På denne siden finner du kortfattede oppsummeringer av hver forelesning, hovedsakelig med tanke på dem som ikke kunne være til stede.
Mandag 18/8:
I første time gav jeg endel praktisk informasjon om undervisningen og kursopplegget forøvrig. Jeg gav også en kort innføring om hvilke temaer kurset tar opp og hensikten med kurset. I annen time begynte jeg på seksjon 3.1, gav formell definisjon av komplekse tall og forklarte hvordan vi adderer og multipliserer komplekse tall. Onsdag 10.15-12 vil jeg gjøre meg ferdig med 3.1 og begynne på 3.2. I plenumstiden vil jeg snakke om polynomdivisjon 1.5. Får jeg tid til overs fortsetter jeg med 3.2.
Onsdag 20/8 (og torsdag 21/8)
Sophus Lie forelesningen:Jeg forsatte med 3.1 og forklarte divisjon og komplekskonjugering av komplekse tall.
Jeg regnet eksempler på dette.
Jeg begynte så på 3.2, forklarte hvordan vi kan oppfatte de komplekse tall som punkter eller vektorer i planet. Jeg forklarte så begrepene modulus og argument av komplekse tall. Jeg regnet eksempler på hvordan vi finner modulus og argument av komplekse tall
på formen a+bi. Forsetter med 3.2 og 3.3 på mandag 25..
I plenumsregnetiden snakket jeg om polynomdivisjon. Denne forelesningen gjentok jeg torsdag 21/8.
Mandag 25/8:
Jeg avsluttet 3.2 og begynte på 3.3 om kompleks eksponential funksjon. Jeg kommer til å snakke litt mer om dette på onsdag (10.15-12) før jeg går over på 3.4.
I plenumstiden onsdag (og torsdag ) snakker jeg om algebraens fundamental teorem (3.5) og deretter om komplettheten av de reelle tall (2.3)
Onsdag 27/8:
Jeg avsluttet kapittelet om kompleks eksponential funksjon (3.3) og gikk så over på 3.4. Dette ble jeg nesten ferdig med på forelesningen 10.15-12.
I plenumstiden onsdag (og torsdag 28/8) avsluttet jeg 3.4 ved å løse et par komplekse 2. gradslikninger. Jeg gikk så over på 3.5 om algebraens fundamental teorem. Jeg ble ferdig med dette, men rakk ikke å si noe om 2.3, kompletthetsprinsippet for de reelle tall.
Mandag 1/9:
Jeg snakket først litt om 2.3 (som ikke er pensum, men nødvendig bakgrunn for blant annet stoffet i 4.3 og 5.2). Jeg begynte så på 4.3. Onsdag innleder jeg med ett avsluttende eksempel om konvergens av en følge. Jeg går så over på 5.1 og 5.2.
Onsdag 3/9:
Jeg avsluttet 4.3 ved å finne grensen til en begrenset monoton følge.
Jeg gjennomgikk så 5.1 og 5.2 og begynner på 5.3 neste mandag.
Mandag 8/9:
Jeg begynte med å gi noen anvendelser av skjæringssetningen i eksempler. Gikk så over på 6.3 og snakket om begrensete funksjoner og viste at kontinuerlige begrensete funksjoner på lukkede begrensete intervaller er begrenset (5.3.2), jeg viste så at slike funksjoner også har maksimums og minimuspunkter (5.3.4). Jeg gav endel eksempler
for å belyse forutsetninger og konklusjoner i disse teoremene. Jeg gikk over på 5.4, forklarte grensebegrepet refererte setninger om grenser og gav noen få eksempler.
Fortsetter med 5.4 onsdag 10/9
Onsdag 10/9:
Gjentok definisjon av grenser og sa litt om forbindelse mellom grense-definsjon og kontinuitet. Forklarte så hva ensidige grenser er. Regnet noen eksempler der jeg brukte dette og drøftet dette i forhold til kontinuitet. Jeg så så på grenser når variablen gikk mot pluss og minus uendelig samt hva det vil si at grensen av en funksjon "er" uendelig. Regnet noen eksempler på alt dette. Tilslutt gikk jeg over på derivsjon (6.1)
gav definisjonen og minte om de viktigste derivasjonsreglene.
