Vi ser på bevegelser fra et stasjonært laboratorium hvordan elektron og
proton beveger seg i forhold til et nøytron i bevegelse. hastigheten mellom
proton og elektron i forhold til nøytronet kan da bli skrevet som
\( v_{rel} = v_{partikkel} - v_{n}\)
Vi bytter så perspektiv og ser på bevegelsene fra nøytronet får vi at \(v_n = 0\) og dermed blir hastigheten like det vi måler den i forhold til nøytronet, om vi ser på systemet fra nøytronet i seg selv. Momentum på firer form kan bli skrevet som
\(P_{\mu} = m\gamma(1, \vec {v})\)
Finner momenergy \(P_{\mu}'(e)\) sett fra nøytronet ved å sette inn \(v_e'\) og \(\gamma_e'\) og får
\(P_{\mu}'(e) = m_e \gamma_e' (1, v_e') \Rightarrow \gamma_e' (m_e, m_e v_e')\)
gjør det samme for protonet \(P_{\mu}'(p)\) sett fra nøytronet og får
\(P_{\mu}'(p) = m_p \gamma_p' (1, v_p')\Rightarrow \gamma_p' (m_p, m_p v_e')\)
For å få \(P_{\mu}'(n)\) setter vi inn slik vi har gjort tidligere, igjen sett fra nøytronet. Her er det derimot noe som er annerledes i forhold til de andre, nemlig hastigheten \(v_n' = 0\). Dette kommer av at vi ser på resten av systemet med bevegelsen til nøytronet. Du kan tenke deg at du sitter i en bil som kjører på en vei, ser du ut av vinduet vil du si at alt rundt deg beveger seg, men ser du nå på det som skjer i bilen vil du si at det ikke er noen hastighet i forhold til deg selv. Det samme gjelder her.
I tillegg er \(\gamma\) avhengig av hastigheten, for \(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2}}\), når \(v = 0\) blir \(\gamma_n = 1\) Setter vi inn får vi følgende
\(P_{\mu}'(n) = m_n \gamma_n' (1, v_n')\Rightarrow (m_n, 0)\)
bevaring av momenergy kan bli uttrykket som
\(P_{\mu}'(n) = P_{\mu}'(p) + P_{\mu}'(e)\)
\((m_n, 0) = \gamma_p' (m_p, m_p v_e') + \gamma_e' (m_e, m_e v_e')\)
Gjør om litt og skriver dette som vektrorer isteden, som gir
\(\begin{bmatrix} m_n \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_p'm_p \\ \gamma_p' m_p v_p' \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \gamma_e'm_e \\ \gamma_e' m_e v_e' \end{bmatrix} \)
\(\begin{bmatrix} m_n \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_p'm_p + \gamma_e'm_e \\ \gamma_p' m_p v_p' + \gamma_e' m_e v_e' \end{bmatrix}\)
Dette gir oss et likningsystem som vi kan bruke videre.
\(m_n = \gamma_p'm_p + \gamma_e'm_e \tag{2a}\)
\(0 = \gamma_p' m_p v_p' + \gamma_e' m_e v_e' \tag{2b} \)
Vi finner så et uttrykk for \(\gamma_p'\) og \(\gamma_e'\) fra (2a), etter litt algebra får man
\(\gamma_p' = \dfrac{m_n - \gamma_e' m_e}{m_p} \tag{3a}\)
\(\gamma_e' = \dfrac{m_n - \gamma_p' m_p}{m_e} \tag{3b}\)
Vi bruker så følgende forhold for å forenkle utregningen, første er en omskriving av uttrykket for \(\gamma\) men nå med hensyn på \(v\).
