Notat for de spesielt interesserte
Du kan finne en PDF der vi har gjort alle ekstra utregninger for dette blogginnlegget i linken nedenfor
Ekstra utregninger for de spesielt interesserte - PDF
Innlysende bane
På lik måte som andre objekter kan lys gå i bane, gitt at det er rundt et sort hull. Det er kanskje ikke helt innlysende, men lys kan faktisk "stabilisere seg" i bane rundt et sort hull (men ikke akkurat "stabilt", hehe). Med litt generell relativitet kan vi utlede at potensialet til lys kan skrives som
\(\begin{align} V(r) = \sqrt{\frac{1 - \frac{2M}{r}}{r^2}} \end{align}\)
der \(r \) er posisjonen til lyset og \(2M\) er eventhorisonten. Dersom vi plotter denne grafen får vi noe som ser slikt ut:
Denne kurven sier deg kanskje ikke så mye, så la meg prøve å tegne opp noe du muligens er kjent med: La oss tenke på en vogn som står på toppen av en bakke:
La oss tenke her nå at vi ikke har noe friksjon eller luftmotstand og at vognen står på toppen av bakken med en hastighet på null. Over alt på bakken kommer denne vognen til å ha en potensiell energi, eller potensiale. Dette er delen av energien vi fokuserer på, og tenker ikke på den kinetiske energien eller bevegelsesenergien som vognen har. På denne bakketoppen befinner vognen seg i en veldig ustabil posisjon: et bitte-lite dytt på hver side av vognen vil sende den av sted den ene eller andre veien. La oss først tenke at vognen får et utrolig lite dytt til høyre.
Dette sender vognen på en kurs der den når like høyt potensiale på andre siden, før den så faller ned igjen. Den når bare nesten opp til bakketoppen der den startet, før den faller ned igjen. Slik kommer den til å svinge frem og tilbake for alltid. Dette kan jo kanskje representere potensialet til en planet som går i ellipsebane rundt en stjerne (skjønner du hvorfor? tenk at r varierer mellom kort og lang, og at energien per masse varierer med denne r-en). La oss tenke at vognen får et lite dytt til høyre:
Dersom vi tenker at denne bakken forsvinner uendelig langt ned, kommer vognen nå til å seile vekk uendelig langt. Her ser vi da at et lite dytt på vognen til høyre kommer til å sende den helt ut av systemet og ut i det uendelige.
Dersom vi i stedet plasserer vognen nede i gropa med en hastighet på null, ser vi nå at vi plutselig må gi vognen potensial eller gjøre arbeid på vognen i form av å dytte den opp bakken for at den skal gjøre noe som helst. La oss tegne opp potensialet for lyset fra figur 1 med vognen:
Her ser vi at det plutselig dukker opp 3 muligheter:
- Vognen kommer seg ikke over bakketoppen, og forsvinner tilbake ut i evigheten der den kom fra
- Vognen har akkurat nok fart til at den stopper på bakketoppen, og forblir der (merk at der er den i ustabil posisjon)
- Vognen har stor nok fart til å komme over bakketoppen og forsvinner ned mot uendeligheten
Sannheten her er at lyset oppfører seg på samme måte i dette potensialet vognene vi har tegnet opp! Nå er potensialet i figur 1 plottet som en funksjon av avstanden radielt ut fra det sorte hullet (og gjelder derfor i alle retninger), og lokalt så måles lyshastigheten til å ha samme lysfart \(c\). Vi ser at dersom lyset ikke kommer helt inn til toppen av potensial-bakken, kommer lyset til å unnslippe det sorte hullet og fortsette videre ut i universet, slik som med vognen i det første tilfellet i forrige figur. Det siste tilfellet for vognen er det samme som at lyset kommer for nærme det sorte hullet, og ikke lenger kan unnslippe det sorte hullet og suges inn for all tid. Men det midterste tilfellet for vognen der den sitter fast på bakketoppen i den siste figuren er det mest interessante tilfellet: på en helt spesiell radius \(r\) ser vi at potensialet for lyset forblir det samme, som betyr at vi har lys som går i sirkelbane rundt det sorte hullet! (merk at vi har konstant r på konstant potensial, derav sirkelbane). Lyset går i en ekstremt ustabil bane rundt det sorte hullet, og kalles foton-sfæren eller photon sphere som er radiusen der lys blir tvunget til å gå i bane rundt det sorte hullet. Dette er en veldig ustabil bane, og på lik måte som figurene ovenfor vil den minste forstyrrelse sende lyset ut av banen sin og enten inn i det sorte hullet eller ut mot universet. Så mye som en liten kvanteeffekt i lyset kan altså faktisk slå lyset ut av banen sin.
Hva kan vi konkludere med?
Det vi kan si oss enige om her er at lys faktisk kan gå i bane rundt et sort hull, siden dette legemet er massivt nok. Vi plottet frem potensial-kurven, og oppdaget 3 mulige utfall for lys som reiser rundt et sort hull:
- Lyset kommer inn i tyngdefeltet til det sorte hullet og reiser ut igjen, litt som en komet som avbøyes av tyngdefeltet til en planet før den kastes ut igjen mot universet. Dette skjer om lyset ikke når opp til det kritiske potensialet.
- Lyset reiser for nære det sorte hullet, overkommer det kritiske potensialet og blir sugd inn i det sorte hullet uten mulighet til å noen gang kunne unnslippe. Det ville krevet at lyset reiser fortere enn lyshastighet, som ikke er mulig.
- Lyset treffer akkurat på den radien der den ligger på den ustabile potensial-bakketoppen (det kritiske potensialet), og går i en veldig ustabil sirkelbane rundt det sorte hullet. Et lite "dytt" til en av sidene på potensialet vil enten sende lyset ut i universet eller inn i det sorte hullet.
Igjen har vi bevist at fysikk er dødskult, men dere kjenner dere kanskje litt mett på sorte hull nå. Dermed tar vi en liten pause i innleggene om sorte hull og fortsetter med generell relativitet i litt mer praktiske formål her på jorda, ved å sjekke ut hvordan GPS funker i neste innlegg.