\documentclass[11pt, norsk, fleqn]{article}

\textwidth=16cm
\textheight=23.5cm
\topmargin=-1cm
\oddsidemargin=0cm
\evensidemargin=0cm
\pagestyle{empty}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage{microtype}
\usepackage{amssymb}
%\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{babel}
\usepackage{listings}
\lstset{basicstyle = \ttfamily}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[bf, sf]{titlesec}
\usepackage[colorlinks,
            urlcolor  = uiolink,
            linkcolor = uiolink,
            citecolor = uiolink]{hyperref}

\usepackage{listings}
\renewcommand{\sfdefault}{phv}
\definecolor{uiolink}{HTML}{0B5A9D}


\declaretheorem[style = definition]{oppgave}


\begin{document}


\begin{titlepage}
    \vspace{-4em}
    \setlength{\parskip}{1.5ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
    \setlength{\parindent}{0pt}
    \titlespacing*{\subsubsection}{0pt}{1ex}{-0.5ex}

    \begin{flushright}
        \small\today
    \end{flushright}

    \begin{center}
        \vspace{2em}
        {
            \bfseries\sffamily\huge
            STK1100
            %% Alternativt:
            %% EMNEXXXX \textthreequartersemdash\ NAVN PÅ EMNE
        }
        \vskip0.2ex
        \Large
        Obligatorisk oppgavesett 2 av 2. \\
        \vspace{1ex}
    \end{center}


    \subsubsection*{Innleveringsfrist}
    Torsdag 2.~mai \the\year, klokken 14:30 i Canvas
    (\href{https://canvas.uio.no}{\underline{canvas.uio.no}}).

   \subsubsection*{Instruksjoner}
    Du velger selv om du skriver besvarelsen for h{\aa}nd og scanner besvarelsen eller om du skriver l{\o}sningen direkte inn p{\aa} datamaskin (for eksempel ved bruk av \LaTeX).
    NB! Besvarelsen skal leveres som {\'e}n PDF-fil.
    Scannede ark m{\aa} v{\ae}re godt lesbare.
    Besvarelsen skal inneholde navn, emne og oblignummer.

    Det forventes at man har en klar og ryddig besvarelse med tydelige begrunnelser.
    Husk {\aa} inkludere alle relevante plott og figurer, med forklaringer. Besvarelser som kun består av kode, godkjennes ikke.
    {\bf Besvarelser som ikke har forsøkt på oppgavene som krever programmering, blir heller ikke godkjent.}
    Samarbeid og alle slags hjelpemidler er tillatt, men den innleverte besvarelsen skal v{\ae}re skrevet av deg og reflektere din forst{\aa}else av stoffet.
    Er vi i tvil om du virkelig har forst{\aa}tt det du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig redegj{\o}relse.

    I oppgaver der du blir bedt om {\aa} programmere m{\aa} du legge ved programkoden og levere den sammen med resten av besvarelsen.
    %Det er viktig at programkoden du leverer inneholder et kj{\o}reeksempel, slik at det er lett {\aa} se hvilket resultat programmet gir.

    \subsubsection*{S{\o}knad om utsettelse av innleveringsfrist}
    Hvis du blir syk eller av andre grunner trenger {\aa} s{\o}ke om utsettelse av innleverings\-fristen, m{\aa} du ta kontakt med studieadministrasjonen ved Matematisk institutt (e-post: \href{mailto:studieinfo@math.uio.no}{studieinfo@math.uio.no}) i god tid f{\o}r innleveringsfristen.

    For {\aa} f{\aa} adgang til avsluttende eksamen i STK1100, m{\aa} man best{\aa} begge de obliga\-toriske oppgavesettene i ett og samme semester.

    \subsubsection*{For fullstendige retningslinjer for innlevering av obligatoriske oppgaver, se her:}
    \begin{center}
        \href{http://www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}
        {\underline{www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}}

    \end{center}



\subsubsection*{Spesielt om det obligatoriske oppgavesettet i STK1100}
Det anbefales på det sterkeste at du bruker Python til å gjøre beregningene i oppgave 2 og 3. Hvis du bruker et annet programmeringsspråk, kan vi ikke hjelpe deg hvis du får problemer. Uansett hvilket programmeringsspråk du bruker, m{\aa} du angi hvilke kommandoer du har brukt for {\aa} komme fram til svarene dine. Hvis du trenger hjelp til å løse oppgavene, kan du få det på en av de  åpne gruppene i STK1100. 


