Her kommer korte rapporter fra forelesningene. Forelesningsnotater vil vanligvis ikke legges ut på nett.
Tirsdag 19.01.
Velkommen til MAT1001.
I dag snakket vi mest om hva kurset MAT1001 egentlig er for noe og ga en kort oversikt over pensum. Vi begynte så smått å snakke om Del 1 av kurset - lineære likningssystemer. Mer om det i morgen!
Onsdag 20.01.
I dag snakket vi om lineære likningssystemer og deres løsninger. Vårt hovedresultat i dag var at lineære likningssystemer kan ha 0, 1 eller uendelig mange løsninger.
Vi så på substitusjons- og addisjonsmetoden for løsning av lineære likningssystemer og regnet noen eksempler med begge metodene. Vi så også at vi av og til må innføre parametere i løsningen vår.
Vi tolket også løsningene geometrisk. Blant annet så vi at 1 løsning svarer til et punkt i det rommet vi jobber med. Uendelig mange løsninger svarer til for eksempel linjer, plan osv. Vi så at antall parametere vi trengte i løsningen sa oss noe om hvor stor dimensjon løsningsmenden hadde.
På tirsdag begynner vi med matriser!
Tirsdag 26.01.
Temaet i dag var matriser. Vi definerte en drøss med begreper knyttet til fenomenet og så på regneregler for matriser. De fleste reglene er som for tall, men vi må være obs når vi ganger sammen matriser; for det første er operasjonen annerledes og for det andre er ikke multiplikasjon av matriser kommutativt.
Vi så også hvordan man kan regne ut den såkalte determinanten til en kvadratisk matrise. Determinanter til 2x2 og 3x3-matriser regnet vi ut direkte, men vi så også hvordan systemet vi bruker kan utvides til å regne ut determinanten til større matriser.
Til slutt i dag så vi hvordan matriselikninger skjuler likningssystemer. Det blir mye mer om dette fremover!
Onsdag 27.01.
Vi begynte i dag med å henge nye resultater på teorien om lineære likningssystemer og matriser. Vi så at determinanten til koeffisientmatrisa til et lineært likningssystem med like mange variabler som likninger kan si oss noe om antall løsnigner til likningssystemet.
Vi så også på hvordan lineære likningssystemer kan skrives på utvidet matriseform, og hvordan vi kan bruke addisjonsmetoden systematisk for å finne løsningen til likningssystemet. Dette kalte vi Gauss-Jordan-eliminasjon.
Flere eksempler på fredag og på tirsdag!
Tirsdag 02.02.
I dag fordøyde vi teorien om lineære likningssystemer og matriser ved hjelp av et par eksempler. Vi regnet på mer generelle systemer enn vi gjorde i forrige uke.
Dessuten viste vi at hvis vi finner to løsninger til et likningssystem, kan vi konstruere uendelig mange løsninger.
Vi innførte også Cramers regel. Denne regelen er, for små likningssystemer med like mange variabler som likninger, en hurtig (og kanskje enklere?) måte å finne løsningen til et lineært likningssystem på - gitt at vi har nøyaktig én løsning.
Onsdag 03.02.
I dag gikk vi gjennom nesten all teorien i kapittel 4. Vi tok utgangspunkt i et case og jobbet oss gjennom de ulike elementene i en typisk populasjonsdynamikkoppgave.
Vi så at i populasjonsdynamikk er sammenhengene mellom ulike deler av populasjonen gjerne lineære, og vi kan dermed bruke masse matriseteori til å finne pene matematiske modeller for fenomenene vi studerer.
Spesielt fokus var i dag på innføringen av egenverdier og egenvektorer til en matrise.
Mer på fredag og hele neste uke!
Tirsdag 09.02.
I dag gjennomgikk vi eksempelet PIGG-AV fra boka. Vi gikk også gjennom strukturen bak en standard oppgave i populasjonsdynamikk.
Vi nevnte også fenomenene likevektstilstand og likevektsforhold, og så litt mer på grensebetraktninger.
Ellers regnet vi ut egenverdiene til en 3x3-matrise. Mer om det i morgen!
Onsdag 10.02.
Vi snakket i dag mer om populasjonsdynamikk.
Først regnet vi på når mer enn 60% av bilistene i PIGG-AV-eksempelet fra boka kjørte piggfritt. Dette involverte regning med ulikheter og logaritmeregning. Derfor repeterte vi også noen logaritmeregler i dag.
