Hvor skal vi?

For å finne ut hvilke planeter som kunne ha hatt liv, hadde det først vært fint å finne en planets temperatur. Vi Det har seg sånn at effekten per areal (også kjent som fluks) er proporsjonal med temperaturen i fjerdepotens. Hvorfor? Husker du Stefan-Boltzmanns lov?

\(F = \sigma T^4\)

Her er \(\sigma\) Stefan-Boltzmanns konstant og T temperaturen. Vi kan kun bruke denne likningen om det er et svart legeme vi snakker om. Et svart legeme er et legeme som absorberer all stråling. Vi approksimerer stjernene som perfekte svarte legemer fordi de ofte sender ut mesteparten av strålingen sin i en viss bølgelengde, dette betyr at stjernen har absorbert all (eller mesteparten) av strålingen, og sendt det ut etter en veldig kjent svartlegemestrålingsgraf.

Kilde:  svartlegemestråling

La oss nå se på hvordan vi løser for effekten en distanse langt unna, la oss si en planet. Hva ville så effekten vært ut til en slik distanse? Vi vet at fluksen til en stjerne kan skrives ved Stefan-Boltzmanns lov, og det har seg slik at fluksen er definert som effekt per areal. Kan vi så ikke bare gjøre arealet større? Det er det vi gjør, vi deler effekten vi fikk på et større areal som tilsvarer overflaten av et skall som går igjennom himmelegemet for å finne ut effekten fra stjernen til den distansen. Vi har så flyttet fluksen fra det som kommer ut av stjernen til det som når oss.

Fluksen vil altså avta jo lengre vekk fra stjernen man er, så vi må regne oss tilbake til  den totale effekten fra stjernen for å få den motatte fluksen langt borte.

\(L_s = F_s*A_s\)

Vi finner effekten (L, også kalt luminositet) fra stjernen og ser hva fluksen på en vilkårlig distanse r er:

\(F_d = \frac{\sigma T_s^4*A_s}{A_r} = \frac{\sigma T_s^4(4\pi R_s^2)}{4\pi r^2} = \frac{\sigma T_s^4R_s^2}{r^2}\)

Hvor arealet er overflaten til en kule. Vi ser at hvis arealet på en kule har samme radius som stjernen, vil vi komme tilbake til fluksen til stjernen. Denne fluksen sier oss fint lite da, vi trenger et faktisk objekt å kunne absorbere denne fluksen før vi kan si hvor stor effekt stjernen utgir på den. Det bør jo ikke være vanskeligere enn å så gange ut fluksen vi har igjen med et areal for å finne ut eksakt?  Men hva er egentlig absorbert av en kule i verdensrommet? La oss se litt nærmere på dette.

Dette er det vi tenker oss en planet vil se ut som. Det virker ganske umulig å trekke fram en god konklusjon hva arealet av planeten som faktisk absorberer lyset? La oss skifte perspektiv til hva lyset fra stjernen ser:

Lyset vil jo bare se en sirkel! Uten skyggeleggingen ser man jo kun en sirkel, dette vil så arealet absorbert være dersom vi antar at alle fotonene fra stjernen kommer mot planeten parallelt. Fra så stor distanse som vi er fra kan vi godt anta at disse fotonene kommer faktisk ganske parallelt. Dermed kan vi regne oss til den motatte effekten ved å gange fluksen med det gitte arealet:

\(L_p = F_d*\pi*R_p^2 = \frac{\sigma T_s^4R_s^2}{r^2}*\pi R_p^2\)

Planeten, likt med stjernen, skal så også gi fra seg en fluks, ettersom de reflekterer stjernelyset. Stjernelyset er jo svartlegemestråling, og vi kan så anta at planeten har absorbert all strålingen, som et svart legeme gjør. Vi vet så at planeten må dermed sende ut svartlegemestråling fordi den er et svart legeme. Fra dette kan vi jo finne planetens fluks effekten som når planeten, men med en antakelse at all den effekten blir spredt utover hele overflaten til planeten. Vi bruker til slutt Stefan-Boltzmanns lov for å så finne temperaturen til planeten .

\(F_p = \frac{L_p}{4\pi R_p^2} = \frac{\sigma T_s^4R_s^2}{4\pi R_p^2 r^2}*\pi R_p^2\)

\(T_p = \frac{T_s\sqrt{R_s}}{4^{\frac{1}{4}}\sqrt{r^2}}\)

Det var da utrolig varmt på planeten vi kom fra, tror nok vi hadde kokt levende, spesielt på ekvator. Likevel så skal det være mulig for flytende vann å finnes der som indikerer på liv. Ser vi derimot på Planet 1, så likner det mer på et mer komfortabelt sted å være og virker godt innenfor den beboelige sonen. Vi kan så si at dette blir nok den planeten som vi har størst interesse å besøke. Av praktiske årsaker er det også vanskelig å nå de andre planetene på grunn av de store avstandene. Det er mange utfordringer når det kommer til å nå planeter med større bane enn våres egen, deriblant det faktumet av at man ofte blir nødt til å ta seg omveier for å nå de ytre planetene. 

