Operatoralgebraer

- en spesialisering innen Masterstudiet i Matematikk ved UiO

Studiets oppbygning

Hva er "Operatoralgebraer"?

Operatoralgebraer omfatter C*-algebraer og von Neumann algebraer. Feltet klassifiseres innenfor matematikken som en del av analysen, nærmere bestemt funksjonalanalysen. Funksjonalanalysen behandler analyse på uendelige dimensjonale vektorrom ved å ta i bruk topologiske begreper. En lineær avbildning mellom slike rom kalles en operator, og operator teori er av stor betydning i nesten all moderne analyse. Klassiske eksempler på operatorer er differensial- og integraloperatorer. Fourier transformasjonen, eller det å danne Fourierrekken til en funksjon, kan oppfattes som en operator mellom to uendeligdimensjonale funksjonsrom. Et viktig moment er at sammensetningen av operatorer er en ikke-kommutativ operasjon : det må altså taes hensyn til rekkefølgen av operatorene i et slikt produkt. Dette skaper problemer for utviklingen av teorien, men dette gjør den også mere spennende, med vidtrekkende konsekvenser -- den utgjør faktisk det matematiske grunnlaget for kvantemekanikken i fysikken.

Det er ofte hensiktsmessig å ikke bare betrakte en enkel operator, men en hel klasse av operatorer som danner en algebra samtidig som den oppfyller noen spesielle tekniske betingelser. I slike operatoralgebraer er det ikke-kommutative aspektet ved produktet igjen fremtredende. Operatoralgebraer kan gis en elegant aksiomatisk presentasjon og de kan da sees på som en generalisering av "vanlige" kommutative funksjonsalgebraer. I det tilfellet at algebraene er endeligdimensjonale, er de endelige summer av matrisealgebraer. I tillegg til å være et eget fagfelt som inndeles videre i mange retninger, er operator algebraer et nyttig verktøy i mange andre områder av matematikken. Her kan nevnes f.eks. topologi, geometri, knuteteori, dynamiske systemer, ergodeteori, wavelets, representasjonsteori for lokal kompakte grupper og kvantegrupper. Studiet av C*-algebraer kalles ofte ikke-kommutativ topologi eller ikke-kommutativ geometri, mens studiet av von Neumann algebraer kalles ikke-kommutativ målteori.

Operatoralgebraer er et internasjonalt meget aktivt forskningsområde og det fins en veletablert forskningsgruppe i dette feltet ved Matematisk Institutt. For informasjon om forskningsgruppen, dens aktiviteter og aktuelle temaer for masteroppgaver, kan man konsultere gruppens hjemmeside eller enkeltmedlemmennes hjemmesider (se nederst).

Om masterstudiet i matematikk med "Operatoralgebraer" som spesialisering

For å kunne skrive en masteroppgave innenfor feltet operatoralgebraer, må man ha fullført bachelorgraden i Matematikk med informatikk, med studieretningen i matematikk, eller ha tilsvarende godkjent utdanning.

Det anbefales på det sterkeste at emnet MAT3400 – Lineær analyse med anvendelser tas i løpet av bachelorstudiet. Hvis ikke må emnet MAT4400 – Lineær analyse med anvendelser tas i løpet av masterstudiet.

Videre gjelder det at følgende emner anbefales å ta i løpet av masterstudiet:

• MAT4500 – Topologi
• MAT4410 – Videregående lineær analyse
• MAT4450 – Videregående funksjonalanalyse
• MAT4460 – C*-algebraer

Et eksempel på studieplan med kort masteroppgave for studenter som har tatt MAT3400 i bachelorgraden er:

Den enkelte students studievei på masternivå vil bli lagt opp i samarbeid med veilederen, med utgangspunkt i studentens bakgrunn og interesser og med tanke på temaet for masteroppgaven.

Ta gjerne kontakt med Erik Bédos, Nadia Larsen, Sergey Neshveyev, Makoto Yamashita eller Alexander Müller-Hermes for å avtale en samtale.