Vi har blitt utstyrt med to ulike måter å komme oss trygt ned på overflaten. Den ene er en fallskjerm som vi kan justere størrelsen på, den andre er et sett med mindre raketter som skal virke i motsatt retning enn det vi faller i. Vi kaller dem bare for thrusters, for enkelthetens skyld. En vellykket landing er her definert som om landingsmodulen treffer bakken med en fart lik eller mindre enn \(3\ m/s\). Så vårt mål blir dermed å få farten til å bli mindre enn det før vi treffer bakken. Planeten har en atmosfære som vi må gjennom på vei ned, det betyr at vi vil få luftmotstand inn i bildet. Kraften som luftmotstanden vil virke på landingsmodulen på vei ned vil bli uttrykket gjennom motstandskraften \(F_D\), også kjent som drag equation på engelsk.
\(F_D = \frac{1}{2}C_D\rho Av_{drag}^2\), her antar vi at dragkoeffisienten lik 1, \(\rho\) er tettheten til luften i en gitt avstand fra bakken, \(A\) er overflate arealet som er vendt mot retningen vi faller i, men vi kan anta at denne er størrelsen av landingsmodulen, til slutt vi vil forkorte \(v_{drag}\) til \(v_d\) som er farten til landingsmodulen i forhold til atmosfæren.
Overflatearealet til landingsmodulen er \(A_l = 0.3\ m^2\), og veier 90kg, \(\rho_0\) som er tettheten til luften på overflaten er \(\rho_0 = 4.87\ kg/m^3\). Vi antar at atmosfæren følger planeten sin rotasjon i en gitt avstand fra sentrum av planeten, så i og med at \(v_d\) er avhengig av farten til modulen i forhold til atmosfæren blir det naturlig å finne et uttrykk for farten til atmosfæren som en funksjon av avstanden fra sentrum.
Vi kan anta at rotasjonen til planeten er konstant, altså den roterer like fort pr tidsenhet man bruker. Vi kan se på farten til atmosfæren som strekningen en partikkel, som vi antar ikke endrer avstand til sentrum underveis, må tilbakelegge etter en hel runde. Vi får dermed en velkjent formel som er resultatet av at \(s = vt\), strekningen blir da omkretsen gitt radius, og med litt algebra får vi at \(w = v \Rightarrow \dfrac{2\pi r}{t} \), merk at dette er teknisk sett er den tangentielle farten.
Videre måler vi alltid vår hastighet i forhold til overflaten av planeten. Vi kan dermed se at det er relasjon mellom vår hastighet, og atmosfæren sin fart og dermed kan man finne et uttrykk for \(v_d\) gjennom disse. Atmosfæren sitt forhold til bakken er at den er bundet til rotasjonen av planeten, så på grunn av at bakken også er bundet av rotasjonen og vi måler vår hastighet i forhold til bakken kan \(\vec{v}_d\) bli uttrykket som \(\vec{v}_d = \vec{v}_p - \vec{w}\). \(v_p\) er hastigheten vår landingsmodul har i forhold til bakken, og kan bli dekonstruert til å være radiell og tangentiell hastighet.
For å forstå hva som skjer når landingsmodulen kommer inn i atmosfæren er vi nødt til se nærmere på kreftene som virker på modulen under nedstigingen, ved å dekomponere noen vektorer i form av radiell og tangentiell. Det er 2 hovedkrefter som virker på landingsmodulen, luftmotstanden som er avhengig av hastigheten i forhold til atmosfæren og tyngdekraften som er avhengig av avstanden til sentrum av planeten. Tyngdekraften virker bare radielt mellom modulen og sentrum, og kan ikke virke tangentielt. Dette fører til at modulen vil få en akselerasjon ned mot overflaten, som betyr at man får en radiell hastighet, og dermed en luftmotstand som virker i motsatt retning av bevegelsen, som vil si opp fra bakken. Vi setter positiv retning opp og negativ i retning bakken. Fra dette har vi da \(\vec{G}_t = -g\) og \(\vec{F}_{d, t} = \frac{1}{2}C_D\rho Av_{d, t}^2\). I radiell retning er den eneste kraften luftmotstanden som er avhengig av den radielle hastigheten til landingsmodulen i forhold til atmosfæren. På grunn av at det ikke er noen andre krefter som virker i denne retningen vil det bli en kraft som virker mot bevegelse, som vil redusere den radielle hastigheten over tid. På et eller annet tidspunkt vil den radielle hastigheten bli tilnærmet lik \(0\ m/s\). Ser vi på uttrykket for \(F_d\) ser vi at når \(\{v_d = 0\},\ F_d(v_d) \Rightarrow F_d(0) = 0\ N\), dermed vil vi bare ha \(\vec{G}_t\ og\ \vec{F}_{d,t}\) etter lang nok tid.
Vi kan gjøre om det opprinnelige problemet til et problem om fritt fall. Ser vi på summen av kreftene får vi \(\sum F = G_t + F_{d,t} = 0\ N \Rightarrow -mg + \frac{1}{2}\rho C_d Av_d^2=0\ N\), her er \(g = G\frac{M}{r^2}\), så med litt algebra der vi løser for \(v_d\) ender vi opp med \(v_d=\sqrt{G\dfrac{2Mm}{A\rho r^2}}\) . Dette ga oss et uttrykk for terminalfarten som en funksjon av avstanden til sentrum av planeten, for \(\rho\) er også en funksjon av \(r\).
La oss nå finne størrelsen på fallskjermen som vi vil trenge for å få en myk landing. Igjen med algebra og løser for arealet, så får vi \(A=G\dfrac{2Mm}{v_d^2\rho r^2}\Rightarrow \dfrac{2mg}{v_d^2\rho}\). Tyngdeakselerasjonen på overflaten er \(g = 5.09\ m/s^2\), \(m = 90\ kg\) og \(v_d = 3\ m/s\). Setter vi inn de verdiene får vi størrelsen vår fallskjerm trenger \(A = 20.9\ m/s^2\).
Vel, det er nå godt og slikt, men for å være på den sikre siden setter vi heller \(v_d = 2.9\ m/s\) isteden for det vi brukte første gangen. Dette gjør vi fordi vi ønsker et lite slingringsrom dersom vi ikke skulle klare å bremse nok før vi treffer bakken. Med denne endringen får vi et areal på \(A = 22.4\ m/s^2\). I tillegg av ren nysgjerrighet sjekket vi også terminalfarten på overflaten dersom vi ikke skulle ha noen fallskjerm, da fikk vi \(v_{uten} = 25.05\ m/s\). Dette skulle vise seg å bli relevant senere.
Vel, dette kan kalles for stilheten før stormen.