Vi kan starte med to-legeme problemet, her antar vi at vi har et system som består av kun to legemer som bare påvirkes av hverandres tyngdekraft, når vi vet avstanden mellom dem og farten de har i de ulike retningene. Målet med å løse to-legeme problemet er å kunne si noe om hvordan de vil bevege seg i forhold til hverandre. Se på det som at svaret på problemet er evnen med å kunne forutse nøyaktig hva som vil skje, nesten som å kunne se fremtiden.
Det første vi ønsker å finne er massesenteret, fordi vi ønsker å ha et spesifikt sted i forhold til legemene som vi vil basere våre utregninger på. Vi kunne ha satt det i origo, men dette kan fort bli tungvint for da må vi vite hvor origo ligger i forhold til legemene. Dette er generelt et viktig konsept i fysikken som går på at man lager seg er referansepunkt som kan brukes, for det er temmelig håpløst å finne ut av for eksempel hvilken retning en kraft virker, når vi ikke har et sted som definerer hva som blir positiv eller negativ retning.
Først kan vi se på definisjonen av massesenter. Massesenter er bare et forhold mellom den totale massen til alle objektene i et system, og deres posisjonene de enkelte objektene befinner seg i. Dette kan bli sett på som å gi hver posisjon en størrelse bestemt av massen, for så å bruke vektorregning mellom hvert enkelt punkt, der hver vektor blir multiplisert med massen til et objekt, som da bestemmer størrelsen. Dette gir da et forhold mellom avstanden og massen, som så gir massesenteret når man legger sammen alle mulige kombinasjoner mellom hvert objekt og deler på den totale massen. I praksis blir dette da slik at massesenteret blir liggende nærmere det tyngste objektet dersom det er et annet lettere objekt og man trekker en linje mellom dem. Man kan tenke på det som å skulle balansere en gaffel på fingeren, massesenteret ligger nærmere hodet fordi det har mer masse i forhold til resten av gaffelen.
Vi definerer så en vektor fra origo til hvert objekt som vil være et midlertidig referansepunkt, deretter er det vektorregning for å finne massesenteret mellom objektene. Dette punktet vil vi nå trekke en ny vektor til fra origo. Herifra er det et ligningssystem mellom definisjonen av vårt massesenter og vektorene fra det nye referansepunktet i massesenteret istedenfor fra origo. Vil inkludere utregningen litt senere for de som er interesserte i det. Vi introduserer noe vi kaller for \(\hat\mu = \dfrac{m_1 \cdot m_2}{m_1 + m_2}\) som er der for å gjøre livene våres litt lettere.
Da er vi klare for å se på energien i systemet. Vi vet at kinetisk energi er avhengig av farten og massen til et objekt. Det betyr at hver av legemene har hver sin kinetiske energi, men på grunn av vårt referansepunkt kan vi gjennom litt algebra skrive dette som en samlet mengde. Dette blir da \(E_k = \dfrac{1}{2} \hat \mu v^2\). For potensiell energi vet vi at dette er avhengig av avstanden mellom objektene, men i dette tilfelle blir det automatisk til en størrelse, for uten det ene objektet så hadde vi ikke hatt noe potensiell energi. Det vil si at den potensielle energien kan bli sett på som den potensielle energien fra hele systemet, og da må vi se det som avstanden mellom massesenteret til origo. Husk at potensiell energi for objekter påvirket av tyngdekraft har negativt fortegn, fordi man må bruke energi for å holde noe i samme posisjon. Dette gir så \(E_p = - G \dfrac{M\hat\mu}{R}\) der stor m er summen av massene.
Total energi blir da \(E_{tot} = E_k + E_p \Rightarrow E_{tot} = \dfrac{1}{2} \hat\mu v^2 - G\dfrac{M\hat\mu}{R}\).
Er energien bevart i dette systemet? For å svare på det må vi trekke inn et nytt konsept kalt spinn. Spinn er en størrelse bestemt av rotasjonen av legemer om er referansepunkt, i dette tilfelle om massesenteret. Spinnet og bevaring av energien henger sammen, og er ganske enkelt å kunne visualisere seg det. Sett deg på en kontor stol, som kan spinne, og start å spinn rundt. Strekker du ut armene så legger du merke til at du roterer saktere, trekker du dem inn vil du rotere raskere. Dette er bevaring av spinn, og er forholdet mellom massen, farten og avstanden det befinner seg fra referanse punktet. Øker avstanden og massen er konstant, ved mindre du plutselig legger på deg, må farten gå ned for at det skal være bevart. Disse er dermed proporsjonale med hverandre. Det samme skjer med stjerner i pardans rundt hverandre, desto nærmere de er jo raskere vil begge spinne.
Tilbake til energi, en planet langt unna vil ha høyest mulig potensiell energi, men lavest mulige kinetiske energi. Med andre ord, farten er minst, når den er lengst unna. Når planeten nærmer seg stjernen i sin bane vil farten øke. Dette kommer av at den potensielle energien blir mindre og dermed må farten øke for at energien skal være bevart. Dermed kan vi konkludere med at spinnet og energien er bevart i to-legeme problemet, fordi dette er ting vi også har observert, og fysikken bak det gir mening.
