La oss nå se på noen utledninger av lovene hans, og forbedre dem fra et analytisk utgangspunkt. Kepler fant sammenhengen i sine lover kun ved hjelp av å se på dataen som hadde blitt samlet av Tycho Brahe. Selv om lovene er ganske presise allerede, faller de fort fra hverandre når man ser på baner som ikke går rundt solen. Hvorfor dette er tilfellet skal vi komme tilbake til.
- Planetene beveger seg i ellipser med Solen i det ene brennpunktet.
- En rett linje fra Solen til planeten (radiusvektoren) beskriver like store flater i like lange tidsrom («Keplers flatesats»).
- Kvadratet av den sideriske omløpstid for en planet er proporsjonalt med tredje potens av dens gjennomsnittlige avstand fra Solen. (P^2 = a^3)
Kilde: https://snl.no/Keplers_lover
Ved å ta utgangspunkt i at banene er ellipser med en stjerne i brennpunktet, får vi nemlig baner som virker logiske og ikke går i episykler. Dette er det grunnleggende prinsippet og kanskje aksiomet for å bevise Keplers andre og tredje lov.
Keplers andre lov sier at for den posisjonen planeten har bevegd seg over, vil sektoren mellom startposisjonen til planeten, sluttposisjonen til planeten og stjernen i sentrum danne et areal som er like stor for samme tidssteg uansett hvor langt planeten kom i løpet av tidssteget.
For å forstå Keplers andre lov, må vi først tenke oss fram til hva arealet til en sektor er. La oss nå se på et forenklet system før vi begynner rett på
Hvis vi zoomer langt inn, vil en sektor være ganske lik en rettvinklet trekant. Vi kan bruke dette til å finne ut hva arealet av en sektor er. For små nok trekanter, kan vi benytte oss av småvinkelapproksimasjon. Her er tanken at for en liten nok vinkel \(\theta,\ vil\ \sin(\mathrm{d}\theta)\) være lik \(\tan(\theta)\).
\(\sin(\mathrm{d}\theta) = \frac{\mathrm{d}r}{r}\) vi setter så \( \mathrm{d}r\) til å være buelengden av kurven i stedet:
\(\mathrm{d}r = r*\mathrm{d}\theta.\)
Setter vi dette inn i \(\sin(\mathrm{d}\theta)\) får vi så:
\(\sin(\mathrm{d}\theta) = \mathrm{d}\theta\)
Og dermed viser det seg at for liten nok vinkel, vil sinus av vinkelen være det samme! Nå, hvis du husker hva arealet av en rettvinklet trekant er, så har vi både grunnflaten og høyden.
\(A = \frac{gh}{2}\)
\(\mathrm{d}A = \frac{r^2\mathrm{d}\theta}{2} \)
En annen veldig fin måte å tenke på dette på er å ta arealet av en sirkel og gange det med radianer, de begge gir samme resultat.
Rotasjonell bevegelse
Ok, vi har arealet, men vi skulle jo vise at det var det samme over en lik periode!
\(\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{r^2}{2}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\)
Her ser vi faktisk den varierer med vinkelhastigheten (grader per tidsenhet!), så dette sier oss at vinkelhastigheten bør være bevart om Keplers lover skal være sann. Vi skal jo vise at uttrykket er konstant for en periode \( \mathrm{d}t\)
For å finne vinkelhastigheten, må vi så se på søsteren av translasjonsmekanikk, nemlig rotasjonsmekanikk. Translasjonsmekanikken er hvordan objekter beveger seg i en rett linje, rotasjonsmekanikken er hvordan objekter beveger seg om en akse. Takk og pris har vi Newtons andre lov i rotasjonsmekanikken også, bare sagt på en litt annen måte:
\(\tau = \vec{r} \times \vec{F} \)
Dette forteller oss at for at kraftmomentet (\(\tau\)), eller objektets evne til å endre rotasjon, er kun 0 om posisjonsvektoren og kraften er parallelle. La oss tegne opp en skisse som illustrerer kreftene i en bane rundt en stjerne. Kraften kommer så fra Newtons gravitasjonslov.
Dette stemmer jo gitt, kraftmomentet vil alltid være null så lenge vi har referansesystemet i stjernen.
-----------
For de som er litt mer interessert i rotasjonsmekanikken er denne neste seksjonen dedikert til dere, men den er ikke alt for viktig videre så bla ned under linjen hvor vi beviser Keplers tredje lov. Siden vi vet at Newtons andre lov finnes i rotasjonsmekanikken kan vi jo bare integrere den og finne bevegelsesmengden? Det er faktisk så lett!
