverdiene var 0, og kan så integrere akselerasjonen fritt.
\(r = \frac{1}{2}gT^2\)
Denne kan så omskrives til å løse for tid:
\(T = \sqrt{\frac{2r}{g}}\)
Som vi kan sette inn i formelen vi hadde for tidsdilatasjon i et akselerert system:
\(\Delta T' = \sqrt{1-g^2T^2}\Delta T = \sqrt{1-2gr}\Delta T\)
Setter vi så inn formelen for gravitasjonskonstanten (som vi utledet før) har vi så laget oss tidsdilatasjon for et vilkårlig gravitasjonsfelt:
\(\Delta T' = \sqrt{1-2gr}\Delta T = \sqrt{1-\frac{2GM}{r}}\Delta T\)
Vi ser dermed at ved endring av inertialsystemer kan vil også tidsdilatasjonen endres, derfor må vi være sikker på at systemet vi ser på ikke undergår en akselerasjon, ellers ser vi jo at tid som skulle ha vært der forsvinner. Vi kan likevel løse problemet om det skulle være akselerert ved å summere over alle tidsintervallene hvor en bytter. Dette gir oss også tidsdilatasjonen for gravitasjonsfelt, da akselererte system er ekvivalente med de.