Du er her:
UiO >
Studier >
Emner >
MAT-INF1100 - Høst 2004
Forelesningsrapport
Her vil vi legge ut en kort rapport om hva vi har gjort p�orelesning.
Tirsdag 16/11 Foreleser: Geir.
Det ble vist hvordan en annen ordens differensiallikning kan gj�om til ett sett av to f�ordenslikninger, slik det er vanlig ved
bruk av numeriske metoder. Eulers metode ble
gjennomg� og demonstrert ved et eksempel med ren svingel�g.
Vi s�ra den numeriske l�gen at Eulers metode ga vekst og
instabilitet. Videre fant vi at Eulers metode i dette tilfellet
svarer til en andreordens differenslikning med konstante koeffissienter.
L�g av denne viste instabilitet.
Midtpunkt-Euler ble s�rukt. Selv om l�genen var mye bedre antydet
resulatene at ogs�enne er instabil, om enn med mye langsommere vekst av
l�gen. Dette kan ogs�ises vha. differenslikninger, men det ble ikke
gjennomg�.
Mandag 15/11 Foreleser: Geir. F�ble ubestemete koeffissienters metode gjennomg� for l�g av inhomogene, line� differensialllikninger av andre orden. Vi oppsummerte alle "formel" l�gsteknikker i pensum, f� gikk over til numerisk l�g. Eulers metode ble gjennomg� for en f�ordenslikning. Den ble unders�ha. et testproblem med konstante koeffissienter, slik det er gjort i Kalkulus. Deretter fulgte Eulers midtpunktmetode og en summarisk gjennomgang av bruk acv taylorpolynomer for numerisk l�g av differensiallikner.
Tirsdag 9/11 Foreleser: Geir. Vi tok for oss line� homogene
likninger av orden 1 f�og behandlet dem som separable (definert mer generelt i 10.7)
Bruk av ideen "variasjon av parameter(e)" fra 10.5 ga oss s� l�gen av det inhomogene likninger og eksistens og entydighet ble
diskutert.
Dernest var det naturlig �iskutere separable likninger mer generelt.
Vi tok for oss "fallskjermhopperen" fra kompendiet som eksempel -- en god
del regning i flere steg.
Line� andre ordens likninger var neste tema. Vi startet med
at homogene l�ger
kan adderes og viste hvordan variasjon av parameteren(e) kan gi b� en annen
homogenl�g og en partikul��g.
Deretter fant vi l�gene for andre ordens homogene likninger med
konstante koeffissienter. Siden dette var mye en gjentagelse av hva vi
gjorde for differenslikninger gikk vi litt lett over noen av detaljene
i de ulike tilfellene.
Komplettheten av l�gene ble demonstrert ved variasjon av
parameterene. En mer generell variant av denne teknikken ble presentert som
alternativ for ��nhomogene likninger.
Mye av det ovenfor gikk fortere enn ventet og vi kom lenger enn annonsert.
Mandag 8/11.
Foreleser Geir: Vi tok for oss eksempler p�umerisk approksimasjon
av f� og andrederiverte og brukte Taylorpolynomer for �nalysere feilen.
Numerisk integrasjon ved
midpunktmetode, trapesmetode (kort) og Simpsons metode ble gjennomg�.
Lokal feil av midtpunktmetoden ble analysert vha. Taylorpolynomer.
Vi tok for oss noen eksempler p�vordan differensiallikninger
dukker opp i anvendelser og la vekt p� klassifisere dem (line�?
hvilken orden etc).
Tirsdag 26/10. Foreleser: Knut. Vi fortsatte med to eksempler p�ruk av feilleddet for Taylor-polynomer. Deretter gikk vi over til �e p�nterpolasjon med polynomer og jeg gjennomgikk seksjon 9.2.1 i kompendiet. Til slutt presenterte jeg statistikk for midtsemestereksamen.
Mandag 25/10. Foreleser: Knut. Jeg brukte f�noen minutter p�lerskala-analyse og dekomponering over flere niv�. Resten av tiden brukte jeg p�estleddet i Taylors formel. Jeg utledet itnegralformen for restleddet, og s�gs��en alternative formen som er gitt som en oppgave i Kalkulus. Til slutt s�eg p�ksempel 11.2.5. Vi fortsetter med flere eksempler i morgen.