\(\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = I\omega\)
Her vil så \(\vec{L}\) være gitt som spinn (rotasjonsmekanikkens bevegelsesmengde), \(I\) er treghetsmomentet og \(\omega\) er vinkelhastigheten. Den likner utrolig mye på bevegelsesmengden i translasjonsmekanikken. La oss nå skrive ut hele uttrykket: \(\vec{L} = r*\vec{e_r} \times m(v*\vec{e_r}+r\omega*\vec{e_\theta})\) Hva er alt dette? Jo, dette er enhetsvektorer. Det er som om når vi løser et koordinatsystem i et annet referansesystem enn x og y. Det er lettere (og ryddigere) å løse et system som har en sirkulær bevegelse med polarkoordinater (\(\vec{e_r}, \vec{e_\theta}\)). Den mystiske farten kommer fra multiplikasjonsregelen i derivasjon: \((r*\vec{r})’ = (r)’*\vec{e_r}+r*(\vec{e_r})’ = v*\vec{e_r}+r\omega*\vec{e_\theta} \vec{L} = mr^2\omega\) Vi har så funnet treghetsmomentet for spinnet, men vi er jo ikke så interessert i spinnet, vi ville jo bare bevise at den var konstant. La oss gjøre det om til det spesifikke spinnet:\( \vec{h} = \frac{\vec{L}}{m} = r^2\omega \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{\vec{h}}{2}\)
---------
Hang du med? Ta gjerne den tiden du trenger for å forstå, dette er nemlig essensen for å forstå alle Keplers lover. La oss ta det litt roligere med noen enkle integraler. Fra den spesielt interesserte seksjonen ovenfor satt vi nemlig \(r^2\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\) til å være en konstant \(\vec{h}\). Vi kan så integrere dette på hensyn med tid for å få omløpstiden
\(\int_0^P \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \int_0^P \frac{h}{2}\mathrm{d}t \) -> \(\int_0^A 1\mathrm{d}A = \frac{h}{2}\int_0^P 1\mathrm{d}t\)
\(A = \frac{h}{2}P\)
Arealet til en ellipse er \(\pi a b\)
\(P = 2\pi\frac{ab}{h}\)
Vi har så omløpstiden, som leder oss mot Keplers tredje lov. Vi kommer til å introdusere en del formler her som skal lede oss mot det endelige svaret. Omløpstiden til en ellipse er gitt ved:
\(P = a(1-e^2)\)
\(P = \frac{h^2}{G(m_1+m_2)} \)
Eksentrisiteten er gitt ved:
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
Det blir veldig mye å måtte utlede hver eneste formel, men dette er likningen en ville ha fått om en hadde lagt et plan gjennom en kjegle; et kjeglesnitt. Disse formlene kan en så enkelt mikse sammen:
\(P = a(1-(1-\frac{b^2}{a^2})) = \frac{b^2}{a}\)
\(\frac{b^2}{a} = \frac{h^2}{G(m_1+m_2)} \)
\(h= \sqrt{m\frac{b^2}{a}}\)
Vi har så et nytt uttrykk for \(h\), som er konstant. Vi kan sette dette inn i formelen vi utledet fra kraftmomentet for å finne omløpstiden:
\(P = 2\pi\frac{ab}{\sqrt{G(m_1+m_2)\frac{b^2}{a}}}\)
\(P^2 = \frac{4\pi^2}{G(m_1+m_2)}a^3\)
Og så falt jo svaret rett ut! Skalaren som Kepler manglet foran likningen sin kom fram ved å analytisk løse likningen for omløpstiden. Denne skalaren vil ofte ikke ha så mye å si dersom den ene massen var en stjerne. Mellom to planeter derimot vil formelen slutte å fungere. Dette er fordi skalaren nærmer seg en når massene under blir ganske store.
------------
Men hvorfor gå igjennom alt dette? Jo, det er for å påpeke feilkilder som kan oppstå ved å bruke forenklede formler. Ikke bare det, vi kan også sjekke om beregningene vi gjør i programmet faktisk stemmer.
Aphelion: 7,57275 AU
Perihelion:
Som vi nylig hadde vist, vil et himmellegeme bevege seg og danne like store arealer i ellipsen over en gitt periode.
\(\mathrm{d}A = \frac{r^2\mathrm{d}\theta}{2}\)
Som vi beklageligvis ikke fikk bekreftet ettersom det ble noe krøll med koden! Så du får vel prøve selv.