\begin{center}
        \vfill
        LYKKE TIL!
    \end{center}
\end{titlepage}



\begin{oppgave}
De stokastiske variablene $X$ og $Y$ har simultan
sannsynlighetstetthet
%
\[
f(x,y) = \left\{\begin{array}{ll} k(x+2y) &
\mbox{for } 0 \le x \le 1, \, 0 \le y  \le 1, \, x+y \le 1\\[0.2cm]
 0  & \mbox{ellers},
 \end{array}
\right.
\]
%
der $k$ er en konstant.
%
\begin{itemize}
\item[a)] Vis at $k=2$.
\item[b)] Vis at den marginale sannsynlighetstettheten til $Y$ er
%
\[
f_{Y}(y) = \left\{\begin{array}{ll} 1+2y-3y^{2} &
\mbox{for } 0  \le y \le 1\\[0.2cm]
 0  & \mbox{ellers}
 \end{array}
\right.
\]
%
\item[c)]Bestem den betingede sannsynlighetstettheten til $X|Y=y$.
%
\item[d)]Er $X$ og $Y$ uavhengige? Svaret skal begrunnes!
\end{itemize}
\end{oppgave}

\vspace{5mm}

\begin{oppgave}
I denne oppgaven skal vi se hvordan du kan bruke en datamaskin til {\aa} generere observasjoner fra 
Lomax-fordelingen, som er oppgitt under. Vi tar som utgangspunkt at datamaskiner kan generere 
tilfeldige tall i intervallet $[0,1]$, dvs.\ observasjoner av en stokastisk variabel $U$ som er uniformt 
fordelt p{\aa} $[0,1]$. 
\begin{itemize}
\item[a)] La  $F(x)$ v{\ae}re en kumulativ fordeling der den inverse funksjonen $F^{-1}(u)$ eksisterer. Anta at $U\sim\mbox{uniform}(0,1)$. Vis at da har $X=F^{-1}(U)$  kumulativ fordeling $F(x)$.
\end{itemize}
La  $X$ v{\ae}re tida fram til en bedrift g{\aa}r konkurs. Da er det
er vanlig {\aa} anta at $X$ er Lomax-fordelt, det vil si at $X$  har sannsynlighetstettheten
%
\[
f_{X}(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
	\frac{\alpha}{\beta} \left(1+\frac{x}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)} &
	\qquad \mbox{ for }
	\quad x > 0, \\[0.2cm]
	0                          & \qquad \mbox{ ellers. }
\end{array} \right.
\]
%
Her er $\alpha,\beta > 0$ parametere i fordelingen.
%
\begin{itemize}
\item[b)] Den kumulative sannsynlighetsfordelingen til $X$ er
gitt ved
\[
F_{X}(x)=\left\{ \begin{array}{ll}
	1 -  \left(1+\frac{x}{\beta}\right)^{-\alpha}  &
	\qquad \mbox{  for }
	\quad x > 0,\\[0.2cm]
	0                          & \qquad \mbox{ ellers. }
\end{array} \right.
\]
Bestem median tid fram til en tilfeldig bedrift går konkurs.
%
\item[c)]Bruk resultatene i punkt a) og b) til {\aa} angi en framgangsm{\aa}te for {\aa} generere observasjoner fra Lomax-fordelingen.
%
\item[d)]Bruk framgangsm{\aa}ten i forrige punkt til {\aa} generere 10{\,}000 observasjoner fra Lomax-fordelingen  med $\beta=48$~m{\aa}neder og $\alpha=3$.
Beregn medianen av de genererte observasjonene, og sammenlign med resultatene i punkt b).\\[0.2cm]{\footnotesize PYTHON hjelp:
Du kan  generere $n$ observasjoner av $U\sim\mbox{uniform}(0,1)$ ved kommandoene\\{\tt from numpy import *}\\{\tt u=np.random.uniform(0,1,n)}}
%
\item[e)]Lag et normert histogram av de Lomax-fordelte observasjonene fra punkt d) (dvs.\ et histogram der arealet av alle stolpene til sammen er lik {\' e}n.)\\[0.2cm]
{\footnotesize PYTHON hjelp: Du kan tegne et normert histogram av observasjoner i en vektor {\tt x} ved komman\-doene\\
	{\tt import matplotlib.pyplot as plt}\\
	{\tt plt.hist(x,density=True,edgecolor=''black'')}\\
	Siden noen av observasjonene fra Lomax-fordelingen vil v{\ae}re veldig store, m{\aa} du avgrense de {\tt x}-verdiene du plotter histogrammet for. For eksempel f{\aa}r du tegnet histogrammet over intervallet fra 0 til 360 måneder ved kommandoene\\
	{\tt plt.xlim(0,360)}\\
	{\tt plt.hist(x,density=True,edgecolor=''black'',bins=50)}}. 

