Her ser vi et x-y-plott av posisjonene til alle de 500 gasspartiklene våre:
Merk avstandene i meter som vises på x og y-aksene. Vi ser at utstreknina til gass-skya er omkring \(4\times10^{11}\) meter eller 400 millioner km. Til sammenlikning så tilsvarer et lysår \(3\times10^8\) m/s ganger \(3600\times24\times365\) sekunder = omtrent 9.5*10^15 meter. Skya har altså en utstrekning på mye mindre enn et lysår. Avstanden fra sola til jorda er på omkring 150 millioner km. Skya har altså en utstrekning på over 2 ganger avstanden mellom sola og jorda. Solas radius er på omkring 700.000 km som altså er mye mye mindre.
Et av de formlene man kan utlede når man bruker antagelsen om ideel gass, er at den midlere kinetiske energien til en partikkel i gassen er gitt ved \(\frac{3}{2}kT\) hvor T er temperaturen og k er noe som kalles Boltzmanns konstant, \(k = 1.38\times10^{-23} \mathrm{m^2 ~kg~s^2 ~K^{-1}}\). Dette er en naturkonstant som brukes for gasser, akkurat som gravitasjonskonstanten i Newtons lov. Vi har allerede en liste med utgangshastighetene til alle 500 partiklene våre. Har vi massen og hastighetene til alle partiklene så kan vi finne den kinetiske energien: Du har helt sikkert lært at kinetisk energi til en partikkel er gitt ved \(\frac{1}{2}mv^2\)
Dermed har vi en måte å finne temperaturen til gassen vår: hvis vi summer den kinetiske energien til alle partiklene og deler på antall partikler, så får vi midlere kinetisk energi til gassen. Som vi vet skal være \(\frac{3}{2}kT\). Da får vi likningen:
\(\frac{1}{500}\sum_{i=1}^{500}\frac{1}{2}m_iv_i^2 = \frac{3}{2} k T\)
forstår du summetegnet her? Vi lar i gå fra 1 til 500, altså sum over alle partikler, med \(m_i\) og \(v_i\) som er massen og hastighetene til partikkel nummer i. MERK: Som partikkelmasse her, så må vi i dette tilfellet bruke den faktiske massen til hydrogenatomene i gassen vår, ellers så får vi den kinetiske energien til alle molekylene i gassen, samtidig som vi deler på kun 500 partikler! Her er det som om vi tar ut et molekyl fra hver kjempepartikkel for å måle temperaturen i hele gassen.
Stokker vi nå om på likningen så får vi:
\(T = \frac{2}{3k}\frac{1}{500}\sum_{i=1}^{500}\frac{1}{2}m_iv_i^2\)
og setter vi inn tall her så får vi en temperatur på 20K (K = grader Kelvin). Husk at Kelvin måler temperatur over det absolutte nullpunktet, -273.15 grader celcius, slik at grader Celcius = grader Kelvin minus 273.15 grader. Dermed tilsvarer 20K altså \(-253.15^\circ C\)
Nå har vi en måte som vi kan måle temperaturen i gass-sky vår på: ettersom skya trekker seg sammen, så kan vi ved jevne mellomrom måle temperaturen og se hvordan den øker. Kjernereaksjonene som produserer energi i solas sentrum trenger en temperatur på minimum 15 millioner K. Vi kan altså måle temperaturen underveis i simuleringa for å se når kjernereaksjoner starter, og vi har fått en ny stjerne.
Nå som vi har temperaturen på gass-skya, så kan vi også sjekke om gassen vår oppfører seg omtrent som en ideel gass (se bloggpost 3). Dette var jo noe vi antok når vi utledet uttrykket for temperatur, så det er viktig at vi sjekker at antakelsen vår faktisk stemmer.
For en ideel gass, så kan man utlede det som heter Maxwell-Boltzmann-fordelingen. Det er rett og slett en lov som sier noe om hvor mange partikler som har en gitt hastighet i gassen. I figuren her så ser vi et eksempel:
På x-aksen ser vi forskjellige hastigheter til gasspartiklene.Merk at det er x-, y- og z-komponentene til hastighetsvektoren til partiklene vi ser på her. Husk at en vektor kan deles opp i komponenter i hver av de romlige retningene \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\). Den øverste figuren viser hastighetskomponenten \(v_x\), den midterste \(v_y\) og den nederste \(v_z\). Vi ser at hastigheten kan være både positiv og negativ, som betyr at partikkelen kan bevege seg i positiv eller i negativ x-, y- eller z-retning. På y-aksen ser vi antall partikler som skal ha den gitte hastigheten i en ideel gass (eller rettere sagt, sannsynligheten for at en partikkel har den gitte hastigheten). Den røde kurven viser det som man forventer fra ideel gass med en temperatur på 20K, mens det sorte histogrammet har vi laget fra simuleringa vår ved å telle opp antall partikler som har den gitte hastighetskomponenten. Hvis partiklene våre oppfører seg som ideel gass, så bør det være godt samsvar mellom den forventede røde linja og histogrammet. Men samtidig må vi huske at den røde linjen kun viser hvor sannsynlig det er at en gasspartikkel har en gitt hastighet. Den viser ikke nøyaktig hvilken fart gasspartiklene har, det vil variere hele tiden i en gass selv om temperatuen er den samme. Dermed må vi forvente at histogrammet fluktuerer litt rundt den røda linja, akkurat slik som vi ser. Hadde det vært en uoverensstemmelse, så ville vi forventet at den ene linja var hele tiden over eller hele tiden under den andre linja over større hastighetsområder. Men vi ser at den fluktuerer både opp og ned, og kan dermed konkludere med at dette stemmer godt overens. Partiklene våre ser ut til å oppføre seg som ideel gass ved en temperatur på 20K.
Før vi nå i neste bloggpost skal la gravitasjonskreftene begynne å virke og la skya trekke seg sammen mot en stjerne, så er det en størrelse til vi gjerne vil beregne underveis i simuleringa vår: nemlig radiusen til den kuleforma skya. Siden skya har en masse som tilsvarer sola, så vil vi forvente at det har blitt dannet en stjerne med kjernereaksjoner når radiusen til skya har nådd radiusen til sola på 700.000 km.
En enkel måte å finne radien til gass-skya vår på kunne være å beregne den midlere avstanden til sentrum av skya. Altså finne hvor langt hver partikkel er fra sentrum av skya og så ta midlet av alle disse avstandene. Men som vi skal se, så vil noen gasspartikler kastes ut av skya i simuleringa. Dette er det gravitasjonen som gjør, den gir noen partikler en så stor akselrasjon at de forsvinner langt ut. Disse vil lage kluss når vi beregner midlere radius og vi får en radius som er alt for stor slik at de fleste partiller vil være langt nærmere sentrum enn det radiusen tilsier. Dette prøver vi å løse på denne måten: vi tar bare med de 80% av partiklene som er nærmest sentrum i beregningen. Da viser det seg at vi får en radius som stemmer rimelig godt overens med den visuelle utstrekningen til skya under hele sammentrekningen.
Da står det bare en bloggpost igjen for denne problemstillingen: i neste bloggpost skal vi se hvordan skya trekker seg sammen og hva temperaturen og radiusen til skya blir. Kommer vi virkelig til å få dannet en fungerende stjerne med alle disse tilnærmelsene???