Keplers lover
Om vi ser på et lite areal \(dA\) spredt utover av en vektor \(d\vec{r}\)i løpet av en tid \(dt\) og tegner dette, får vi noe som ligner på figur 1. Hvis vi sier at vektoren er veldig stor og vinkelen liten kan vi bruke et teorem som heter småvinkeltilnærming og se på vektorene som parallelle. Det sier at veldig små vinkler kan approksimeres til \(sin\theta \approx \theta\). Slik at når vi skal finne den ukjente lengden i den rettvinklede trekanten vår \(dS\) vil dette kunne gis som
\(\begin{equation} dS = |\vec{r}|\sin d\theta = rd\theta \end{equation}\).
(Figur 1)
Arealet av en rettvinklet trekant finner vi som \(\begin{equation} A = \frac{h \cdot l}{2} \end{equation}\), her er h den lengste kateten og l den korteste. I vårt tilfelle så vil dette være \(l = dS = rd\theta\) og \(h = |\vec{r}| = r\). Vi putter det rett inn i formelen og får at det tilnærmede arealet kan beskrives som formel
\(\begin{equation} dA = \frac{r d\theta\cdot r}{2} = \frac{1}{2}r^2d\theta \end{equation}\)
For Keplers 2. lov, som går utover å vise at arealet over en gitt tid er konstant, kan vises ved å skrive det som avhengig av angulærmoment \(h\). Først beskriver vi angulær moment i vårt tilfelle. Vi starter ved å bruke definisjonen av angulær moment til å vise at for vårt tilfelle så er dette gitt som lengden av vektoren multiplisert med tangensialhastigheten, som vist under
\(\begin{equation} h = |\vec{r}\times\dot{\vec{r}}| = |\vec{r}\times\vec{v}| = r\vec{v}_\theta \end{equation}\), her er r lengden av vektoren og \(\vec{v}_\theta\) tangensialhastighet.
Vi har også funnet et uttrykk for arealet \(dA\) over og deriverer på tid \(dA / dt\). Vi vet at definisjonen av tangensialhastighet er \(\vec{v}_\theta = r\dot{\theta}\). Med dette definert finner vi fram til uttrykket for \(dA / dt\) under
\(\begin{equation} \frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}r^2d\theta\right) = \frac{1}{2}r^2\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{2}rv_\theta \end{equation}\).
Kombinerer vi uttrykket for angulærmoment og areal per tidsenhet får vi resultatet under:
\(\begin{equation} \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2}r\frac{h}{r} = \frac{h}{2} \end{equation}\), her kan vi se at det ender opp som en konstant fordi angulærmomentet er bevart.
Integrerer vi resultatet over for en hel periode P, kan vi finne uttrykket for banetiden til et legeme. Vi starter med å flytte de infinitesmale verdiene over på hver sin side, \(dt\) på venstre og \(dA\) på høyre. Deretter integrerer vi over perioden \(P\) og arealet til en ellipse \(A = \pi ab\):
\(\frac{dA}{dt} = \frac{h}{2}\rightarrow dt = \frac{2}{h}dA \rightarrow \int_0^P dt = \int_0^{\pi ab}\frac{2}{h}\).
Vi ender opp med uttrykket for banetiden til et legeme som formelen under:
\(\begin{equation} P = \frac{2\pi ab}{h} \end{equation}\), her er \(a\) store halvakse og \(b\) lille halvakse.
Keplers 3. lov kombinert med Newtons 3. lov
Newton var en glup type. Han fant ut at der det blir utøvd en kraft, blir det også utøvd en motkraft i motsatt retning. Dette fikk han til å stille spørsmål til Keplers 3. lov som sier at perioden i andre potens \(P^2 = a^3\). Vi kan sjekke om det stemmer ved å fortsette på formelen vår for banetiden \(P\) over. Vi skriver om formelen for eksentrisitet for \(b\) under:
\(\begin{equation} e = \sqrt{1 - \left(\frac{b}{a}\right)^2}\rightarrow e^2 - 1 = -\frac{b^2}{a^2}\rightarrow b^2 = a^2(1 - e^2) \end{equation}\).
En annen ukjent parameter er angulærmomentet \(h\). Dette kan skrives om til formelen
\(h = \sqrt{mp},\quad m = G(m_1 + m_2)\), her er G graviatsjonskonstanten, \(m_1\) og \(m_2\) massen til legemene i systemet og \( p = a(1 - e^2)\) er definisjonen av ellipse.
