Geometri og topologi

En spesialisering innen Masterprogrammet i Matematikk (MAT)

Studiets oppbygning

Hva er "Geometri og Topologi"?

Mennesker har lenge studert egenskaper ved geometriske figurer. I geometri er man ofte interessert i begreper som avstand, vinkel, areal og volum. Topologer studerer mer kvalitative egenskaper ved romlige former.  Etter hvert som matematikken har utviklet seg har geometri og topologi vokst til et aktivt forskningsområde, med forbindelser til fysikk og mange andre deler av matematikken. Matematisk institutt ved UiO har en aktiv forskningsgruppe innen algebraisk og geometrisk topologi. Se gruppens hjemmeside for informasjon om våre forskningsaktiviteter.

De fast ansatte i Geometri og Topologi-gruppen er:

Kim Frøyshov
Frøyshov arbeider med topologiske anvendelser av gauge-teori på 3- og 4-mangfoldigheter.  Den første slike anvendelsen ble gitt av S. Donaldson i en artikkel fra 1983 som revolusjonerte teorien for glatte 4-mangfoldigheter.  Generelt søker man å oppnå informasjon om topologien til glatte 4-mangfoldigheter ved å studere moduli-rom av løsninger til bestemte ikke-lineære partielle differensiallikninger som stammer fra fysikk, spesielt instanton- og monopol-likningene.  I det tilfellet hvor 4-mangfoldigheten er en sylinder, har man ved bruk av idéer fra Morse-teori definert ulike former for Floer-homologi. Frøyshov har særlig studert bestemte numeriske invarianter av homologi-3-sfærer avledet av Floer-homologi.  Disse invariantene legger begrensninger på snittformen til en kompakt, orientert glatt 4-mangfoldighet som har en gitt homologi-sfære som rand. 

John Rognes
Rognes arbeider med algebraisk topologi og algebraisk K-teori, med forgreninger til geometrisk topologi, algebraisk geometri og tallteori. Geometriske spørsmål om kontinuerlige eller differensiable symmetrier av høy-dimensjonale mangfoldigheter kan besvares ved hjelp av algebraisk K-teori av ring-spektra. For eksempel er alle de stive symmetriene av en sfære gitt ved ortogonale rotasjoner, men det finnes en mye større gruppe av myke symmetrier. Algebraisk K-teori er en videreutviklet form for lineær algebra og tallteori, mens ring-spektra er algebraisk-topologiske utvidelser av ringbegrepet, også kjent som "vidunderlige nye ringer". Rognes er opptatt av å studere slik algebraisk K-teori gjennom mer effektivt beregnbare invarianter, som topologisk syklisk homologi, og å forstå disse beregningene konseptuelt ved å tenke algebraisk-geometrisk på de nye ringene som ringer av funksjoner på nye geometriske objekter.

Paul Arne Østvær
Østvær forsker i grenseområdet mellom algebraisk geometri og algebraisk topologi. Han er spesielt interessert i å overføre topologiske teknikker til studiet av løsninger av algebraiske likninger. Dette involverer ofte at man gjør homotopiteori for andre objekter enn vanlige topologiske rom. Den moderne perioden for denne delen av matematikken startet på 1980-tallet med oppdagelsen av modellstrukturer for simplisielle objekter i algebraisk geometri. I de senere år har denne teorien utviklet seg til det man i dag kaller motivisk homotopiteori. Østvær har nå en 20% stilling ved Universitetet i Oslo.

Om masterstudiet i matematikk med "Geometri og Topologi" som spesialisering

For å kunne skrive en masteroppgave innenfor Geometri og Topologi, bør du ha opptak til studieretningen Matematikk (MAT) innen masterprogrammet i Matematikk. Masterstudiet er på to år bestående av emner og arbeid med masteroppgave. Tar du kort oppgave (30 studiepoeng) består de tre første semestrene av emner og selve masteroppgaven gjøres i fjerde semester. Tar du lang oppgave (60 studiepoeng), så er det emner i hele første semester. I andre semester er det avsatt tid til arbeid med masteroppgaven ved siden av emner på 20 studiepoeng, mens du i tredje semester tar ett emne på 10 studiepoeng ved siden av arbeid med oppgaven. Hele fjerde semester er satt av til arbeid med masteroppgaven. Nedenfor finner du to studieplaner for et masterstudium med spesialisering innenfor Geometri og Topologi.

Forslag til oppbygning av masterstudiet med kort masteroppgave:

Forslag til oppbygning av lang masteroppgave:

Veileder og mer informasjon:

Disse studieveiene er bare ment som eksempler. Den enkelte students studievei på masternivå vil bli lagt opp i samarbeid med veilederen, med utgangspunkt i studentens bakgrunn og interesser og med tanke på temaet for masteroppgaven. Gruppen i geometri og topologi kan tilby forskjellige typer masteroppgaver, fra helt grunnleggende spørsmål om teoribygging til mer fokus på regnemessige ferdigheter. Ta gjerne kontakt med de fast ansatte i gruppen for å avtale en samtale.