Mandag 15/9:
Jeg begynte med å formulere kjerneregel og regnet så endel eksempler der jeg deriverte funksjoner.Jeg viste så en setning 6.1.7 i boka og fra denne viste jeg at deriverbare funksjoner er kontinuerlige og beviste kjerne regel. Sa så litt om logaritmisk derivasjon og regnet eksempler på dette. Jeg gikk så over på 6.2, viste Rolles teorem og middelverdisetningen og beviste sammenheng mellom fortegn av den deriverte og vekst-egenskapene til en funksjon( Korollar 6.2.5). Regnet et par eksempler der jeg brukte dette. Begynner onsdag på seksjon 6.3.
Onsdag 17/9:
Foreleste 6.3. Jeg formulerte og beviste L´Hopitals regel for 0/0 utrykk
(beviste ikke Cauchys middelverdisetning). Jeg formulerte også L´Hopitals regel for
∞/∞ utrykk. Jeg regnet endel eksempler på grenser ved å bruke L´Hopital. Begynte så vidt på 6.4 og gjennomgikk 6.4.2.
Mandag 22/9:
Jeg gjennomgikk resten av 6.4 med endel eksempler på kurvedrøting. Jeg hoppet over 6.5
(som er pensum men selvstudium)
Jeg regnet så to eksempler ett fra 7.1 og et fra 7.2.
Onsdag 25/9;
Jeg tok to nye eksempler fra stoffet i 7.1 og 7.2. Jeg gjennomgikk så hele seksjon 7.4 om omvendte funksjoner. Jeg hopper over 7.5 (pensum men selvstudium)
og vi på mandag gjennomgå 7.6 før jeg begynner på kapittel 8.
Mandag 29/9:
Jeg gjennomgikk først 7.6, definerte arcusfunksjonene og fant formler for deres deriverte. Så begynte jeg på kapittel 8. Jeg gikk mer eller mindre direkte på 8.2.
Jeg definerte øvre og nedre trappesummer og forklarte hvordan disse kunne oppfattes som arealer av rektangler som enten omsluttet området under en graf eller som var omsluttet av dette området. Jeg gav så definisjonen av det bestemte integralet av en begrenset funksjon på et lukket begrenset interval. Jeg gav eksempler på funksjoner som ikke var integrerbare, og viste så at monotone funksjoner alltid var integrerbare og regnet ut intergralet av en monoton funksjon direkte fra definisjonen i et eksempel.
Onsdag 1/10:
Jeg brukte hele tiden til å gjennomgå midttermineksamen fra i fjor.
Mandag 13/10:
Jeg repeterte kort definisjonen av det bestemte integralet og begynte så på 8.3.
Jeg forklarte innholdet i 8.3.1, men droppet beviset.
Jeg beviste så 8.3.3 slik det står i boka og korollar 8.3.4 utifra 8.3.3. Jeg gav et eksempel på utregning av et bestemt integral. Jeg gjennomgikk også eksempel 8.3.6
(volumformelen for kula). Jeg gjennomgikk så 8.4. Definerte det ubestemt integral. forklarte setning 8.4.3 og 8.4.4. Jeg regnet tilslutt et par eksempler der jeg brukte 8.4.4. På onsdag vil jeg si litt om Riemannsummer og Riemannintegral før jeg går videre i pensum.
Onsdag 15/10
Jeg fortalte om innholdet i 8.5. Dette er ikke eksamens relevant stoff i seg selv, men vi trenger dette for spesielt bedre å forklare formlene i 8.6. Jeg gjennomgikk 8.6.
