\documentclass[prc]{revtex4}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{lscape}

\usepackage{epic,eepic}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{bezier}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{dcolumn}% Align table columns on decimal point
\usepackage{bm}% bold math
%\usepackage{braket}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage{pst-plot}

\newcommand{\One}{\hat{\mathbf{1}}}
\newcommand{\eff}{\text{eff}}
\newcommand{\Heff}{\hat{H}_\text{eff}}
\newcommand{\Veff}{\hat{V}_\text{eff}}
\newcommand{\braket}[1]{\langle#1\rangle}
\newcommand{\Span}{\operatorname{sp}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{trace}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1 \right|}
\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right\rangle}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}

\title{Prosjekt 1,  FYS-KJM4480, H\o st 2009}
%\author{}
\maketitle
\section*{Prosjekt 1, frist kl 12 (formiddag) fredag 25 september}


Vi skal studere en skjematisk modell (Lipkin modellen, Nucl.
Phys. {\bf 62} (1965) 188) for vekselvirkning av $4$
fermioner som kan fordele seg p\aa\ to energiniv\aa er. Hvert niv\aa\ har
degenerasjon $d=4$. De to niv\aa a har kvantetall $\sigma=\pm 1$,
hvor \o verste niv\aa\ har $\sigma=+1$ og energi
$\varepsilon_{1}=
\varepsilon/2$ og nederste niv\aa\ har $\sigma=-1$ og energi
$\varepsilon_{2}=-\varepsilon/2$. I tillegg er undertilstandene
til
hvert niv\aa\ karakterisert ved $p=1,2,3,4$.

Vi definerer enpartikkel tilstandene
for Lipkin modellen
\[
\ket{u_{\sigma =-1,p}}=a_{-p}^{\dagger}\ket{0}
\hspace{1cm}
\ket{u_{\sigma =1,p}}=a_{+p}^{\dagger}\ket{0}.
\]
Enpartikkel tilstandene spenner ut en ortonormal basis.

Systemets Hamilton operator er gitt ved
\[
\begin{array}{ll}
H=&H_{0}+H_{1}+H_{2}\\
&\\
H_{0}=&\frac{1}{2}\varepsilon\sum_{\sigma ,p}\sigma
a_{\sigma,p}^{\dagger}a_{\sigma ,p}\\
&\\
H_{1}=&\frac{1}{2}V\sum_{\sigma ,p,p'}
a_{\sigma,p}^{\dagger}a_{\sigma ,p'}^{\dagger}
a_{-\sigma ,p'}a_{-\sigma ,p}\\
&\\
H_{2}=&\frac{1}{2}W\sum_{\sigma ,p,p'}
a_{\sigma,p}^{\dagger}a_{-\sigma ,p'}^{\dagger}
a_{\sigma ,p'}a_{-\sigma ,p}\\
&\\
\end{array}
\]
$V$ og $W$ er konstanter. $H_{1}$ kan bare flytte fermionpar opp
og ned som vist i figur (a) mens $H_{2}$ er et
spinnutvekslingsledd. Som vist i figur (b) s\aa\ forandrer
$H_{2}$ et fermionpar fra en tilstand $(p\sigma ,p' -\sigma)$ til
en tilstand $(p-\sigma ,p'\sigma)$.
\begin{figure}[hbtp]
\includegraphics[width=.4\textwidth]{fig1.ps}
\end{figure}\newline
a) Introduser kvasispin operatorene
\[
\begin{array}{ll}
J_{+}=&\sum_{p}
a_{p+}^{\dagger}a_{p-}\\
&\\
J_{-}=&\sum_{p}
a_{p-}^{\dagger}a_{p+}\\
&\\
J_{z}=&\frac{1}{2}\sum_{p\sigma}\sigma
a_{p\sigma}^{\dagger}a_{p\sigma}\\
&\\
J^{2}=&J_{+}J_{-}+J_{z}^{2}-J_{z}\\
&\\
\end{array}
\]
Vis at kvasispinn operatorene tilfredsstiller kommuteringsrelasjonene
for angul\ae rt moment.\newline
b) Uttrykk $H$ vha. av kvasispinn operatorene og antallsoperatoren
\[
N=\sum_{p\sigma}
a_{p\sigma}^{\dagger}a_{p\sigma}.
\]
c) Vis at $H$ kommuterer med $J^{2}$, dvs. $J$ er et godt kvantetall\newline
d) Betrakt deretter en tilstand med alle fire fermioner i laveste
tilstand ( se figuren), gitt ved
\[
\ket{\Phi_{J_z=-2}} =a_{1-}^{\dagger}a_{2-}^{\dagger}
a_{3-}^{\dagger}a_{4-}^{\dagger}\ket{0}.
\]
Denne tilstanden har $J_{z}=-2$ og tilh\o rer settet av projeksjoner for
$J=2$. 
Vi kan bruke korth\aa ndsnotasjonen $\ket{J,J_z}$ for tilstander med ulike
verdier av spinn $J$ og spinnprojeksjon $J_z$.

