Siden Askeladden skal lengre ut i solsystemet Pjokknes, så kommer fluksen til å minke på grunn av den økende radiusen til skallet. Solcelleseilet til Askeladden må produsere minimum \(40 W\) for at alle instrumentene på båten skal fungere som de skal. Det er dermed viktig å vite hvor mye seil han må rulle ut for å få \(40 W\) ved de forskjellige planetene. Seilet konverterer kun \(12\%\) av innkommende energi til elektrisitet som vi kan skriver som \(P = 0.12\). Vi antar at strålingen fra stjernen som når seilet er parallelle, fordi når avstandene blir store nok blir vinkelen så liten at linjene kan sees på som parallelle. Vi kan anta jevn fordeling av strøm over overflaten til seilet på grunn av parallelle linjer. Den totale utstrålingen fra en stjerne over tid kalles luminositet og kan uttrykkes som \(L = dE / dt = [W]\). Vi vet allerede at fluks for et sort legeme er \(F_{SL} = dE / dAdt = \sigma T^4\) og vi kan da finne luminositeten til en slik stjerne:
\(\begin{align} F_{SL} &= \frac{dE}{dAdt} = \frac{L}{dA} = \frac{L_\odot}{4\pi R_\odot^2} \\ \sigma T_\odot^4&= \frac{L_\odot}{4\pi R_\odot^2} \\ L_\odot &= 4\pi R_\odot^2\sigma T_\odot^4 \end{align}\), hvor vi har brukt overflate arealet av stjernen og Stefan-Boltzmanns lov fra forrige innlegg.
Askeladden ønsker jo å finne hva dette er per kvadratmeter for å finne nøyaktig ut hvor stort solseilet skal være. Luminositet er energi per sekund så enheten vil være watt\([J/s = W]\). Med det nye uttrykket for luminositet, kan vi finne fluks per kvadratmeter ved å igjen bruke forholdet mellom fluks og luminositet \(F = L / 4\pi r^2\). Da får vi fluks per avstand fra stjernen gitt som:
\(F(r) = \frac{L_\odot}{4\pi r^2} = \frac{4\pi R_\odot^2\sigma T^4}{4\pi r^2} = \sigma T^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2\), her er \(R_\odot\) radiusen til stjernen og \(r\) avstanden fra stjernen til det legemet vi ser på.
For solseilet trenger Askeladden som sagt minimum \(40W\) og siden luminositet er gitt i watt kan vi finne en minimumsgrense for arealet ved å sette \(L = 40W\) og løse ved å bruke forholdet mellom fluks og luminositet som vist under. Leker vi oss litt med denne ser vi at avstanden til stjernen er eneste økende faktor. Det betyr at minste arealet øker desto lengre ute sonden er.
\(\begin{align} F(r) = \frac{L}{A} &\rightarrow L = F(r)\cdot A \\ A &= \frac{L}{F(r)} \\ A_{min} &= \frac{40W}{\sigma T^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2\cdot 0.12} \\ A_{min} &= \frac{40W\cdot r^2}{\sigma T^4 R_\odot^2\cdot 0.12} \end{align}\), dette er da en måte å finne minimumskravet til størrelsen på seilet til Askeladden for å generere \(40W\), hvor igjen \(r\) er avstanden til stjernen.
"Næmmen, harr'u sett'a gitt" sier Askeladden. "Det går da an å bruke samme tanke metode for planetene også vel" tenker han. For hvis vi vil finne den totale energien som planetene mottar, er arealet og fluksen kjent, men luminositeten ukjent. Han tenker først at arealet som mottar energi fra stjernen er halve kulearealet til hver planet, men er det egentlig slik? Askeladden tegner opp situasjonen for å tenke bedre i figur 1. Vi har jo et skall med fluks som brer seg utover, han ser at planetene lager en "2D skygge" i skallet med fluks, arealet som planeten får med fluks er dermed arealet av flaten til planeten (\(A = 4\pi R_p^2\)).
Man kan da skrive den totale energien \(L_{p, tot}\) som hver planet mottar fra stjernen som:
\(L_{p,tot} = F(r_p)\cdot A = \sigma T_\odot^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2\cdot \pi R_p^2 = \sigma\pi T_\odot^4\left(\frac{R_\odot R_p}{r}\right)^2\), her har vi introdusert en ny variabel \(R_p\) som er radiusen til planeten.
Askeladden antar videre at planetene er sorte-legemer og bruker formelen for total energi \(L_{p, tot}\) og Stefan-Boltzmanns lov \(F_{SL}\) til å finne overflate temperaturen til planetene. Det betyr at de gir ut den samme energien de mottar og vi kan derfra finne temperaturen på overflaten, på samme måte som vi finner temperaturen på overflaten til stjernen. Vi har allerede et uttrykk for hva den totale energien er \(L_{p, tot}\) og vi kan finne planetens luminositet som vi gjør med stjernen \(L_p\). Om planetene da er sorte legemer så må \(L_p - L_{p, tot} = 0\rightarrow L_p = L_{p, tot}\), Askeladden finner dermed temperaturen ved:
\(\begin{align} L_p &= L_{p, tot} \\ 4\pi R_p^2\sigma T_p^4 &= \sigma T_\odot^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2\pi R_p^2 \\ 4T_p^4 &= T_\odot^4\left(\frac{R_\odot}{r}\right)^2 \\ T_p &= T_\odot\sqrt{\frac{R_\odot}{2r}} \end{align}\), etter en intens kamp mellom konstantene ser vi at temperaturen på overflaten til planetene \(T_p \) avhenger kun av stjernens radius \(R_\odot\), temperatur \(T_\odot\) og avstanden mellom stjerne og planet \(r\).
Askeladden ser da at hvis avstanden fra stjernen \(r\) blir veldig stor så vil temperaturen på overflaten være veldig liten. Husker du formelen for arealet til solcelle seilet? Det ble større desto lengre ut man gikk, som igjen betyr at det når mindre energi ut til de borteste planetene. Formlene til Askeladden stemmer dermed overens med hverandre, større avstand, lavere temperatur og større minste areal på solseilet.