Vår rakett kan ikke bare bruke sitt eget drivstoff og vil potensielt bli nødt til å låne litt bevegelsesmengde fra noen andre planeter for å øke sin egen fart. Dette blir ofte referert til som slingshot method, se her slingshot, dersom du er interessert. Poenget er at planeter som er nærmere oss er også lettere å nå, og som du kan se på bildet under vil du se at planeten med den rosa banen også kunne ha vært et alternativ, men på grunn av den store avstanden mellom den og den oransje så er det usikkert på om vi vil kunne nå den selv etter å ha brukt slingshot metoden. Det er nok mulig, men det blir muligens ganske vanskelig, og krever større presisjon enn det vi muligens vil klare å oppnå. 

Som vi spurte tidligere, var vi jo interessert i hvilke av planetene som kunne ha liv. En av de mest fundamentale årsakene til liv, er jo flytende vann. Vi er jo selv allerde ganske avhengig av dette, så det gir mening at det er her vi ville begynt å se etter liv. Vi kaller den distansen fra stjernen hvor vann er flytende for den beboelige sonen. La oss plotte den beboelige sonen ved å sette temperaturen der vann er flytende og se hvor stor denne sonen faktisk er. Vi kan omskrive formelen vi løste ovenfor for å finne distanse. Vi setter så at temperaturen for flytende vann er mellom 260-390 K. La oss også sette en feilmargin på \(\pm\) 15 grader, vi har jo allerede antatt at alt vi så på var svarte legemer, så det kan godt være at vi har noen feilberegninger og en planet faktisk kan ha høyere eller lavere temperatur. Det er i bunn og grunn mange faktorer som teller på en planets temperatur, som atmosfæren, hvor forskjellige komposisjoner kan ha en betydning av hvor mye varme som unnslipper. Et eksempel på dette i virkeligheten er Venus, som har en tykk atmosfære av karbodioksid. Dette gjør temperaturen til Venus på 475°, som er høyere en Merkur på 430°. Kilder: Merkur, Venus

Vi omskriver så formelen for temperaturen til planeten for distansen vi må være for at planeten skal ha en viss temperatur. Vi kan dermed sette T_p til å være temperaturen til flytende vann.

\(r = \frac{T_s^2R_s}{2T_p^2}\)

Legger vi dette inn i plottet vårt for planetbanene, vil vi kunne se en beboelig sone. La oss zoome inn og se bort ifra Planet 5 og 2 ettersom de er så langt unna og gjør sonen ganske usynlig.

Vi ser så nemlig at det stemmer at både Planet 0 og Planet 1 befinner seg i den beboelige sonen. Vi kan så også se at Planet 6 av og til krysser så vidt inn i denne sonen før den forlater den.

Å nei! Vi tok jo aldri i betraktning hvordan rakettens instrumenter skal fungere? Vi kunne ha brukt rakettdrivstoff, men det er jo en mye enklere måte å løse dette på. Stjel litt energi fra stjernens utstråling, også kjent som solcellepaneler. Disse vil kun være effektive nærme en stjerne, men vi hadde jo kun tenkt å besøke naboplaneten vår, så det kan nok lønne seg å bruke dette. Hvordan vet vi så hvor store solcellepanel vi bør ha for å lande på planeten? Som vi så tidligere, kunne vi jo bare bruke fluksen fra stjernen så gange med arealet for å få effekten. La oss gjøre dette, men si at solcellepanelene må generere minst 40W. Solcellepanel er heller ikke 100% effektiv, så la oss si effekten på disse panelene er kun 12%. Det vil si at vi trenger å samle inn mer enn 40W for at instrumentene skal fungere. La oss bruke det vi vet om fluks og effekt til å løse problemet. Vi omskriver formelen vi hadde at fluksen til en vilkårlig distanse slik at vi finner arealet den må ha for at vi skal ha en viss effekt vi skal generere.

\(F_d = \frac{\sigma T_s^4R_s^2}{r^2}\)

\(A = L/F_d\)

\(A = \frac{\frac{40}{0.12}}{\frac{\sigma T_s^4R_s^2}{r^2}} = \frac{40r^2}{0.12\sigma T_s^4R_s^2}\)

Hvis distansen fra stjernen er på planeten vi skal besøke, setter vi bare inn den halve storaksen. Ved hjelp av et skript løser vi dette raskt:

The Solar Panel needs to be 0.251 m² for a distance 12 AU.

Vent nå et sekund, \(0,25\ m²\) ??? Det var da utrolig lite i forhold til hva en ville brukt på jorden. Et solcellepanel på jorden ville laget 200W om vi hadde en kvadratmeter av det, og disse solcellepanelene er en del mer effektiv enn det vi bruker! Vi trengte jo \(333,33\ W\) for å holde instrumentene våre i gang! Dette kan jo bare bety en ting, og det er at fluksen til stjernen vår er en

del større enn vårt eget solsystem. La oss gjøre en rask sammenlikning av solen og vår egen stjernes fluks på en distanse lik jordens (1 AU).

Oida, da var det mysteriet løst. Vår stjerne har en langt, LANGT større fluks enn det solen har. For å sammenlikne kan vi ta fluksen fra vår stjerne og dele på fluksen fra solen og da får vi at fluksen er rundt 139.71 ganger større enn solen sin flux fra samme avstand. Kanskje 0,25 m² høres rimelig ut på en distanse ca. 12 AU vekk fra stjernen allikevel?

Til neste blogg-post