Numeriske beregninger i FYS2130 våren 2011

Innen “Svingninger og bølger” finnes det en rekke fenomener vi ønsker studentene skal utforske enten eksperimentelt eller ved hjelp av numeriske beregninger. Grunnen er at det er vanskelig å forstå komplekse tidsavhengige fenomen bare gjennom en analytisk matematisk beskrivelse. Dessuten ønsker vi at studentene skal kunne håndtere reelle problemstillinger i senere studier og jobb. Tradisjonell undervisning har ofte begrenset seg til stasjonære forhold som følger enkle svinge- eller bølgeligninger, mens vi ved numeriske metoder nesten like enkelt kan håndtere også transiente forløp og mer komplekse fysiske system.

Det er et vell av mulige system innen “Svingninger og bølger” hvor numeriske beregninger vil kunne bidra til økt forståelse og til økt kompetanse hos studentene. Her er noen hovedgrupper av problemstilinger som vil bli tatt opp:

• For et enkelt svingesystem, f.eks. en pendel eller en RCL-krets i elektronikk, er det illustrativt å se at svingninger følger ut fra grunnleggende fysiske lover, gitt som differensialligninger, og at vi kan løse slike ligninger numerisk også i tilfeller der det ikke er analytiske løsninger (for ikke-lineære system). I en klassisk utdanning kommer det sjeldent fram sammenhengen mellom kvalitetsfaktor (Q-verdi) og innsvingningsforløpets varighet ved endring i en påtrykt påvirkning. Dette vil vi forsøke å rette opp gjennom bruk av numeriske oppgaver. Det kan også bli aktuelt å se på frekvensdobling og ”downconversion” i ikke-lineære systemer.
• Fourier-analyse brukes i stor utstrekning i fysikken, både eksplisitt og implisitt. Vi tror studentene vil få en bedre forståelse for Fourier-analyse dersom de selv programmerere denne (og ikke bruker ferdige applets eller ferdiglagede funksjoner). De får da fram behovet for diskretisering av frekvenser, forskjell mellom amplituder med faseinformasjon vs intensitet. Man kan også få fram hvorfor Fourier-analyse egner seg mindre godt for transiente forløp enn for steady-state. Som en bonus får vi også vist en mulig tolkning av Heisenbergs uskarphetsrelasjon (som inngår i kvantefysikkurset som mange av studentene tar parallelt med FYS2130).
• Wavelet-analyse er også aktuell for å vise at Fourier-transform bare egner seg for steady state signaler, mens Wavelet-analyse kan gi masse tilleggsinformasjon når signalet endrer karakter med tiden..
• For bølger er det flere grupper fenomener som vil bli gjenstand for numeriske oppgaver. Vi vil la studentene utforske forskjellen mellom fasehastighet og gruppehastighet ved hjelp av numeriske beregninger. Det kan lett gjøres for et en-dimensjonalt problem. En noe mer utfordrende oppgave blir å beregne diffraksjons- og/eller interferens-forløp basert på Huygens/Fresnels prinsipp, antakelig bare i 2D. Dette er rimelig enkelt når vi tar utgangspunkt i enkle kilder (punktkilder eller ”spalter” med plan bølgefront), men kan gjøres atskillig mer komplisert (og interessant) dersom vi også inkluderer refleksjoner.
• Det kan bli aktuelt med en numerisk oppgave knyttet til spreding av f.eks. av lys, eller av lysbrytning i vanndråper (som gir regnbuen, både den primære, den sekundære og Alexanders bånd).
• Vi ønsker også å trekke inn en numerisk oppgave knyttet til koherens og korrelasjonsfunksjoner.
• Det er instruktivt å se hvordan en bølge avhenger av initialbetingelser og randbetingelser. Det ønsker vi å få fram i numeriske beregninger.
• Dersom vi klarer å forenkle en problemstilling tilstrekkelig, ville det også vært svært nyttig å bruke såkalt "Finite difference method" for å beregne hvordan elektromagnetiske felt brer seg under en valgt geometri. Da løses Maxwells ligninger for små romelementer, og vi ender opp med en stor mengde koblede ligninger. Denne form for beregning gir en dyp forståelse for Maxwells ligninger, men programmeringen er såpass krevende at vi antakelig må la metoden ligge enda et år...
• Det er egentlig et uendelig antall ulike sammenhenger vi kan velge fra når vi bruker numeriske metoder for å få fram morsom fysikk og bedre forståelse av fenomener vi omgis av mer eller mindre daglig.

Vi tilbyr studentene hjelp ved modellering og programmering i Matlab / Python, men mest i Matlab. Man kan også bruke andre programmeringsspråk dersom man ønsker det, men da må man regne med atskillig mindre hjelp fra kursets lærere.