Vi tok opp igjen et populasjonsdynamikkproblem med 3 underpopulasjoner fra i går. Vi hadde regnet ut egenverdiene til dette systemet. I dag regnet vi enda et eksempel på egenverdier til en 3x3 matrise, før vi gikk tilbake til eksempelet fra i går og regnet på egenvektorene til denne matrisen. Vi så også at en initialvektor kan skrives som en lineærkombinasjon av egenvektorer i dette tilfellet. Og vi så at vi kan bruke samme triks som før for å finne et enkelt uttrykk for tilstandsvektor ved tid n.
Til slutt begynte vi på eksamensoppgave B.1.18 - og så at denne er en helt standard oppgave. Dere skal nå ha klart for dere hvordan en sånn oppgave bør løses!
Det blir mer populasjonsdynamikk på fredag, og så skal vi gjøre et kvantesprang og avdekke en helt ny verden neste uke! Gjør klar for kapittel 7!
Tirsdag 16.02.
I dag ble dere kjent med de komplekse tallene! Vi snakket litt om det komplekse planet og punktene=tallene der. Vi brukte de vanlige regnereglene for de reelle tallene og fant ut at de samme fungerte helt fint for komplekse tall. Men et triks måtte til når vi skulle dele et komplekst tall på et annet.
Videre i dag viste vi at en 2.gradslikning ALLTID har løsning:
A: To forskjellige reelle løsninger.
B: En reell løsning.
C: To komplekse løsninger - de er da konjugerte til hverandre.
Til slutt i dag innførte vi radianer og snakket om trigonometri og tabellen s 181. Vi utledet eksakte verdier for sinus og cosinus til de vanlige vinklene i 1.kvadrant. Husk å stille kalkulatoren din inn på radianer!
Onsdag 17.02.
Vi gikk videre med komplekse tall og snakket om overgangen fra kartesisk form til polar form og tilbake. Vi ga dessuten definisjonen på e^(i*Theta) og snakket om komplekse tall på eksponentialform.
Vi ga mange eksempler på at eksponentialform gjør livet lettere for oss når vi skal gange sammen to komplekse tall.
Litt mer om det på tirsdag, og så begynner vi på kapittel 5 - om differenslikninger.
Tirsdag 23.02.
I dag snakket vi om differenslikninger. Vi skal i dette kurset lære å løse 1. og 2. ordens homogene lineære differenslikninger med konstante koeffisienter samt 1. og 2. ordens inhomogene lineære differenslikninger med konstante koeffisienter der den inhomogene biten er et polynom i n.
I dag snakket vi litt om tallfølger og vi løste 1.ordens LHDKK (lineære homogene differenslikninger med konstante koeffisienter). Når vi løste disse, fant vi først ALLE tallfølger som oppfylte likningen. Dette kalte vi den generelle løsningen. Deretter brukte vi en initialbetingelse til å plukke ut EN av de generelle løsningene - den spesielle løsningen.
Mer om inhomogene differenslikninger i morgen!
Onsdag 24.02.
I dag snakket vi om inhomogene differenslikninger og hvordan vi kan løse dem.
1 - Finn den generelle løsningen til den assosierte homogene likningen.
2 - Gjett en polynomløsning - et generelt polynom av samme grad som det polynomet som opptrer i likningen.
3 - Sett gjetningen inn i differenslikningen og bestem polynomet.
4 - Skriv opp den generelle løsningen til differenslikningen som summen av 1 og 2.
5 - Bruk evt initialbetingelse til å finne den spesielle løsningen som oppfyller både differenslikningen og initialbetingelsen.
Det var det. Flere eksempler i plenumsregningen på fredag.
Tirsdag 02.03.
I dag viste vi at 2.ordens homogene lineære differenslikninger med konstante koeffisienter kan løses ved hjelp av helt enkle formler som er knyttet til en spesiell 2.gradslikning.
Alle 2.OLDKK som er homogene har et karakteristisk polynom som er av grad 2. Dette polynomets røtter avgjør hvilken formel vi skal bruke.
Vi skisserte hvordan vi kom fram til de ulike formlene og regnet noen eksempler på hver av de tre typene.
Mer om 2.ordens differenslikninger i morgen. Da skal vi se på løsning av inhomogene og se noen anvendelser av denne teorien.
Onsdag 03.03.
I dag så vi på 2.ordens inhomogene differenslikninger og så at disse hadde samme løsningsmetode som de inhomogene 1.ordens differenslikningene.
