For å kunne reise fra planeten vår, trenger vi en rakett. Det sier seg kanskje selv, men det er en lang vei dit. Hvis vi skal få en rakett til å lette fra planeten vår overflate - og unnslippe gravitasjonsfeltet, trenger vi drivstoff. Mye drivstoff. Vår plan er å bruke hydrogengass med høy temperatur i en boks med hull i bunnen. Når gassen blir varmere, vil partiklene få større hastighet. Her må vi gjøre noen forenklinger. Først og fremst neglisjerer vi gravitasjonskraften som virker på partiklene. Dette kan vi gjøre ettersom at massen på en partikkel er så liten. Gassen vi bruker skal være ideell. Det vil si at en kollisjon mellom partikler og innsiden av veggen er elastisk. En annen ting som må være oppfylt er at retningen partiklene beveger seg i er jevnt fordelt, og ikke kolliderer med hverandre. Vi skal senere se på hva en Gaussisk sannsynlighetsfordeling er for noe.
La oss ta en titt på et forhåpentligvis kjent begrep fra klassisk mekanikk. Bevegelsesmengde. Vi vet at
\(\vec{p}=m\vec{v}\)
er bevegelsesmengden til et legeme. Når vi sier at kollisjonen mellom partikkel og vegg er elastisk, betyr det at hastigheten partikkelen har i én retning før kollisjonen er lik hastigheten etter kollisjonen, men motsatt rettet.
Teorien vår er å benytte bevaring av bevegelsesmengde til å gi raketten framdrift. En partikkel som kolliderer med en vegg vil ikke bli påvirket av noen krefter i y-retning. Dermed er bevegelsesmengden i y-retning bevart. Ikke helt klinkende klart? La oss introdusere et tankeeksperiment.
Se for deg at du står på et islagt vann. Det virker ingen friksjon mellom isen og undersiden av skoene dine. Det er heller ingen luftmotstand eller tyngdekraft. I hånden holder du en stein. Hva er samlet bevegelsesmengde for deg og steinen? Jo, den må være 0! Ettersom at systemet som består av deg og steinen er i ro, vil
\(\vec{v}=\vec{0}\,m/s \\ \vec{p}_{før}=m\vec{v}=m\cdot\vec{0}=\vec0\)
Hva skjer så med bevegelsesmengden til systemet etter at du har kastet steinen? La oss si at du kaster steinen med en fart på 5 m/s i x-retning.
Ettersom at det ikke virker noen ytre krefter på systemet, må bevegelsesmengden være bevart. Da må
\(\vec{p}_{etter}=\vec{p}_{før}\)
La oss si at at steinen veier en tjuendedel av det du veier. (Hvis du veier 70 kg, veier steinen 3,5 kg).
Kan vi si noe om \(v_2 \)? La oss regne litt, og holde oss til x-retning.
\(p_{etter}=\frac{m}{20}v_1+mv_2=p_{før}=0\\ m\Big(\frac{v_1}{20}+v_2\Big)=0\\ \frac{v_1}{20}+v_2=0\\ v_2=-\frac{v_1}{20}=-\frac{5m/s}{20}\\ v_2=-\frac{1}{4}m/s \)
Har du sett? Når du kaster steinen, vil du bevege deg i motsatt retning av steinen. Riktig nok med en mye lavere hastighet. Dette må være tilfellet, for at bevegelsesmengden skal være bevart. Og det er dette prinsippet vi skal bruke for å få raketten til å lette fra jorda.
I boksen vår vil hydrogenpartiklene kollidere med taket og veggene. Hver gang en partikkel har kollidert med én vegg og så omsider den på motsatt side, vil dette utjevne hverandre. Siden den eneste utveien for en partikkel er gjennom et hull i bunnen av boksen, vil bevegelsesmengden i x- og y-retning alltid være 0 (z-retning er vertikalt). Når partikkelen har kollidert i taket, men så forsvinner ut av boksen, så vil den ha gitt raketten økt bevegelsesmengde i positiv z-retning. Se på denne utregningen:
\(\Delta p = p(etter)-p(før)=-mv_z-mv_z=-2mv_z=-2p_z\)
Kraft er definert som endring av bevegelsesmengde per tidsendring. Kraften partikkelen utgjør i taket ved kollisjonen blir
\(F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{2p_z}{\Delta t}\)
Den totale krafta på taket blir da:
\(F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=N\cdot\frac{2p_z}{\Delta t}\)
hvor \(N\) er totalt antall partikler.
Vi kommer som sagt til å modellere med H2-partikkler. De har en samlet masse på \(2\cdot1,67\cdot10^{-27}\) kg. I én boks kan vi ha noe sånt som \(10^{5}\) antall partikler. Hver boks er på omkring \(10^{-6}\) m i lengde, og vi vil tenke oss at vi trenger et sted omkring \(10^{15}\) bokser. Dette er veldig store tall, og noe vi har plukket ut rett fra lufta. Vi kommer til å gjøre endringer underveis, men dette er bare for å gi dere noen pekepinner på størrelsesordenene vi opererer med her.
I neste blogginnlegg vil vi gå nærmere inn på solsystemet vårt. Spoiler alert! Det er ikke Melkeveien! Følg med!