Om du ikke har lest forrige innlegg, så gjør det før du leser dette innlegget
Vi gjør noen korreksjoner
Som forklart i intro-tittelen skal vi nå studere samme system som i Del 1, men nå ta i betraktning at observatørene ikke registrerer lyssignalet umiddelbart, men at lyset faktisk må reise mellom observatørene. Dette er det vi faktisk ville sett på ekte, og blir mer presist i forhold til virkeligheten. Før vi observerer eksperimentet der vi inkluderer lyshastigheten ser vi tilbake på resultatene vi fikk fra del 1, og bruker et uttrykk for lyshastigheten radielt inn mot et sort hull til å prøve å resonnere oss frem til hva som vil skje. Vi kan utlede at lyshastigheten radielt inn mot et sort hull er
\(\begin{align} v_{\gamma,r} = -\left(1 - \frac{2M}{r_{\gamma}}\right) \end{align}\)
der subscripten \(\gamma\) forteller oss at det er lys vi ser på. MERK at lyshastigheten faktisk endrer seg i Schwarzschild-geometrien. Du trodde kanskje at lyshastigheten var konstant i alle referansesystemer? I fysikken har vi en tendens til å lyve en del om ting, for å så oppklare sannheten etterpå. Du ser kanskje at dersom \(r \rightarrow \infty \), så går \(v_{\gamma,r} \rightarrow 1 \) (husk at \(c = 1\) når vi jobber med naturlige enheter) ? Lysets hastighet er den samme for alle observatører i lokale inertialsystemer. I generell relativitet befinner vi oss ikke lenger i et slikt system. Legg også merke til at dersom \(r \rightarrow 2M\) så vil \(v_{\gamma,r} \rightarrow 0\). Husk også at \(r = 2M\) er på eventhorisonten av det sorte hullet, som betyr at på eventhoristonten vil langt-vekk observatøren observere at lys ikke har noen hastighet (husk at Schwarzschild-koordinatet \(r\) måles av langt-vekk observatøren, så dette er hva langt-vekk observatøren vil se). Du har kanskje hørt før at lys ikke kan slippe ut av eventhorisonten til sorte hull? Langt-vekk observatøren vil observere at lyset har hastighet lik 0 på eventhorisonten, og lyset vil dermed aldri nå frem til ham. Dette gjelder ikke bare for langt-vekk observatøren, men faktisk også for skall-observatøren (og fritt-fallende observatør, og satellitten vår er en skall-observatør). Dette er på grunn av hvordan skall-observatøren måler sin egen avstand fra det sorte hullet, og kan velge å måle samme \(r\) som langt-vekk observatøren ved å måle omkretsen sin og dele dette på \(2\pi\).
Det var en liten avsporing, men tilbake til systemet. La oss prøve å resonnere: hvordan vil lyshastigheten påvirke hvordan observatørene observerer lyssignalene? Vi kan ta det "enkleste" først: siden lyset nå faktisk reiser med en hastighet tror jeg at vi får et lite doppler-skifte tilbake mot den røde delen av spekteret for fritt-fall observatøren, fordi han reiser vekk fra lyset i det lyset treffer ham i romskip-systemet, som illustrert i figur 1. Dermed tror jeg at de dopplerskiftene vi fikk i del 1 var litt kraftigere enn det vi burde forvente å få, og at romskipet kanskje må lenger inn mot det sorte hullet før vi får en like merkbar effekt. Et annet tillegg er at lyset bruker lenger og lenger tid fra den ene observatøren til den andre, siden avstanden mellom disse to observatørene hele tiden øker. Vi vil da i tillegg til tidsdilatasjonen også måtte vente på den tiden lyset bruker på å nå oss. For fritt-fall observatøren tror jeg dette betyr at lyssignalene ikke vil komme i kortere intervaller når han nærmer seg det sorte hullet, men kanskje jevne det ut (kanskje til og med ta lenger tid). For skall-observatøren tror jeg dette vil slå ut på lik måte som for fritt-fall observatøren, og skallobservatøren vil observere at det vil ta enda lenger tid mellom hvert utsendte lyssignal enn det han observerte i del 1 på grunn av den økende avstanden mellom observatørene, i tillegg til at han allerede har en tidsdilatasjon som sakker farten på intervallene.
Rull eksperiment
Vi observerer eksperimentet for planet-systemet i første omgang. Det jeg observerer er at det som anslått tar lenger tid mellom hvert lyssignal nå som vi tenker at lyssignalet må reise mellom observatørene vs. i del 1 der vi antok at det skjedde instantant. Én ting jeg observerer som jeg ikke kommenterte ovenfor, er hvordan vi nå observerer fargen til lyssignalene romskipet sender ut sett fra satellitten. Fargene forblir de samme (eller veldig lite merkbare), men vi legger merke til at to av signalene vi hadde fra forrige innlegg har forsvunnet. Dette kan forklares ved likningen
\(\begin{align} v_{\gamma, r} = -\left(1 - \frac{2M}{r_{\gamma}}\right) \end{align}\)
som forteller oss at ett fra satellitt-observatøren vil lyset faktisk ha en annen hastighet enn \(c\) ! Dess nærmere romskipet kommer det sorte hullet, det saktere går lyshastigheten. Det betyr at lyset bruker enda lenger tid enn det den gjorde før, siden den nå reiser en lenger avstand med lavere lyshastighet jo nærmere det sorte hullet lyset kommer. Dermed vil de to siste signalene aldri skje i eksperimentet, siden eksperimentet ikke varer i lang nok tid til at vi kan registrere det.
