\documentclass[11pt,a4paper]{report}

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[english,norsk]{babel}

\usepackage{graphicx}

\pagestyle{empty}

%% Numbered exercises
\newcounter{excount}[chapter]
\newenvironment{exercise}[1][]{\addtocounter{excount}{1} \noindent {\bf Oppgave
%    \arabic{excount}
 \ \ #1}\hspace{2mm}}{\vspace{4mm}}

\title{FYS2140 Hjemmeeksamen -- V{\aa}r 2015}

\author{}


\begin{document}

\maketitle

\section*{Viktig info:}
\begin{itemize}
\item
Merk besvarelsen med kandidatnummer, ikke navn!
\item
Innleveringsfristen er fredag 20.\ mars kl.\ 14.30 i skranken p{\aa} ekspedisjonskontoret. (Ikke oblighylla!) Husk {\aa} kvittere p{\aa} liste. 
\item
Leveringsfristen er absolutt.
\item
Behold en egen kopi av din besvarelse! (Du f{\aa}r ikke tilbake besvarelsen.)
\item
Hjemmeeksamen teller ca.\ 20\% av karakteren i FYS2140 og m{\aa} v{\ae}re best{\aa}tt for {\aa} best{\aa} kurset.
\item
Dere har full anledning til {\aa} bruke forelesningsnotater og annen faglitteratur for {\aa} finne fram til n{\o}dvendig informasjon, og til samarbeid. Til gjengjeld skal besvarelsen v\ae re individuell, og i egne ord, og vi forbeholder oss retten til {\aa} trekke ut noen av dere til en muntlig redegj{\o}relse for besvarelsen.
\item
Der vi ber om kommentarer eller forklaringer, {\o}nsker vi korte og konsise svar som viser at dere har forst{\aa}tt sp\o rsm\aa let. Det \aa\ uttrykke seg klart skriftlig er en del av hjemmeeksamen. Besvarelsen skal v{\ae}re pent og oversiktlig f{\o}rt inn. Husk {\aa} bruk fornuftige enheter i regningen, noen av oppgavene med numeriske svar er n{\ae}r umulig {\aa} f{\aa} til uten.
\item
Eventuell programkode vil ikke taes i betraktning i vurderingen av besvarelsen, men du kan gjerne legge ved relevante plott av resultater.
\item
Lykke til!
\end{itemize}

\cleardoublepage

\noindent
Det er i alt mulig (p\aa\ en god dag) {\aa} f{\aa} 20 poeng p{\aa} denne hjemmeeksamen. Noen av oppgavene skal l{\o}ses numerisk. Kompendiet om programmering, samt eksemplene p\aa\ hjemmesiden, kan her v\ae re nyttige.

\bigskip
\begin{exercise}[\\]
I denne oppgaven skal vi se p\aa\ tunnelering. Dette er et fenomen med mange praktiske anvendelser, spesielt i moderne teknologi, men her skal vi se litt mer abstrakt p\aa\ problemet.