Bruker vi disse nye likhetene inn i uttrykket vårt for \(P\) og opphøyer det i andre potens får vi likheten under:
\(\begin{align} P^2 &= \frac{4\pi^2 a^2b^2}{h^2} \\ &= \frac{4\pi^2 a^2 (a^2(1 - e^2))}{G(m_1 + m_2)a(1 - e^2)} \\ &= \frac{4\pi^2a^3}{G(m_1 + m_2)} \end{align}\)
Denne formelen for perioden tar også hensyn til stjernens bevegelse, noe som Kepler ikke tenkte på da han jobbet med dette. Men, man kan se ved Newtons formel at hvis \(m_1 >> m_2\) så vil avvikene være så små at man kan si at perioden i andre potens er proportional til store halvakse og ikke lik som Kepler trodde.
\(\begin{equation} P^2 \propto a^3 \end{equation}\)
Massesentersystemet
For et to-legeme system så kan man finne den totale energien ved å finne kinetisk energi til begge legemene og gravitasjonskraften (V(r)) mellom disse to, som vist under:
\(\begin{equation} E = K + V = K_1 + K_2 + V(r) = \frac{1}{2}m_1 \vec{v}_{1, CM}^{2} + \frac{1}{2}m_2\vec{v}_{2, CM}^2 + V(r) \end{equation}\).
Gravitasjonspotensialet mellom to legemer er gitt i formelen under. Her vil vi uttrykke massene ved redusert masse som er den enheten vi bruker i massesentersystemet.
\(\begin{align} V(r) &= - G\frac{m_1 m_2}{r} |\cdot (m_1 + m_2)\\ &= - G\frac{m_1m_2 (m_1 + m_2)}{r(m_1 + m_2)} \\ &= - \frac{GM\mu}{r} \end{align}\)
Det neste vi kommer til å trenge er kinetisk energi til begge legemene fra massesentersystemet. Det første vi trenger da er å flytte origo til massesenteret mellom de to legemene. Dette blir uttrykt med vektoren /vec(R) fra origo, om vi skal flytte origo blir lengden til denne vektoren /vec(R) = 0. Vi bruker dette og definisjonen av massesentervektoren til å finne uttrykk for retningsvektoren for begge legemene fra massesenteret.
\(\begin{align} \vec{R} = \frac{1}{M}\sum_{i = 1}^N m_i\vec{r}_i &= \frac{1}{M}(m_1\vec{r}_{1, CM} + m_2\vec{r}_{2, CM}) = 0 \\ 0 &= \frac{1}{M}(m_1\vec{r}_1 + m_2(\vec{r}_1 + \vec{r})) \\ -m_2\vec{r} &= m_1\vec{r_1} + m_2\vec{r_1} \\ -m_2\vec{r} &= \vec{r}_1(m_1 + m_2) \\ \vec{r}_{1, CM} = \vec{r}_1 &= -\frac{m_2}{m1 + m_2}\vec{r} = -\frac{\mu}{m_1}\vec{r} \end{align}\)
Vi bruker samme fremgangsmåte for å finne \(\vec{r}_{2, CM} = \vec{r}_2 = \frac{\mu}{m_2}\vec{r}\). Med disse retningsvektorene kan vi finne hastighetene til legemene i forhold til massesenteret. Vi finner da at de to kinetiske energiene kan skrives som utledningen under, ved bruk av redusert masse.
\(\begin{align} K &= \frac{1}{2}m_1\vec{v}_{1, CM}^2 + \frac{1}{2}m_2\vec{v}_{2, CM}^2 \\ &= \frac{1}{2}m_1\left(-\frac{\mu}{m_1}\dot{\vec{r}}\right)^2 + \frac{1}{2}m_2\left(\frac{\mu}{m_2}\dot{\vec{r}}\right)^2 \\ &= \frac{1}{2}\mu^2\dot{\vec{r}}^2\left(\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\right) \\ &= \frac{1}{2}\mu^2\dot{\vec{r}}^2\left(\frac{m_1 + m_2}{m_1m_2}\right) \\ K &= \frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^2 \end{align}\)
Den totale energien til massesentersystemet ender dermed opp som
\(\begin{equation} E = \frac{1}{2}\mu\vec{v}^2 - \frac{GM\mu}{r} \end{equation}\)
Vi kan bruke de samme retningsvektorene til å finne det totale angulær momentet til massesenter systemet, som vist under.
\(\begin{align} L = L_1 + L_2 &= m_1(\vec{r}_1 \times \vec{v}_1) + m_2(\vec{r}_2 \times \vec{v}_2) \\ &= m_1\left(-\frac{\mu}{m_1}\vec{r} \times \vec{v}_1\right) + m_2\left(\frac{\mu}{m_2}\vec{r} \times \vec{v}_2\right) \\ &= \mu\left(-\vec{r}\times \vec{v}_1 + \vec{r} \times \vec{v}_2\right) \\ &= \mu\vec{r}\times (-\vec{v}_1 + \vec{v}_2) \\ L &= \vec{r}\times \mu\vec{v} \end{align}\)
Disse to formlene er lignende uttrykk for et en-legeme system.