Noen ganger kan du få så mange store verdier at du må jobbe litt med antall bins i histogrammet for å få det pent.
\item[f)]Tegn tettheten til Lomax-fordelingen med $\beta=48$ 
m{\aa}neder og $\alpha=3$ i samme figur som histogrammet og kommentér resultatet.
%

\item[g)]Lomax-fordelingen er en fordeling med tung hale. Du skal se på hvordan dette slår ut for sentralgrenseteoremet i praksis. Illustrér vha. simuleringer hvordan den empiriske fordelingen til gjennomsnittet av $n$ Lomax-fordelte observasjoner nærmer seg normalfordelingen for $n=10, 100$ og $1000$. Dette gjør du ved å simulere 10{\,}000 utvalg av størrelse $n$\footnote{Bruk kommandoen \texttt{np.random.uniform(0,1,size=(n,10000))} for å generere $U$-ene.}, ta gjennomsnittet i hvert utvalg, og se på hvordan de 10{\,}000 gjennomsnittene fordeler seg, enten ved å lage histogrammer, eller ved å se på den empiriske kumulative fordelingen, og sammenligne med standard normalfordeling. La deg inspirere av forelesningen fra kapittel 6. Du kan få bruk for å vite at forventning og standardavvik i Lomax-fordelingen med parametre $\beta$ og $\alpha$ er gitt ved
$$
\mathbb{E}(X)=\frac{\beta}{\alpha -1}  \mbox{\hspace{3mm} og \hspace{3mm} Sd}(X)= \frac{\beta}{\alpha -1} \sqrt{\frac{\alpha}{\alpha-2}}
$$
%
\item[h)]
Gjenta punkt g), men denne gangen med den uniforme fordelingen p{\aa} $(0,1)$. Du skal med andre ord gjøre akkurat det samme som i forrige punkt, bortsett fra at du genererer og tar gjennomsnittet av uniformt fordelte observasjoner i stedet for Lomax-fordelte. Sammenligne den empiriske fordelingen for gjennomsnittet av de uniformt fordelte observasjonene med den for de Lomax-fordelte i punkt g). Kommentér og forklar den forskjellen du ser i resultatene for Lomax-fordelingen og den uniforme fordelingen.
\end{itemize}

\end{oppgave}

\vspace{5mm}

\begin{oppgave}
\noindent 
I denne oppgaven skal du studere fordelingen til størrelsen på forsikringskrav til et gitt forsikringsselskap. Dette er altså størrelsen (i tusen kroner) på alle kravene kundene har sendt inn til selskapet i løpet av en gitt tidsperiode. Det er 6377 registrerte krav i datasettet. Datasettet finner du i filen \texttt{forsikringskrav.txt} under fanen Data på hjemmesiden til kurset. 
 
 \vspace{3ex}

\noindent PYTHON hjelp: Du kan lese inn datasettet ved kommandoene:
{\footnotesize
\begin{lstlisting}[language=Python]
import pandas as pd
url = "https://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/STK1100/data/forsikringskrav.txt" 
forsikringskrav=pd.read_csv(url, header=None)[0]
\end{lstlisting}
}

\newpage

\noindent For et utvalg $x_1, x_2, \dots, x_n$ er den \textit{empiriske kumulative 
fordelingsfunksjonen} gitt ved
$$
\widehat{F}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^n I(x_i \leq x),
$$
som altså betyr at $\widehat{F}(x)$ er gitt ved \textit{andelen} av alle
observasjonene i utvalget som er mindre enn eller lik $x$.
\begin{itemize}
\item[a)] Lag et histogram over forsikringskravene. Lag også et plott av den empiriske kumulative fordelingsfunksjonen for kravene. Kommenter kort om formen på den empiriske fordelingen.\\[0.2cm]

%\begin{figure}[h]
  %  \centering
    %\includegraphics[width=300pt]{empirisk_fordeling.pdf}
    %\caption{Empirisk kumulativ fordelingsfunksjon for forsikringskravene.}
    %\label{fig:egypt_empirisk}
%\end{figure}