Tirsdag 19/10. Foreleser: Knut. Vi fortsatte med tiln�ing av funksjoner, men i dag var utgangspunktet at funksjonsverdiene var kjent i et stort antall punkter (p�ett og vis det motsatte av utgangspunktet for Taylorpolynomer der vi m�jenne funksjonsverdi og deriverte i ett punkt). Metoden vi s��r flerskala-analyse med stykkevise line� funksjoner som er beskrevet i kapittel 10 i kompendiet. Vi skal bruke dette til kompresjon av lyd, og vi begynte forelesningen med �eskrive ideene bak kompresjon, b� med og uten feil (feilfri kompresjon og toleransekompresjon). Kapittel 10 er utgangspunktet for den siste delen av oblig2 og vi skal se litt mer p�ette stoffet med s�ig fokus p�andag og i ekstraforelesningen med tips til oblig2 mandag 1/11.
Mandag 18/10. Foreleser: Knut. I dag begynte vi p�t nytt hovedtema: Tiln�ing (approksimasjon) av funksjoner. Vi gjennomgikk seksjon 11.1 i Kalkulus om Taylor-polynomer, og beregnet Taylor-polynomene til eksponensialfunksjonen og sinus og cosinus. TIl slutt observerte vi at Taylor-polynomene for disse funksjonene er n� knyttet sammen og relasjonen er Eulers identitet som ble brukt for �efinere den komplekse eksponensialfunskjonen i MAT 1100.
Tirsdag 5/10. Foreleser: Knut. Aller f�s�i litt p�orskjellene mellom absolutt og relativ feil (seksjon 2.4 i kompendiet). Deretter innf�vi kondisjonstallet som et m�p��heten en funksjon har for avrundingsfeil n�vi beregner funksjonsverdier. Det viktigste tilfellet er kondisjonstallet n�vi m�r feilen relativt siden det sier noe om hvor mange siffers n�ighet vi mister ved funksjonsberegningen. Til slutt s�i litt p�umerisk derivasjon.
Mandag 4/10. Foreleser: Knut. De f� minuttene brukte jeg til �i
en rask gjennomgang av programmet SimpleFilter.java
som vi har
delt ut denne uka og som du kan bruke som mal n�du programmerer med lyd.
Resten av forelesningen brukte vi til �e p�lere numeriske metoder for �inne nullpunkter for funksjoner. Halveringsmetoden s�i p�ist uke, og i tillegg
s�i p�ewtons metode og sekantmetoden.
Felles for alle metodene er at de er
bygd p�n enkel ide (halveringemetoden: del intervallet p�idten, Newtons
metode: bruk tangenten som tiln�ing til funksjonen og finn dens nullpunkt,
sekantmetoden: bruk sekanten som tiln�ing og finn dens nullpunkt) som s�jentas inntil vi er forn�ller vi ikke gidder mer. En viktig egenskap med
metodene er hvordan feilen oppf�seg. Med halveringsmetoden blir feilen
halvert ved hver iterasjon (antall riktige bin� sifre �med en),
med Newtons metode dobles antall riktige siffer
ved hver iterasjon (n�den konvergerer),
mens antall riktige siffer �med en faktor p�.6 i
hver iterasjon med sekantmetoden (n�den konvergerer). Halveringsmetoden
kovergerer alts�angsomt, men i alle situasjoner. De andre to metodene
konvergerer raskt, men for at de skal konvergere m�i starte tilstrekkelig
n�et nullpunkt, noe som ikke alltid er s�ett. I praksis blir ofte
halveringsmetoden brukt i starten for �omme n�et nullpunkt
f�wtons metode eller sekantmetoden brukes til �oome inn p�ullpunktet.
Tirsdag 28/9. Foreleser: Knut. F�brukte jeg noen minutter p�n forlengelse av g�sdagens forelesning om hvordan digital lyd representert ved en array kan manipuleres. Deretter gikk jeg over til �e p�vordan kontinuitet hjelper oss i forbindelse med beregning av funksjonsverdier og plotting av funksjoner. Resten av tiden brukte jeg p� utlede og programmere halveringsmetoden for �inne numeriske tiln�inger til et nullpunkt for en kontinuerlig funksjon. Det �inne nullpunkter er ofte n�dig i ulike anvendelser, og det h�med til unntaket at vi kan finne en eksakt formel for et nullpunkt. Halveringsmetoden er en idiotsikker, men langsom metode. Neste uke skal vi se p�n feilanalyse for halveringsmetoden, og ogs�a for oss Newtons metode som er en rask, men ikke idiotsikker metode.