Vi regnet et par eksempler og vi så litt på grenseverdier når n går mot uendelig for noen av typene.
Neste uke begynner vi på kapittel 10.
Kapittel 9 er stoff dere må lese på egenhånd.
Tirsdag 09.03.
I dag begynte vi på del 3 av kurset, og kapittel 10 var kjernestoff. Vi snakket litt om funksjoner og funksjonstyper, definisjonsmengder og verdimengder. Mye av dette var kjent stoff, men litt nytt i forbindelse med grenseverdier av rasjonale funksjoner.
I morgen skal vi snakke om en spesiell type funksjoner, nemlig harmoniske svingninger!
Onsdag 10.03.
I dag snakket vi om harmoniske svingninger og hvordan disse funksjonene kan brukes til å lage funksjoner som ligger tett opp til virkelige observasjoner.
Vi snakket også om hvordan man kan legge sammen harmoniske svingninger og få en ny.
Til slutt i dag en liten moralpreken angående midtveiseksamen...
Tirsdag 16.03.
I dag gjennomgikk Georg teorien for derivasjon. Det blir mer om derivasjon og det motsatte - antiderivasjon - etter påske!
Onsdag 17.03.
I dag gjennomgikk Kari midtveiseksamen fra i fjor høst!
Tirsdag 06.04.
I dag gjennomgikk vi løsningsmetoden for 2.ordens linære homogene difflikninger med konstante koeffisienter. Vi så at fremgangsmåten er ganske lik den vi hadde for differenslikninger. Vi tok også for oss spørsmålet om hva slags initialbetingelser vi trenger for at vi skal kunne finne en spesiell løsning på difflikningen.
Onsdag 07.04.
I dag fikk vi med oss det meste om antiderivering på 2 timer. De gode nyhetene er at vi skal jobbe med teknikkene hele resten av kurset. Husk at vi tenker på antiderivasjon som "elementære regler, substitusjon, delbrøksoppspaltning eller delvis integrasjon".
Tirsdag 13.04.
I dag gjennomgikk vi teorien for separable difflikninger, og så at å løse disse dreide seg om en enkel teknikk etterfulgt av mer eller mindre enkle antiderivasjoner. Vi så også at opprydning i uttrykket for å finne funksjonen vi er ute etter ikke alltid er like lett.
Onsdag 14.04.
HURRA! I dag ble vi strengt tatt ferdige med pensum! Vi gjennomgikk løsningsmetoden for 1.ordens lineære difflikninger og observerte at det innebar et særdeles viktig triks: å gange likningen med integrerende faktor for deretter å gjenkjenne produktreglen for derivasjon baklengs.
Repetisjon av difflikninger, flere eksempler og eksempler på anvendelser kommer neste uke!
Tirsdag 20.04.
I dag repeterte vi derivasjon og antiderivasjon. Vi regnet på vanskelige eksempler fra boka. Deretter regnet vi et par eksempler på difflikninger: vi brukte derivasjon og antiderivasjon hele tiden!
I de neste 3 forelesningene skal vi gå gjennom kapittel 13, og da blir det flere eksempler på difflikninger!
Onsdag 21.04.
Kapittel 13 og modellering var temaet i dag. Vi gikk gjennom eksempel 13.3 og 13.5 i boka. Dessuten begynte vi å se på eksempel 13.6. Vi fortsetter med dette eksempelet og mer stoff fra kapittel 13 neste uke.
Tirsdag 27.04.
Vi ryddet opp i eksempel 13.6 og så etterpå nærmere på eksempelet om fjærer i boka. Helt til slutt så vi på modellen for rovdyr og byttedyr. Altså: anvendelser av 2.ordens difflikninger med konstante koeffisienter.
Onsdag 28.04.
Vi gikk i dag gjennom oppgavene B.3.23, B.3.30, B.3.40, B.3.43 og B.3.46.
Tirsdag 04.05. og onsdag 05.05
Oversiktsforelesning og gjennomregning av eksamen fra H08.
Tirsdag 11.05.
Vi gjennomgikk diverse oppgaver og litt teori om harmoniske svingninger. Deretter gikk vi gjennom noen av oppgavene fra Oblig2.
Onsdag 12.05.
Vi gikk gjennom eksamensoppgavene fra høst 2009. Løsningsforslag på alle eksamensoppgavene blir lagt ut etterhvert.