\noindent PYTHON hjelp: Du kan enten bruke ECDF fra statsmodels, som vi brukte i forelesningene, til å plotte den empiriske kumulative fordelingen, på denne måten:\\
{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=Python]
from statsmodels.distributions.empirical_distribution import ECDF
ecdf2 = ECDF(forsikringskrav)
z = np.linspace(0, 200, 1000)
plt.step(z, ecdf2(z))
\end{lstlisting}
}
\noindent Eller du kan programmere funksjonen selv:\\
{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=Python]
import numpy as np
from scipy import interpolate as inter

def lag_empirisk_fordelingsfunksjon(x):
    empirisk_fordeling = inter.interp1d(np.sort(x), 
                          np.arange(len(x))/float(len(x)), 
                          kind = "zero",
                          fill_value = "extrapolate")
    return empirisk_fordeling
ecdf = lag_empirisk_fordelingsfunksjon(forsikringskrav) 
z = np.linspace(0, 200, 1000)
plt.step(z, ecdf(z))
\end{lstlisting}
}

\end{itemize}
\noindent En mulig parametrisk modell for forsikringskrav, er gammafordelingen, altså en modell med tetthet
$$
f(x) = \frac{x^{\alpha - 1}e^{-\frac{x}{\beta}}}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}, \mbox{\hspace{2cm}}x>0.
$$
I gammafordelingen er $\mathbb{E}(X)  = \alpha\beta$, og
$\text{Var}(X) = \alpha\beta^2$.

\begin{itemize}
\item[b)] 
Finn estimatorer for $\alpha$ og $\beta$ ved {\aa} l{\o}se ligningssettet under for 
$\alpha$ og $\beta$
$$
\overline x= \alpha\beta,
$$
$$
S^2 = \alpha\beta^2,
$$
der
$\overline x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i,$ og 
$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i - \overline x)^2$. Disse kalles 
for momentestimatorene for $\alpha$ og $\beta$.
Finn de tilhørende estimatene for $\alpha$ og $\beta$ ved {\aa} sette inn de observerte forsikringskravene. 
\end{itemize}

\newpage

\noindent En annen mulig parametrisk modell for forsikringskrav er
en såkalt \textit{log-normal} fordeling. Denne fordelingen
kan man konstruere som $X= e^{Y},$ der $Y$ er normalfordelt med forventning $\mu$ og varians $\sigma^2$.
%\begin{itemize}
%\item[c)] Finn tettheten til den log-normale fordelingen,
%ved å regne ut transformasjonen, med utgangspunkt i %normalfordelingen.
%\end{itemize}
For den log-normale fordelingen har man at
$$
\mathbb{E}(X) = \exp\left(\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right),
$$ 
og at
$$
\text{Var}(X) = \left[\exp(\sigma^2) - 1\right]\exp\left(2\mu + \sigma^2\right).
$$
\begin{itemize}
\item[c)] Finn momentestimatorene for $\mu$ og $\sigma$ ved å l{\o}se 
ligningssettet under for $\mu$ og $\sigma$
$$
\bar{x} = \exp\left(\mu + \frac{\sigma^2}{2}\right),
$$ 
og
$$
S^{2} = \left[\exp(\sigma^2) - 1\right]\exp\left(2\mu + \sigma^2\right).
$$
Finn de tilhørende estimatene for $\mu$ og $\sigma$ ved {\aa} sette inn de observerte forsikringskravene slik som i punkt b). 
\item[d)] Lag en figur, der du plotter den empiriske kumulative fordelingen i a) sammen med de estimerte kumulative modellene basert på log normal- og gamma-fordelingene fra b) og c). Hvilken modell syns du passer best? Begrunn svaret ditt.

PYTHON hjelp: For å plotte den kumulative fordeling til $\text{gamma}(\alpha,\beta)$ fordelingen, så kan du bruke følgende kommandoer:
{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=Python]
from scipy.stats import gamma
z = np.linspace(0,200,1000)
plt.step(z,gamma.cdf(z/beta,alpha))
\end{lstlisting}
}
Tilsvarende for å plotte den kumulative til lognormal fordelingen med parametre $\mu,\sigma$, så kan du bruke kommandoenen
{\footnotesize 
\begin{lstlisting}[language=Python]
from scipy.stats import lognorm
z = np.linspace(0,200,1000)
plt.step(z,lognorm.cdf(z,s=sigma,scale=exp(mu)))
\end{lstlisting}
}
\end{itemize}
\end{oppgave}

\end{document} 