Mandag 27/9. Foreleser: Knut. Jeg begynte med en overordnet oppsummering av hva vi har gjort s�angt, med fordeling av stoffet vi har gjennomg� (tall og f�) i kategoriene grunnlagsstoff, algoritmer, programmering og anvendelser. Vi kommer n�il ulike aspekter av funksjonsbegrepet, og grunnlagsstoffet her blir stort sett gjennomg� i MAT 1100 (kontinuitet, derivasjon, integrasjon). I MAT-INF 1100 skal vi se p�spekter av dette stoffet som er relatert til beregninger og noen anvendelser som ikke st�i Kalkulus.
Jeg brukte ogs�itt tid til ��ke at n�vi skal lese en sekvens av bits fra en fil, m�askinen vite hvordan informasjonen skal tolkes. Leser vi 64 bits i et program er det
programmeren som bestemmer om disse skal tolkes som en long
eller en double
.
Datamaskiner representerer ogs�okstaver og andre tegn ved hjelp av tall, noe som gir enda flere
tolkningsmuligheter n�bits leses. Moralen er at selv om en datamaskin p�aveste niv�un kan
h�tere 0 og 1, kan disse settes sammen til tall, og disse tallene kan tolkes p�likt vis, for
eksempel som heltall eller flyttall, som en bokstav (bare nummerer bokstavene p�n eller annen m�)
eller noe annet. Mer kompliserte datatyper (som digital lyd)
kan s�ygges opp som samlinger av slike primitive typer.
Mesteparten av tida brukte vi til �e hvordan lyd h�teres p�atamaskin. Dette relaterer matematikk til noe moderne teknologi og vil v� grunnlaget for oblig2. Aller f�tok vi for oss hva lyd egentlig er, frekvensbregrepet og at enhver lyd kan bygges opp som en sum av sinuser med ulik frekvens. Vi gikk s�ver til �e p�igital lyd og begrepene sampling og samplingsrate og det faktum at lyd p�atamaskin enkelt og greit er representert som en f�(array) som vi enkelt kan gj�perasjoner p�Vi illustrerte mye av dette med eksempler p�atamaskin. Stoffet finner du i seksjonene 4.4 og 5.4 i kompendiet.
Tirsdag 21/9. Foreleser: Geir. Rapport kommer siden.
Mandag 20/9. Foreleser: Geir. Vi gjennomgikk byggingen av et program
som simulerer en generell, line� 2-ordens differenslikning med konstante
koeffisienter. I den forbindelse tok vi for oss litt om l�trukturer,
filer og inn/ut-lesing i Java.
Programmet ble testet p�ibonacchi tallene og vi tok for oss et
eksempel der manglende presisjon i aritmetikken ga helt feil svar.
Deretter programmerte vi en f�ordens ikkeline�likning og
gjorde en serie numeriske eksperimenter med denne. Eksemplet er diskutert
i kap. 4.5 s. 177 og i oppgave 4.3.25 i Kalkulus.
Foilene fra forelesningen er lagt ut, men programeksemplene legges f�ut
neste uke. Skriv deres egne programmer denne uka!
Tirsdag 7/9. Foreleser: Geir. Vi oppsummerte kort egenskapene for differenslikninger av andre orden fortsatte med tilfelle II og III. Det ble lagt vekt p�t vi st�p�n del generelle egenskaper ved line� og algebraiske likninger. Eksempel 4.1.18 ble gjennomg� der vi l�et randverdiproblem. Deretter diskuterte vi kort utvidelser av standardlikningen i 4.1 (andre orden, line� homogen). Til slutt startet vi s�idt p�t enkelt eksempel med en inhomogen likning.
Mandag 6/9. Foreleser: Geir. Vi startet med definisjon av f�, f�som eksplisitte uttrykk deretter som rekursjon. Det siste er da en differenslikning. En line� f�ordens differenslikning ble satt opp og l�To enkle anvendelser ble knyttet til den. Et eksempel p�n annenordens differenslikning ble gitt i forbindelse med Fibonacchi tallene. Den generelle teori om line� andre ordens differenslikninger ble s�tviklet tom. tilfellet med to reelle r� i det karakteristiske polynomet (�t side 133 i l�boka).
