Hva med trykket da! Vi vet jo at trykket er nødt til å være konstant for at vi skal kunne gjøre mange av antakelsene som vi gjør. Da sjekker vi om trykket er konstant i hele boksen til enhver tid ved å bruke trykk-integralet:
\(P_i = \frac{F}{A} = \frac{2m_Hv_i}{\Delta t A}\), hvor \(i = x,y,z\).
Vi kan fra dette finne det midlere trykket på boksen med formelen som står under.
\(P = (P_x + P_y + P_z) / 3\)
Selv om partiklene forlater boksen vil de utøve et trykk i taket på boksen. På samme måte som alle partiklene som faktisk treffer boksen. Vi kan derfor, når vi regner ut trykket numerisk, ignorere at det er et hull der! Du husker jo selvfølgelig den analytiske formelen som vi skal sammenligne med som:
\(P = \frac{N}{V}kT\), hvor N er antall partikler, V er volumet, k er Boltzmann konstant og T er temperatur i boksen.
Måten vi summerte trykket på var å sjekke alle partiklene som traff hver vegg, hvert eneste tidssteg. I korte trekk betyr det at vi summerte alt trykket på veggene\(P_{x, 1} + P_{x, 2} = P_x\) , \(P_{y, 1} + P_{y, 2} = P_y\) og \(P_{z, 1} + P_{z, 2} = P_z\) som vist i figur 1.
Nå som boksen vår er stabil, vi har kontroll på partiklene og trykket er stabilt, kan vi se på akselerasjonen som motoren vil gi. Fra Newtons tredje lov kan vi finne akselerasjonen ved formel
\(F = ma \rightarrow a = \frac{F}{m}\), her er massen gitt som den totale massen til raketten.
Den totale massen vil være massen til satelitten vår pluss massen til drivstoffet vi skal ha med. Kraften vil være den totale kraften til alle boksene vi kommer til å bruke for raketten vår. Etterhvert vil vi også se på gravitasjonen, denne kan implementeres ved å trekke gravitasjonskraften fra akselerasjonen. Gravitasjonskraften til planeten vil være gitt ved formel
\(g = \frac{GM}{R^2}\), hvor G er gravitasjonskonstanten, M er massen til planeten og \(R = (r + h)\) hvor r er radiusen til planeten og h er høyden til raketten.
Vi trenger også å vite unnslippningshastigheten til planeten vår for å kunne vite hvor fort vi faktisk må reise for å slippe unna hjem planeten vår. Formelen for det er
\(v_{esc} = \sqrt \frac{2GM_{planet}}{r_{planet}}\), hvor G er gravitasjonskonstanten, \(M_{planet}\) er massen til planeten og \(r_{planet}\) er radien til planeten.
Denne formelen kommer fra bevaring av energi, hvor vi ser på tilfelle hvor kinetisk og potensiell energi er lik 0. Deretter ser vi på hvilken hastighet vi trenger for at dette skal bli oppfylt, det vi kalle unnslippningshastighet.
Raketten må jo også bevege seg i tid, på samme måte som partiklene gjør. For å få til det bruker vi Euler-Cromer igjen, men for både akselerasjon, hastighet og posisjon mtp høyden til raketten. Formelen for hastighet og posisjon er vel enkel å de for seg allerede, men når vi skal se på akselerasjonen må vi huske på gravitasjonen også! Den virker i motsatt retning av raketten vår og får formelen
\(a = \frac{F}{M} - g\), hvor M er den totale massen til raketten.
Fartøyet vårt har også en initialhastighet proporsjonal til retningen den skal. Klarer du å se hvorfor? Planeten roterer jo om sin egen akse! Det vil si at vi er nødt til å finne vinkelhastigheten til planeten ved å bruke formel
\(\omega_{omløp} = \frac{2\pi r^2}{T}\), hvor teller er formelen for omkretsen til planeten og T er perioden til planeten.
Vår planet har en periode på \(T = 88261\) [s], på jorda deres ligger en periode på rundt\(T_{jorda} = 86400\) [s]. Selv om planeten vår er mindre så bruker den nesten like lang tid på en runde! Spørsmål til deg, roterer planeten vår saktere eller fortere enn jorda?