Vi kan plotte differansen i tidsintervallene mellom hvert lyssignal som registreres av skall-observatøren (satellitten) i planet-systemet dersom vi inkluderer lyshastigheten eller ikke (dvs. lyshastighet med - vi regner tiden signalene bruker mellom observatører, lyshastighet uten - vi tenker at observatørene ser lyssignalet i øyeblikket det blir sendt ut). Gjør vi noe sånt får vi dette plottet:
Det vi kan se på figur 2 er at allerede fra første og andre signal vil det ta lengre tid å observere signalene fra romskipet sett fra satellitten. Dess lenger ut i signalene vi måler, dess verre blir effekten og det tar enda lengre tid siden vi må tenke på tidsdilatasjon og lengden lyset må reise, kontra uten lyshastighet fra del 1 der vi kun trengte å tenke på tidsdilatasjon. Det ser ut som at kurvene stiger veldig likt, men helt på slutten av plottet (rundt 24 - 29) kan det se ut som at det er tendens til at den blå kurven kommer til å stige mye mer enn den røde kurven. Denne effekten er som forventet, og resultatene svarer til forventningene.
Vi gjør det samme som vi akkurat gjorde for planet-systemet ovenfor, men med romskip-systemet i stedet denne gangen. Lyssignalene utsendt fra satellitten som vi observerer på romskipet ser ikke ut til å ha blitt rødforskjøvet slik som jeg hadde forventet. Det vi heller ser er at masse av lyssignalene ikke kom frem til romskipet i løpet av tiden vi kjørte eksperimentet. I del 1 så vi at romskipet mottok 27 lyssignaler fra satellitten, mens her mottok vi kun 9 (!). Dette forklares også av likningen for lysets hastighet radielt inn mot det sorte hullet
\(\begin{align} v_{\gamma,r} = -\left(1 - \frac{2M}{r_{\gamma}}\right) \end{align}\)
som sier at lyset beveger seg saktere når det nærmer seg det sorte hullet. Dermed får vi i tillegg til tidsdilatasjon og avstand lyset skal reise, at lyset reiser saktere lenger inn mot det sorte hullet, som gjør at det tar enda lenger tid. Dermed rekker vi ikke å observere lyssignalene satellitten sender ut fra romskipet i løpet av tiden vi kjører eksperimentet.
Vi plotter differansen mellom tidspunktene vi observerer de utsendte lyssignalene fra satellitten på romskipet, og plotter det over signalene. Vi får et plott som ser slikt ut:
Dette resultatet var kanskje litt mer interessant! Her ser vi oppførselen fra del 1 (rød linje), der tidsintervallene ble kortere og kortere, og vi så at lyssignalene flashet fortere mot slutten. Dersom vi tar med tiden det tar for lyset å nå oss, ser vi at det faktisk tar lengre og lengre tid ettersom vi nærmer oss det sorte hullet. Altså gjør den økende avstanden mellom observatørene i tillegg til at lyset beveger seg saktere opp for tidsdilatasjonen vi fant i del 1, og snur det om slik at det tar lenger tid i stedet for kortere! Vi kan også se dette dersom vi plotter tiden vi mottar lyssignalene i hvert system over lyssignalene
Her ser vi tydelig at tidspunktene vi mottar lyssignalene er forskjellige for de ulike observatørene dersom vi inkluderer lyshastigheten eller ser bort ifra den. Dette forklarer også at det tar så lang tid for de siste lyssignalene å reise mellom observatørene dersom vi inkluderer lyshastigheten, at vi ikke vil observere dem i det tidsløpet vi kjører eksperimentet.
Hva kan vi konkludere med?
Det vi har klart å finne ut av er litt mer om hvordan lys oppfører seg mot sorte hull, og hvordan lyshastigheten påvirker hvordan vi observerer universet. Det finnes en slags myte at dersom man faller inn mot et sort hull, vil man se hele universets tidsløp skje på kort tid, men dette er altså helt usant. Dersom vi lar lyset reise med uendelig hastighet (som vil forårsake en del andre paradokser, men vi tenker oss at det ikke skjer) vil vi i som fallende observatører som reiser inn i det sorte hullet observere at alle hendelser langt unna oss i universet skjer fortere. Men siden lyset faktisk har en absolutt hastighet, vil Schwarzschild-geometrien vi har antatt i det sorte hullet føre til at lyset beveger seg saktere, i tillegg til at lyset bruker til på å reise fra det eventet det kommer fra og til oss som observerer. Etter vi har krysset eventhorisonten til det sorte hullet kommer observatører fra utsiden til å se oss fryse helt, siden lyset ikke klarer å unnslippe det sorte hullet fordi den vil ha en hastighet på 0. Det vi også kan konkludere med er at gravitasjonsfeltet til det sorte hullet gir oss en doppler-effekt, og vi kan tolke dette som doppler-effekt forårsaket av tidsdilatasjonen fra tyngdefeltet. Dermed vil de blå signalene som romskipet sender ut observeres som røde signaler på satellitten, og de røde signalene som satellitten sender ut observeres som blå signaler på romskipet når romskipet nærmer seg det sorte hullet. Vi kan da tenke at lys som reiser ut av et gravitasjonsfelt vil få en rødforskyvning mens lys som reiser inn i et gravitasjonsfelt vil få en blåforskyvning. Schwarzschild-geometrien kan vi til å modellere tyngdefeltet på Jorda også, som betyr at det samme gjelder lys som beveger seg inn og ut av Jordas gravitasjonsfelt (og nei, det er ikke dette som forårsaker at vi ser en blå himmel, det har mer med lysbrytning i atmosfæren å gjøre, og om dette er interessant kan du lese om Rayleigh scattering).
Fysikk er dødskult dere! Vi blir aldri lei av fysikk, og vi fortsetter å eksperimentere videre med generell relativitet, og enda litt til om sorte hull i neste innlegg.