Jeg begynte med å definere areal under en graf og mellom to grafer. Regnet så et eksempel på dette. Forklare så volumformelen for legemet vi får når en graf y=f(x) dreies rundt x-aksen. Regnet et eksempel på slikt volum. Forklarte så volumformelen for omdreingslegemet som oppstår når et område under en graf dreies rundt y-aksen.
Jeg kommenterte så buelengdeformelen for en graf, og regnet et eksempel på slik buelengde. Jeg sa ingenting om integralformelen for arbeid (les selv !), men gikk over på 9.1 forklarte formelen for delvis integrasjon og regnet et eksempel på dette. Fortsetter med dette mandag før jeg begynner på 9.2.
Mandag 20/10
Jeg gjentok formelen for delvis integrasjon og gjorde så ikke annet enn å regne ganske mange eksempler på integraler som kan løses ved denne metoden (i enkelte eksempler måtte vi bruke delvis integrasjon mange ganger og noen ganger kom vi frem til en likning der det ubestemte integralet vi skulle finne var å oppfatte som "ukjent" i denne likningen og vi løste så likningen.)
Jeg gikk så over til 9.2 og spesielt forklarte og beviste 9.2.3. Regnet så noen eksempler (der jeg brukte setningen).
Onsdag 22/10
Jeg beviste så setning 9.2.7 og regnet et par eksempler på bestemte integraler som jeg løste ved substitusjon. Gikk så over på 9.3. Startet med et par enkle eksempler for så å forklare generelt hvordan en rasjonal funksjon kan skrives som en sum av delbrøker.
Gav eksempler på dette. Tilslutt regnet jeg et integral ved delbrøksoppspaltning og forklarte hvordan de forskjellige typer integraler som oppstår skal løses. Her står litt igjen til mandag, jeg har ennå ikke sagt noe om integraler der nevneren er 2. gradspolynom uten reelle røtter i en høyere potens enn en . Sier litt om dette mandag samt regner et eksempel til før jeg går løs på 9.5.
Mandag 27/10
Jeg forklarte nokså skissemessig hvordan en løser integraler der telleren er et førstegradspolynom og nevneren er 2. gradspolynom uten reelle røtter i en høyere potens enn en . Jeg regnet så et avsluttende eksempel på et integral av en rasjonal funksjon ved delbrøksoppspaltning. Jeg begynte så på 9.5 om uegentlige integraler. her fulgte jeg boka og foreleste til og med sammenlikningskriteriet 9.5.11
Onsdag 29/10
Jeg avsluttet 9.5 (og pensum fra Kalkulus) med å snakke om grensesammenlikningskriteriet ().5.13) og brukte dette i et eksempel.
Jeg begynte så på Lundstrøms hefte "Flevariabel analyse med lineær algebra"
(FALA). (Heftet kan lastes ned fra nettet, lenke ligger under pensum). Jeg sa litt først om vektorregning i R^2 og R^3 og forklarte så hvordan dette kan generaliseres til R^n.
Jeg gjennomgikk Pythagoras i R^n, forklarte hvordan en definere vinkler og ortogonalitet i R^n og regnet ut projeksjon av en vektor ned på en annen (1.2.2).
Jeg beviste Schwarz ulikhet. På mandag skal jeg si litt om linjer i R^n, før jeg begynner å snakke om vektorprodukt (kryssprodukt) i R^3 (1.4).
Mandag 3/11
Begynte med å bevise trekant ulikhet i R^n og forklarte så hva vi mener med linjer
og parameter fremstilling av linjer i R^n. Jeg sa til slutt litt om komplekse n-tuppler
og hvordan vi definerer skalarprodukt av slike (1.3). Jeg gikk så over på 1.4.
Jeg definerte vektorprodukt i R^3. Regnet noen eksempler og forklarte hvilke egenskaper vektorproduktet hadde. Jeg forklarte hvordan lengden av vektorproduktet
er lik volumet av parallellepiped utspent av vektorene og også hvordan en kan regne ut
volum av pyramider. Jeg forklarte så høyrehåndsregelen.