\(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \Rightarrow v = \sqrt{1 - \dfrac{1}{\gamma^2}} \tag{A}\)
neste er følgende
\(a\sqrt{b} + c\sqrt{d} = 0 \Rightarrow (a\sqrt{b})^2 = (-c\sqrt{d})\)
\(a^2b = c^2d \tag{B}\)
Fra (2a) setter vi at \(a = \gamma_p' m_p\ og\ c = \gamma_e' m_e\) Vi setter så
\( b = v_p' \Rightarrow \sqrt{1 - \dfrac{1}{(\gamma_p')^2}}\ og\ d = v_e' \Rightarrow \sqrt{1 - \dfrac{1}{(\gamma_e')^2}}\)
som vi får fra (A), setter så inn i (B) og får
\((\gamma_p' m_p)^2 \left(1 - \dfrac{1}{(\gamma_p')^2}\right) = (\gamma_e' m_e)^2 \left(1 - \dfrac{1}{(\gamma_e')^2}\right)\)
\((\gamma_p')^2 m_p^2 - m_p^2 = (\gamma_e')^2 m_e^2 - m_e^2 \)
starter med å løse for \(\gamma_p'\) ved å sette inn (3a) inn i uttrykket ovenfor, algebraen er ganske grei slik det er nå, så lar være å vise det men vi får at
\(\gamma_p' = \dfrac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_n m_p}\ og\ \gamma_e' = \dfrac{m_n^2 + m_e^2 - m_p^2}{2m_n m_e}\)
Bruker her at \(P_{\mu}' = c_{\nu \mu} P_{\nu}\), som er den følgende matrisen
\(\begin{bmatrix} E' \\ p_x' \\ p_y' \\ p_z'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma_{rel} & -v_{rel}\gamma_{rel} & 0 & 0 \\ -v_{rel}\gamma_{rel} & \gamma_{rel} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E \\ p_x \\ p_y \\ p_z\end{bmatrix}\)
Vi vil ha energien og bevegelsesmengden sett fra laboratoriet som betyr at vi må ta
\(c_{\nu \mu}^{-1} P_{\mu}' = P_{\nu}\)
som gir følgende
\(\begin{bmatrix} \gamma_{rel} & v_{rel}\gamma_{rel} & 0 & 0 \\ v_{rel}\gamma_{rel} & \gamma_{rel} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} E' \\ p_x' \\ p_y' \\ p_z'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E \\ p_x \\ p_y \\ p_z\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} \gamma_{rel} & v_{rel}\gamma_{rel} \\ v_{rel}\gamma_{rel} & \gamma_{rel} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E' \\ p_x' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E \\ p_x \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} E'\cdot \gamma_{rel} + p_x'\cdot v_{rel}\gamma_{rel} \\ E' \cdot v_{rel}\gamma_{rel} + p_x' \cdot \gamma_{rel} \end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} E \\ p_x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} E'\cdot \gamma_{rel} + p_x'\cdot v_{rel}\gamma_{rel} \\ E' \cdot v_{rel}\gamma_{rel} + p_x' \cdot \gamma_{rel} \end{bmatrix}\)
\(E = E'\cdot \gamma_{rel} + p_x'\cdot v_{rel}\gamma_{rel}\) og \(p_x = E' \cdot v_{rel}\gamma_{rel} + p_x' \cdot \gamma_{rel}\)
Dette er da energien og momentumet i sett fra planeten, hvor \(E'\) er energi delen fra (1) og \(p_x'\) er bevegelsesmengden fra (1). Bruker vi nå at \(v_{rel} = - v_{n}\) får vi ved å hente ut data fra labben, at \(v_n = 0.847c\) enheten man får her vil være gitt i masse.
\(E = \gamma m \Rightarrow \frac{E}{m} = \gamma \Rightarrow \frac{E}{m} = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \Rightarrow \left(\frac{m}{E}\right)^2 = 1 - v^2 \Rightarrow v = \sqrt{1 -\left(\frac{m}{E}\right)^2}\)
så hastigheten for enten proton eller elektronet blir å finne \(\gamma\) og bruke (A) For å bekrefte bevaring av masse, må vi kunne si at \(m_n = m_p + m_e\), setter vi dette inn i
\(\gamma_p' = \dfrac{m_n^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_n m_p} \Rightarrow \dfrac{(m_p + m_e)^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_p (m_p + m_e)} \Rightarrow \dfrac{m_p^2 + 2 m_p m_e + m_e^2 + m_p^2 - m_e^2}{2m_p^2 + 2m_p m_e} \)
\( \Rightarrow \dfrac{2m_p^2 + 2 m_p m_e}{2m_p^2 + 2m_p m_e} \Rightarrow 1\)
\(\gamma_p'= 1\)
Som betyr at \(v_p' = 0\) så fra bevaring av momenergy har vi at
\(P_{\mu}'(p) = m_p \gamma_p' (1, v_p')\Rightarrow \gamma_p' (m_p, m_p v_e')\)
så når leddet for protonet er lik 0 så må leddet for elektronet også bli lik null, som i praksis betyr at de er på samme sted, som ikke er mulig. Dermed kan ikke massen være bevart.