INF2310 v�r 2010 - UKEOPPGAVER 9

Disse oppgavene omhandler 2D Fourier-transform -- del II.

Oppgave 1 - Vindusfunksjoner og visuell inspeksjon av spektre
Last inn et bilde. Generer et todimensjonalt Hamming-vindu med samme st�rrelse som bildet. Inspiser vinduet visuelt. Studer bildets spekter, b�de ved bruk av vinduet og uten. Verifiser at bidragene langs aksene er redusert. Gi en forklaring p� fenomenet.

Oppgave 2 - Konvolusjonfiltre og frekvensrespons

1. Hva sier konvolusjonsteoremet?
2. Hvordan kan vi (rent praktisk) bruke en DFT til � finne hvilke frekvenser et konvolusjonsfilter demper og hvilke det slipper igjennom?
3. Under ser dere frekvensresponsene (spektrene) til filterkjernene [1 2 1]' og [1 0 -1]. Fremvisningen er slik at null-frekvensen er midt i bildet og lyst indikerer h�y verdi mens m�rkt indikerer lav verdi. Hvilke konvolusjonskjerner og spektre h�rer sammen? Begrunn. (' indikerer transponert)
   
4. Hvis vi multipliserer de to filtrenes Fourier-transformer element for element f�r vi spekteret under - hvilken konvolusjonskjerne svarer dette spekteret til?
   

Oppgave 3 - Enkle/"Ideelle" filtre i frekvensdomenet
Lag et program som utf�rer lavpassfiltrering ved � sette alle koeffisienter i DFT-transformen for frekvenser u,v h�yere enn en gitt terskel til 0. Hvilke artifakter kan vi ofte se i det filtrerte bildet, og hvordan kan vi begrense disse?

Oppgave 4 - Vanlige filtre og frekvensrespons
Ta et sett med kjente konvolusjonsfiltre, studer deres spektre og gi en forklaring p� hva dere ser. Pr�v � gjenskape frekvensspekterne fra forelesning.

Oppgave 5 - Konvolusjonsteoremet -- �ke forst�elsen litt ved hjelp av Matlab (ekstraoppgave)
For � gj�re ting litt lettere, ser vi p� det endimensjonale tilfellet. Lag to N=512 lange sekvenser med henholdsvis (heltallige) frekvenser u1 og u2. ( N = 512; i = 0:N-1; x1 = sin( -2*pi*u1.*i/N ); x2 = sin( -2*pi*u2.*i/N ); )

1. Anta f�rst at u1=u2. Hva blir resultatet om vi sirkel-konvolverer de to sekvensene? Verifiser visuelt at frekvensen p� det resulterende signalet er lik u1 (og u2). Benytt funksjonen cconv (sirkelkonvolusjon).
2. La s� u1 v�re ulik u2. Hva blir resultatet av konvolusjonen da?
3. La oss s� si at sekvensene v�re, x1 og x2, best�r av et sett med frekvenser. Linearitetsegenskapen til konvolusjonsfiltre sier at man enten kan ta v�re originale sekvenser og konvolvere de sammen, eller man kan dekomponere sekvensene, konvolvere alle kombinasjoner, for s� � legge sammen resultatet. Forklar med ord hva dette inneb�rer ved dekomponering ved hjelp av DFT.
4. La oss si at sekvensen x er resultatet etter konvolusjonen av x1 med x2, og X = fft(x). Basert p� hva vi kom frem til i a) og b), hvilke "konvolusjons-frekvenskombinasjoner" bidrar til koeffisienten i (for eksempel) X(5)?
5. Hvordan kan disse resultatene forklare at en konvolusjon i det romlige domenet kun er enkle multiplikasjoner i frekvensdomenet?