Tilslutt repeterte jeg litt fra videregående om likning for plan i rommet.
Onsdag 5/11
Forklarte så hvordan vi finne normal vektor til plan gjennom tre punkter ved hjelp av vektorprodukt. Jeg regnet så et eksemplel. Gikk over på 1.5 og forklarte hva matriser er hvordan vi legger dem sammen, multipliserer med skalar og forklarte begrepet transponert matrise. Forklarte enkle regneregler for disse operasjonene. Forklarte
så eksempel 3 på side 36 og brukte dette som motivasjon for definisjon av produkt av mxn matrise og en n-søylevektor. Definerte så multiplikasjon av mxn og nxk matrise (gikk altså over på 1.6) regnet eksempler. Avslutter 1.6 mandag 10/11 og går over på 1.7.
Mandag 10/11
Jeg gav så en forklaring på hvorfor vi definerte matrisemultiplikasjon som vi gjør.
Definerer vi en transformasjon fra R^n til R^m tilordnet en mxn matrise ved å ta produkt av matrisen og en søyle vektor i R^n, så blir sammensetningen av to slike transformasjoner tilordnet produktet av matrisene. Jeg definerte så norm av en matrise og beviste setning 1.6.3. Jeg gjennomgikk så 1.7. Her fulgte jeg heftet, men valgte andre eksempler. Jeg begynte så på 1.8 og snakket litt om 2.2 determinanter pg viste at tallverdien til en 2x2 determinant er arealet av parallellogrammet utspent av radene, og at fortegnet følger orienteringen til radene.
Onsdag 12/11
Jeg gjentok det jeg sa mandag om 2x2 matriser og avsluttet dette ved å gjennomgå 18.3. Definerte 3x3 matriser, regnet et eksempel på dette og viste 1.8.4. Jeg orientering av 3 vektorer i R^3 og forklarte innholdet i 1.8.5. Jeg forklarte så hvordan vi (induktivt) kan definere determinant av en nxn matrise, Jeg gjennomgikk så nokså raskt 2.1 og begynte så på 2.2 og formulerte hva vi mener med kontinuitet av en funksjon fra R^n til R^m.
Mandag 17/11
Jeg begynte med å gjenta definisjonene av kontinuitet for funksjoner av flere variable.
Kommenterte (uten bevis) setning 2.2.2 og setning 2.2.3, men beviste setning 2.2.4.
Forklarte så hvordan en kan vise at vektorvaluerte funksjoner av flere variable satt sammen av elementære en-variable funksjoner er kontinuerlige. Gjennomgikk så eksempel 2 (side 82). Gikk så gjennom 2.3 omtrent som i heftet. Regnet to eksempler på grenseverdier. Begynte på 2.4. Forklarte begrepene retningsderivert og partiellderivasjon. Regnet ut de partielt deriverte til en funksjon av to variable. Definerte gradientvektoren og avsluttet med å si at vi (for pene funksjoner) kan regne ut retningsderivert langs en vektor ved å prikke vektoren med gradienten. Jeg begynner på en begrunnelse for dette på onsdag (dvs. begynner på side 92) Håper å bli helt ferdig med pensum da, slik at jeg kan regne gamle eksamensoppgaver siste uka.
Onsdag 19/11
Jeg gjennomgikk resten av 2.4 og 2.5 der jeg fulgte heftet til Tom nokså nøye men droppet alle bevis bortsett fra at jeg i utledningen på side 92 forutsatte at de partielt deriverte eksisterte i oegn om a og var kontinuerlige i a . Droppet eksempel på side 97/98. Gjennomgikk 9.5 men droppet bevis. Sa litt om 9.6. Stoppet før 2.6.4 så dere trenger ikke regne dette som pensum. Mandag og onsdag går jeg gjennom konteeksamen fra iforfjor og fjor (dvs. fra januar 2007 og 2008).