Vi ser f\o rst p\aa\ en fri partikkel som begynner i en tilstand gitt ved b\o lgepakken
\begin{equation}
\Psi(x,0) = Ae^{-(x-x_0)^2/4a^2}e^{ilx},\label{eq:gausspack}
\end{equation}
hvor $A$ er en normeringskonstant, og $x_0$, $a$ og $l$ er tre reelle parametre.
\begin{itemize}
\item[{\bf a)}] Finn $A$. [1 poeng]
\item[{\bf b)}] Lag et plott av sannsynlighetstettheten til denne tilstanden. Husk enheter p\aa\ aksene. Velg konstanter selv, men vi anbefaller lengder p\aa\ picometerniv\aa. Hva forteller de tre konstantene oss? {\it Hint:} For \aa\ forst\aa\ betydningen av $l$ kan det l\o nne seg \aa\ finne $\langle p\rangle$ for denne tilstanden. 
[2.5 poeng]
\item[{\bf c)}] Denne b\o lgepakken har ikke en skarpt bestemt energi, men vis at forventningsverdien kan skrives som
\begin{equation}
\langle E\rangle = \frac{\hbar^2(l^2+1/4a^2)}{2m}.
\end{equation}
[1.5 poeng]
\item[{\bf d)}] Gitt (boks)potensialet
\begin{equation}
V(x)=\left\{ \begin{array}{cc} V_0 & 0\le x \le L \\ 0 & {\rm ellers} \end{array}\right. ,\label{eq:pot}
\end{equation}
hvor $V_0>0$, finn (analytisk) sannsynligheten for transmisjon som funksjon av energien for en fri-partikkel planb\o lgel\o sning $\psi(x)=Ae^{ikx}$ med energi $E<V_0$, som kommer inn fra venstre. Tegn en figur som klart viser de forskjellige omr\aa dene i potensialet, og de innkommende og utg\aa ende b\o lgene som er relevante. [3 poeng]
\item[{\bf e)}] Bruk potensialet i oppgave {\bf d)} med verdiene $V_0=1$\,MeV og $L=0.25$\,pm. Se p\aa\ et elektron med masse $m=0.511$\,MeV/c$^2$ som kommer inn fra venstre, n\aa\ med initialtilstand gitt ved (\ref{eq:gausspack}). Gj\o r en numerisk simulering ved hjelp av Schr\"odingerligningen av hva som skjer dersom du starter elektronet med $x_0=-5.0$\,pm, $a=1.0$\,pm og $l=2.0$\,pm$^{-1}$. Ut i fra denne simuleringen, gi en kort beskrivelse av hva som skjer med b\o lgefunksjonen til elektronet n\aa r den treffer potensialhindringen. Snakk med din lokale datamaskin. [2 poeng]
\item[{\bf f)}] Hvordan kan man finne sannsynligheten for transmisjon numerisk for situasjonen i oppgave {\bf e)}? [1.0 poeng]
\item[{\bf g)}] Finn {\it numerisk} sannsynligheten for transmisjon av b\o lgepakken i (\ref{eq:gausspack}) som funksjon av energien, og sammenlign med svaret i oppgave {\bf d)}. Det holder om du regner ut transmisjonssannsynligheten for en h\aa ndfull verdier av energien. {\it Hint:} B\o lgepakken vi sender inn har ikke en skarpt bestemt energi, s\aa\ bruk $\langle E\rangle$ for energien. [2 poeng]
\end{itemize}

Til n\aa\ har vi regnet med Schr\"odingerligningen, som gir en ikke-relativistsisk kvantemekanisk beskrivelse. Vi skal her se p\aa\ relativistiske korreksjoner til denne. Vi tar utgangspunkt i Einsteins forhold mellom energi og bevegelsesmengde
\begin{equation}
E^2=p^2c^2+m^2c^4,
\end{equation}
hvor $p$ her er den relativistiske bevegelsesmengden.
\begin{itemize} 
\item[{\bf h)}] Vis at energien kan skrives som
\begin{equation}
E\simeq E_0+\frac{p^2}{2m}-\frac{p^4}{8m^3c^2},\label{eq:Erelap}
\end{equation}
der $E_0=mc^2$ er hvileenergien, dersom $p^2c^2 \ll m^2c^4$. [1 poeng]
\item[{\bf i)}] P\aa\ forelesning har vi diskutert hvordan man kan rettferdiggj\o re Schr\"odingerligningen for en fri partikkel hvor $V=0$. Argumenter med utgangspunkt i uttrykket (\ref{eq:Erelap}) hvorfor det f\o lgende utgj\o r en rimelig relativistisk korreksjon til Schr\"odingerligningen
\begin{equation}
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2} -\frac{\hbar^4}{8m^3c^2}\frac{\partial^4\Psi}{\partial x^4}+E_0\Psi= i\hbar \frac{\partial\Psi}{\partial t},\label{eq:SLrelcor}
\end{equation}
og vis at den har den samme fri-partikkel planb\o lgel\o sningen som Schr\"odingerligningen
\begin{equation}
\Psi(x,t)= e^{i(kx-\omega t)}.
\end{equation}
 [2 poeng]
\item[{\bf j)}] Finn gruppehastigheten $v_g$ til en fri partikkel som beskrives av differensialligningen i {\bf i)}. Sammenlign $mv_g$ med den relativistiske bevegelsesmengden $p$. Hvordan vil du tolke $v_g$ her?  [2 Poeng]
\item[{\bf k)}] Bruk differensialligningen (\ref{eq:SLrelcor}) til \aa\ finne (numerisk) transmisjonssannsynligheten, som funksjon av energien, til en partikkel beskrevet av initialbetingelsen (\ref{eq:gausspack}) som m\o ter potensialet i (\ref{eq:pot}). Hvilke energier er det rimelig \aa\ anta at denne beskrivelsen er god for? Sammenlign med transmisjonssannsynligheten fra deloppgave {\bf d)} og {\bf g)}. [2 poeng]
\end{itemize}
\end{exercise}

\end{document}