De andre mulige tilstandene har $J_{z}=-1$, $J_{z}=0$, $J_{z}=1$
og $J_{z}=2$. 
Bruk stige eller senke operatorene $J_{+}$ og $J_{-}$  til \aa\ konstruere
tilstandene for spinn $J_{z}=-1$ $J_{z}=0$, $J_{z}=1$
og $J_{z}=2$.  Virkninga av disse operatorene p\aa\ en gitt tilstand
med totalt spinn $J$ og projeksjon $J_z$ er gitt ved ($\hbar = 1$) henholdsvis
$J_+\ket{J,J_z}=\sqrt{J(J+1)-J_z(J_z+1)}\ket{J,J_z+1}$ og  
$J_-\ket{J,J_z}=\sqrt{J(J+1)-J_z(J_z-1)}\ket{J,J_z-1}$.
\newline
e) 
Bruk deretter operatorene for kvasispinn til \aa\ konstruere Hamilton matrisa $H$ i dette fem-dimensjonale rommet.
L\o s egenverdiproblemet enten numerisk eller analytisk for f\o lgende
sett av verdier:
\[
\begin{array}{cccc}
(1)&\varepsilon=2,&V=-1/3,&W=-1/4\\
(2)&\varepsilon=2,&V=-4/3,&W=-1
\end{array}
\]
Det enkleste her, dersom du ikke har utvikla et eget program for diagonalisering
av et egenverdiproblem, er \aa\ bruke Matlab eller Octave sine innebygde funksjoner for diagonalisering.  Hvilken tilstand er grunntilstanden? 
Kommenter gjerne resultatene. \newline
f)
Enpartikkel tilstandene
for Lipkin modellen
\[
\ket{u_{\sigma =-1,p}}=a_{-p}^{\dagger}\ket{0}
\hspace{1cm}
\ket{u_{\sigma =1,p}}=a_{+p}^{\dagger}\ket{0}
\]
kan n\aa\ brukes som basis for en ny enpartikkel
tilstand
$\ket{\phi_{\alpha ,p}}$  ved hjelp av en unit\ae r transformasjon
\[
\ket{\phi_{\alpha ,p}}=
\sum_{\sigma =\pm1}C_{\alpha\sigma}\ket{u_{\sigma ,p}}
\]
hvor $\alpha=\pm 1$ og $p=1,2,3,4$. Hvorfor er $p$ den samme i
$\ket{\phi}$
som i $\ket{u}$?  Vis at den nye basisen ogs\aa\ er ortonormal.\newline
g) Med den nye basisen kan vi konstruere en ny Slater determinant gitt ved
$\ket{\Psi}$
\[
\ket{\Psi}=\prod_{p=1}^{4}b_{\alpha ,p}^{\dagger}\ket{0}
\]
med $b_{\alpha ,p}^{\dagger}\ket{0}=\ket{\phi_{\alpha ,p}}$.

Vis at en ny Slater determinant som kan konstrueres med  den nye basisen kan skrives som Slater determinanten som er kontruert med basisen i a) og determinanten til matrisa $C$.

Vis ogs\aa\ at den nye og den gamle Slater determinanten er like med unntak av en konstant.  Hva er verdien til denne konstanten?\newline
h)   Bruk Slater determinanten fra forrige oppgave til \aa\  beregne
\[
E=\bra{\Psi}H\ket{\Psi},
\]
som funksjon av koeffisientene $C_{\sigma\alpha}$. \newline
i) Vis at 
\[
  \frac{\epsilon}{3} > V+W,
\]
m\aa\ v\ae re oppfylt for \aa\ finne et minimum.
Hint: rekn ut den funksjonalderiverte av energien med tanke p\aa\ koeffisientene $C_{\sigma\alpha}$. 

\end{document}

