La oss anta at vi har to romskip som flyr i samme retning med konstant hastighet, vi flyr også i samme retning midt i mellom med en lik konstant hastighet og ser på ut på romskipene. I et referansesystem vil så raketten til venstre alltid ligge i origo. Plutselig observerer vi at romskipene skyter mot hverandre og tilintetgjør hverandre.
Vi valgte kanskje et veldig dårlig sted å befinne oss, i midten av en galaktisk krig. Derimot er vi kun en nøytral observatør, og rakettenes laserstråler blir ufarlige når de skyter rett igjennom oss. Disse to bevæpnede rakettene har en distanse L mellom seg. Vi kaller så event A for når den røde raketten skyter ut sin laserstråle og event B for når den blå raketten skyter ut sin. I vårt referansesystem skjer dette simultant ettersom vi ligger i samme referansesystem som rakettene. Etter en stund vil disse laserstrålene treffe den andre raketten, noe som også skjer simultant i vårt referansesystem. Vi kaller det at den røde raketten eksploderer for event C og det at den blå raketten eksploderer for event D.
La oss nå se på dette systemet fra et annet referansesystem, vi velger så å se på systemet fra planeten som står stille. Hva observerer vi nå?
Som vi vet, går jo lyset med en konstant hastighet \(c\) i alle referansesystemer. Denne farten vil alle være enige om uansett hvilket referansesystem du tilhører. Vi får så også vite at laserstrålene krysser hverandre simultant i planetens referansesystem. Her oppstår så problemet: Hvis alle referansesystemer er enig om at lyshastigheten er konstant, må jo den røde raketten ha skutt først (event A) for at den skal komme seg halvparten av distansen til den blå raketten, hvor laserstrålene krysser hverandre simultant i planeten og romskipenes referansesystem. Den blå rakettens laserstråle (event B) vil så ha en mindre distanse ettersom den røde raketten beveger seg mot den. Vi kan derfor resonnere oss fram til at fra planetens perspektiv vil vi se event A først, så event B. Etter at laserstrålene har krysset hverandre, gjelder jo fortsatt at den røde rakettens laserstråle har en lengre distanse å bevege seg enn den blå, derfor må event C ha skjedd før event D. La oss sette opp en tabell for hva som skjer:
| Rakett |
Planet |
|||
|---|---|---|---|---|
| Akse | x' | t' | x | t |
| A | 0 | 0 | 0 | 0 |
| B | L | 0 | xB | tB |
| M | L/2 | L/2 | xM | tM |
| C | 0 | L | xC | tC |
| D | L | L | xD | tD |
Merk at vi bruker naturlige enheter, det betyr at vi snakker om tid og rom med samme enheter. Dette får vi til ved å bruke lyshastigheten som basis. Vi måler så distanse i hvor lang tid det tar for lyset å bevege seg den distansen, og fart blir målt i en prosentdel fra lyshastigheten slik at \(c = 1\).
La oss nå sette opp noen likninger av det vi vet vi kan beskrive fra referansesystemet til planeten for å avduke noen av de ukjente verdiene for planetsystemet. Vi vet at:
Rød raketts posisjon:
\(x_r = x_A + v\Delta t = v\Delta t\)
Observatørraketts posisjon:
\(x_o = x_M + v\Delta t = \frac{L}{2} + v\Delta t\)
Rød laserstråles posisjon:
\(x_{rl} = x_A + v \Delta t = \Delta t\)
Vi kan så sette opp en likning. Vi finner for den tiden den røde laserstrålen treffer observatørraketten. Vi setter så \(\Delta t = t_M - t_A = t_M\) og skriver opp likningen:
\(x_{rl} = x_o\)
\(t_M-t_A = \frac{L}{2} + v(t_M-t_A)\)
\(t_A= t_M - \frac{L}{2(1-v)}\)
\(t_M = \frac{L}{2(1-v)}\)
Som vi ser, vil så nevneren bli mindre jo større fart vi har. Hvis farten var 0, ville vi fått t'M. Tiden vil så eksplodere jo nærmere opp mot lyshastigheten vi kommer. Vi vet også at dette er den samme tiden som når den blå laserstrålen møtte den røde. Vi kan så regne oss fram til posisjonen til den blå laserstrålen som beveger seg i negativ x-retning, og vi vet at \(x_{rl} = x_o = x_{bl}\) ved en tid tM:
Blå laserstråles posisjon:
\(x_{bl} = x_M - v\Delta t = x_M - \Delta t = \frac{L}{2} - \Delta t\)
Vi kan så finne ut tC ved å sette posisjonen til den blå laserstrålen lik posisjonen til den rød raketten:
\(x_r = x_{bl} \\ v\Delta t = \frac{L}{2}-\Delta t \\ v(t_C-t_M) = \frac{L}{2}-(t_C-t_M) \\ t_C = \frac{L}{2(1+v)} + t_M = \frac{L}{1-v^2}\)
Vi kan så finne det generelle forholdet mellom tiden vi fant for planetsystemet og for rakettsystemet:
\(\frac{t_C}{t'_C} = \frac{L}{L(1-v^2)} = \frac{1}{1-v^2}\)
Vi kan så gjøre om til våre kjente enheter meter og sekund:
\(\frac{t_C}{t'_C} = \frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}} \\ \)
Denne formelen virket jo ganske kjent! Vi har jo nemlig lorentzfaktoren:
\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\)
Men hvorfor kom vi ikke i mål? Det har seg slik at distansen fra observatørraketten til den røde raketten er mindre enn fra den røde til observatøren! Som nevnt tidligere er dette fordi at den røde beveger seg mot den blå laserstrålen, mens den rød beveger seg med. Det ville derfor egentlig ha skjedd en lengdekontraksjon som gjør at lengden endrer seg.
Vi ser dermed ved å endre referansesystemer er ikke alltid eventer samtidige lengre! Eventer er relativt da de fra planeten ville ha påstått den røde raketten skjøt først men de i observatørraketten ville ha sett at begge skjøt simultant.