INF2310 vår 2019 - UKEOPPGAVER 10

Bildene til oppgavene under finnes under /studier/emner/matnat/ifi/INF2310/v19/undervisningsmateriale/bilder/

Oppgave 1 - 2D DFT og Fourier-basisbildene (sin- og cos-bildene)

Last inn bildet car.png. Benytt kommandoen fft2 til å gjøre en 2D DFT av bildet.

1. Vis og studer Fourier-spekteret og fase-bildet ved å benytte imshow- eller imagesc-funksjonen (se s. 38 i forelesningsnotatet). Prøv gjerne å kjøre kommandoene colormap('default') og colorbar etter at bildet er fremvist. Hint: angle-kommandoen resulterer i tall i intervallet [-pi, pi].
2. Verifiser at koordinat (1,1) i 2D DFT-en (u=0,v=0) er lik summen av alle gråtoneverdiene i originalbildet (se forelesningsnotater s. 12, og husk at MATLAB bruker én-indeksering). Forklar.
3. Bildet du lastet inn er kvadratisk med N=256. Lag NxN sinus-bildet for frekvensen (u,v) = (5,7) (se s. 12 i forelesningsnotatet). Vis bildet og verifiser at du ser 5 og 7 hele perioder av sinus-funksjonen i henholdsvis vertikal og horisontal retning. Hint: En uskalert sinus-funksjon (dvs. en med amplitude lik 1) resulterer i tall i intervallet [-1, 1].
4. Punktvis multipliser originalbildet og sinus-bildet fra punkt c, og summer alle verdiene i den resulterende matrisen. (Dette kalles indreproduktet mellom bildene.)  Verifiser at denne summen er lik imaginærdelen til 2D DFT-en for samme frekvens som beregnet ved fft2-kommandoen.
5. Lag cosinus-bildet av samme størrelse og frekvens som i punkt c og d (samplet 2D cosinus er definert akkurat som samplet 2D sinus med unntak av at sinus-funksjonen er erstattet med cosinus-funksjonen). Verifiser at summen av verdiene i det punktvise produktet mellom originalbildet og cosinus-bildet er lik realdelen til 2D DFT-en for samme frekvens som beregnet ved fft2-kommandoen.

Oppgave 2 - Sin- og cos-bildene og ortogonalitet

I denne oppgaven er M=256 og N=512.

1. Lag og vis MxN sinus-bildet for frekvensen (u,v) = (10,10). Merk hvordan retning på "bølgene" er påvirket av den ikke-kvadratiske samplingen, mens antall hele perioder i hver retning forblir det samme (det er jo disse antallene vi spesifiserer med frekvensen).
2. Lag MxN cosinus-bildet for samme frekvens som i punkt a. Summer resultatet av den punktvise multiplikasjonen av sinus-bildet i punkt a og dette cosinus-bildet. At denne summen av produkter er 0 betyr at disse bildene er ortogonale.
3. (Om tid) Lag MxN sinus-bildet og MxN cosine-bildet for en vilkårlig frekvens (u',v') (der u' og v' er heltall i intervallene 0 <= u' <= M-1 og 0 <= v' <= N-1) annen enn (u,v) = (10,10) og (u,v) = (246,502). Beregn summen av det punktvise produktet mellom det valgte sinus-bildet og det valgte cosine-bildet. Beregn også denne summen av produkter for alle fire kombinasjoner av ett av disse to bildene og enten bildet i punkt a eller bildet i punkt b. Legg merke til at de alle står ortogonale på hverandre (alle indreprodukter er 0).
4. (Om tid) Lag MxN sinus-bildet og MxN cosine-bildet for frekvens (u,v) = (246,502). Vis bildene og sammenlign med bildene fra punkt a og b. Vis også at hvert element av sinus-bildet er den negerte av det samme elementet i bildet i punkt a, og hvert element av cosinus-bildet er likt som i bildet i punkt b. Pga. upresis flyttallsaritmetikk bør det ikke testes for absolutt negering eller likhet, men om absoluttverdien av elementsummen eller elementdifferansen er mindre enn en liten verdi, f.eks. 10^-10.
5. (Om tid) Beregn til slutt summen av det punktvise produktet mellom bildet i punkt a med seg selv og bildet i punkt b med seg selv. Legg merke til at også MN/2 = 65536.

Oppgave 3 - Kompresjon ved redusert basis

Last inn et bilde og gjør en 2D DFT. Sett alle koeffisientene i Fourier-spekteret under en gitt terskel til null. Inverter 2D DFT-en og inspiser det resulterende gråtonebildet visuelt. Vis også et bilde av hvilke koeffisienter som blir bevart og skriv ut hvor mange dette er. Varierer terskelen og finn (omtrentlig) det minste antallet Fourier-koeffisienter man trenger for at det resulterende gråtonebildet fortsatt skal se visuelt akseptabelt ut.

Bemerkning: Tilsvarende egenskap for den sterkt relaterte 2D diskret cosinus-transform (2D DCT) er grunnpilaren i JPEG-standarden. Dette kommer vi tilbake til i forelesningene om kompresjon og koding, men dersom du ønsker å foregripe begivenheten kan du f.eks. ta en titt på Wikipedia fra http://en.wikipedia.org/wiki/JPEG#Block_splitting og utover.

Oppgave 4 - Fjerning av periodisk støy

Bildet lena_periodicNoise.png inneholder periodisk støy. Din oppgave er å prøve å fjerne denne støyen.

1. Finn frekvensene som denne støyen hovedsakelig består av. Hint: Let etter topper i Fourier-spekteret blant de høyere frekvensene.
2. Sett koeffisientene til Fourier-spekteret til 0 i et område rundt hver av frekvensene du fant i punkt a. Altså, beregn 2D DFT, sett de ønskede koeffisientene til 0, og inverter 2D DFT-en. (Kommandoen ifft gjør en inverstransform.)
3. lena_periodicNoise2.png inneholder også periodisk støy, men dette bildet inkluderer ikke et helt antall svingninger av støyen. Dette resulterer i utsmøring av Fourier-spekteret (jfr. s. 28 og 29 i forelesningsnotatene). Studer Fourier-spekteret og prøv å fjerne støyen ved å sette aktuelle Fourier-koeffisienter til 0.

Oppgave 5 - 2D DFT av symmetriske bilder

Anta at vi har et NxN symmetrisk gråtonebilde f, altså at f(x,y) = f(N-x,N-y). Hvis vi antar at bildet gjentar seg selv, vil dette si at f(x,y) = f(-x,-y).

Hva vil imaginærdelene til 2D DFT-en av slike bilder være? Hva kan vi ut fra dette generelt si om slike 2D DFT-er? Hint: En imaginærdel er summen av punktmultiplumet av originalbildet og et sinus-bilde (se s. 21 i forelesningsnotatet), og sinus-funksjonen anti-symmetrisk, altså er sin(-x) = -sin(x).

Oppgave 6 - Antall uavhengige/"unike" koeffisienter

Diskuter følgende påstand: Siden 2D DFT-en av et NxN bilde inneholder NxN reelle og NxN imaginære tall, trenger vi å lagre dobbelt så mange tall for å representere hele 2D DFT-en i forhold til hele den romlig representasjonen (den vanlige pikselvise representasjonen).

Hint: Se s. 16 i forelesningsnotatet. Alternativt kan man bruke at når input-bildet er reelt (som det for oss alltid er!) så er 2D DFT-en konjugert symmetrisk (som nevnt s. 22 i forelesningsnotatene).