Forelesningsrapporter
15.5. Jeg gjennomgikk det meste av kapittel 12, som diskuterer restriksjoner på fundamentalgruppen til mangfoldigheter med negativ krumning. Et sentralt hjelperesultat er også viktig i seg selv: Cartans teorem om eksistens av geodeter i frie homotopiklasser av lukkede kurver. Bortsett fra to små generaliseringer av Preissmans teorem er vi da ferdige med dette semesterets pensum.
Siste forelesning blir 22.5, da vi foruten å avslutte kapittel 12 vil gjennomgå oppgaver fra kapittel 9: Primært oppgavene 1,4 og 5, eventuelt også 1 og 6.
27.3. Vi avsluttet kapittel 6, og dermed har vi vært gjennom de viktigste delene av den lokale differensialgeometrien. Deretter gikk vi over til kapittel 7, der vi begynte å diskutere geodetisk kompletthet og det viktige Hopf-Rinows teorem. Det blir ingen forelesning 3. april, og vi fortsetter med beviset for Hopf-Rinow og Hadamards teoremer 10. april. Jeg vil da også gjennomgå oppgavene 1 og 2 fra kapittel 6.
Merk også at de obligatoriske oppgavene blir lagt ut 8. april, med innnlevering 25. april.
20.3. Vi holder nå på med kapittel 6, Isometric immersions, som handler om relasjoner mellom geometrien på en mangfoldighet M' og en undermangfoldighet M. Her spiller normalbunten til M i M' en viktig rolle, og den andre fundamentalformen er en 2-tensor på M med verdier i normalbunten. Som tangentbunten arver også normalbunten en metrikk og konneksjon (og dermed krumning) fra TM', og fundamentalligningene gir relasjoner mellom de tre krumningstensorene og den andre fundamentalformen. Nøkkelen til å forstå disse ligningen er å studere hvordan konneksjonen på TM' splitter opp i tangensielle og normale komponenter når den anvendes på henholdsvis vektorfelter og normalfelter på M. Jeg vil avslutte dette neste gang, og vil da også trenge en mer systematisk diskusjon av hvordan man naturlig induserer konneksjoner fra vektorbunter til bunter som blir konstruert ved tensorprodukt og Hom-funktorer.
De obligatoriske oppgavene vil bli lagt ut i begynnelsen av uke 15, med innlevering i løpet av uke 17. Nærmere detaljer kommer senere.
6.3. Etter å ha definert Ricci-krumning og skalarkrumning og vist at disse er veldefinert, gikk vi videre til kapittel 5 og Jacobifelter. Dette er vektorfelter langs geodeter som tilfredsstiller Jacobiligningen og representerer infinitesimale variasjoner av geodeter. Jacobiligningen er en viktig manifestasjon av interaksjonen mellom krumning og geodeter, og vil spille en stor rolle fremover. Vi rakk frem til 'Conjugate points'.
Oppgaver til neste gang: 5.2, 5.6, 5.7.
27.2. I dag begynte vi å diskutere krumning i kapittel 4. På en måte kan vi si at kapittel 3 beskrev hvordan det kvalitative bildet av geodetiske kurver i en liten omegn om et punkt i en vilkårlig Riemannsk mangfoldighet er det samme som i det Euklidske rom. Krumning skal derimot vise seg å være et mål på lokale forskjeller mellom Riemannske mangfoldigheter (opp til lokal isometri). Vi kom så langt at vi fikk definert krumningstensoren og vist de viktige (a)symmetriegenskapene, og vi definerte snittkrumningen og viste at den bestemmer fullstendig hele krumningstensoren. Men merk at vi ikke har noen formel som uttrykker krumningstensoren ved snittkrumningen i alminnelighet - bare når vi har konstant krumning (lemma 3.4).
13.2. Jeg snakket om eksponensialavbildningen og noen resultater om normale omegner og minimaliserende egenskaper for geodetiske kurver, til og med Proposisjon 3.6 i kapittel 3. Merk de viktige tekniske hjelperesultatene 3.4 (symmetri av kovariant derivasjon) og 3.5 (Gauss' lemma), som vi også vil få bruk for senere.
Neste uke (20.2) begynner jeg med å gjennomgå oppgave 1 i kapittel 3 (s.77-78).
30.1. Jeg fortsatte med generell teori for affine konneksjoner og de viktige relaterte begrepene kovariant derivasjon og parallell transport. Ingenting av dette krever noen Riemannsk metrikk, og gjelder for enhver affin konneksjon på tangentbunten. Men hvis mangfoldigheten har en metrikk, ønsker vi at konneksjonen på en naturlig måte skal være kompatibel med metrikken. Dette kan uttrykkes både ved konneksjonen selv, kovariant derivasjon og parallell transport (Def. 2.3.1, Prop. 2.3.2 og Cor. 2.3.3). Det sentrale teoremet er Teorem 2.3.6, som sier at en Riemannsk mangfoldighet har en entydig bestemt affin konneksjon som er symmetrisk og kompatibel med metrikken (Levi-Civitakonneksjonen). Denne konneksjonen, med tilhørende kovariant derivasjon og parallelltransport, vil være vårt viktigste verktøy i dette kurset, så det er lurt å lære seg dette ordentlig med en gang.
Neste gang (6.2) vil vi se på noen oppgaver fra kapittel 2: Oppgave 1, 2, 3, 7 og 8 (sml. også oppgave 1.4).
23.1. Det fundamentale begrepet og det som bestemmer geometrien på en Riemannsk mangfoldighet er metrikk, og mesteparten av tiden i dag gikk med til dette. Venstreinvariante metrikker på Liegrupper ble brukt som eksempler, men diskusjonen av biinvariente metrikker på side 40-42 hoppet jeg over.
Deretter begynte jeg å snakke om affine konneksjoner i kapittel 2, diskuterte definisjonen og viste eksistens. En ting som ikke er klart ut fra definisjonen men som følger når vi uttrykker konneksjonen i lokale koordinater, er at verdien i et punkt p av den deriverte av vektorfeltet Y langs vektorfeltet X bare avhenger av Xp og av Y langs en hvilken som helst kurve gjennom p som har Xp som tangentvektor i p. Denne observasjonen vil bli viktig senere. Neste gang fortsetter vi med covariant derivasjon og Riemannske konneksjoner.
16.1. Jeg gikk kort igjennom de viktigste begrepene fra kapittel 0, med særlig vekt på sammenhengen mellom de to tolkningene av tangentvektorer: som ekvivalensklasser av kurver og som derivasjoner. Neste gang (23.1) starter jeg med de fundamentale definisjonene av metrikker og konneksjoner i kapitlene 1 og 2.