Tirsdag 31/8. Foreleser: Knut. Jeg begynte med �ise et eksempel p�va som skjer n�vi f�for store heltall i Java - ingen feilmelding, bare feil svar. Deretter gikk vi over til representasjon av desimaltall (seksjon 2.3 i kompendiet). Jeg snakket f�om desimaltall p�ormalisert form og hvordan dette gir oss et godt utgangspunkt for �inne fram til en intern representasjon p�atamaskin. Vi tenkte oss s�t vi hadde en fiktiv maskin som regnet med 4 fire desimale sifre og en eksponent med ett siffer og s�t dette i visse situasjoner kan gi kritiske regnefeil. Til slutt ga jeg prinsippene for hvordan desimaltall representeres bin� med 32 eller 64 bits.
Mandag 30/8. Foreleser: Knut. Jeg snakket f�litt mer om kompletthet og det faktum at ethvert reelt tall er grenseverdi for en f�av rasjonale tall. Deretter gikk vi raskt gjennom aksiomene for de reelle tallene f� gikk over p�t annet aspekt av tall, nemlig representasjon i datamaskin (kapittel 2 i kompendiet). Jeg snakket f�litt om tallsystemer og det faktum at vi i totallssystemet bare trenger de to sifrene 0 og 1, noe som gj� slik representasjon robust overfor st�r tall skal overf�fra et medium til et annet. Vi s�eretter litt mer spesifikt p�epresentasjon av heltall i Java, og snakket om Java-variabeltypene int (32 bin� sifre) og long (64 bin� sifre).
De siste 10 minuttene brukte jeg til �i en overordnet oversikt av matematikk slik vi presenterer det for dere dette semesteret. Den presentasjonen vil jeg legge ut p�jemmesida med h�om at den kan v� til hjelp n�dere ikke skj� hvorfor vi gj�t vi gj�/p>
Tirsdag 24/8. Foreleser: Knut. I dag begynte jeg med �rate om rasjonale og irrasjonale tall. Jeg gjennomgikk setning 2.2.1 og korollar 2.2.2 med bevis, og beviste deretter at kvadratroten av 2 er irrasjonal (teorem 2.2.4). Resten av seksjon 2.2 gjennomgikk jeg uten bevis, og i seksjon 2.3 vektla jeg ideene.
Stoffet om reelle tall kan nok virke litt overveldende med sitt litt abstrakte fokus. Saken er at dette ligger i bunnen for veldig mye av det vi gj� matematikk, og det er viktig �tvikle bevissthet om dette for �unne bruke det p�iktig m�. Det er kanskje ogs��in plass �inne om at mesteparten av resten av kurset nok minner mer om matematikken dere kjenner fra f�/p>
Mandag 23/8. Foreleser: Knut. Vi begynte med �jennomg�eksjon 1.4 i Kalkulus om Pascals trekant og binomialformelen. For �evise Lemma 1.4.4 regnet jeg bare ut h�iden av formel (1) i boka og sjekket at den stemte med venstresiden. Jeg gikk ikke gjennom beviset for binomialformelen.
Etter pause begynte jeg p�apittel 2 om reelle tall og ble ferdig med seksjon 2.1. Innimellom gjennomgikk jeg ogs�nduksjonsbeviset i eksempel 1.2.4.
Tirsdag 17/8. Foreleser: Knut. I dag var hovedtema induksjon. Hele f� time og f� halvpart av andre time brukte jeg p� gjennomg�t induksjonsbevis (for �evise at formelen for de n f� naturlige tallene er riktig, se her). Induksjon er s�eles eksamensrelevant, s�obb mye med dette stoffet!
Etter induksjon gikk vi litt tilbake til summetegnet og viste hvorfor regel ii for summetegn er riktig (se nederst p�ide 22 i Kalkulus). Til slutt gjennomgikk jeg eksempelet p�ide 23 i Kalkulus om bytte av summasjonsindeks.
Mandag 16/8. Foreleser: Knut. S�r vi i gang! Jeg begynte med
�resentere de to foreleserne (Geir Pedersen og meg selv) f�g
brukte ca 45 min. p�n del administrativ informasjon. I pause var det
registrering av de oppm� og jeg avsluttet med ��jennom omtrent
f� halvdel av seksjon 1.1 i Kalkulus om heltall og summetegn.
Kommer litt tilbake til noe av dette i morgen og neste uke.
Redaksjon: Knut M�
Dokument endret: 27. oktober 2004
Kontakt�UiO��� Hjelp
