Vi er nå klare til å finne ut hvordan Askeladden planla reisen til Åtvekdal. Han startet med å se på bevegelsene til Tvønnoing og Åtvekdal. Askeladden prøvde seg først fram for å finne ut ca. når Åtvekdal og Tvønnoing var på linje. For å få til det så endret han periodetiden til planetene litt og litt for å finne når de er på linje. Han plottet planetenes posisjoner for tidspunktene 1.1, 1.2, 1.3 og 1.4 tår. HUSK: Båten til Askeladden ble skutt opp etter \(t_0 = 1\text{ tår}\). Den har dermed samme radiell hastighet som Tvønnoing og det er derfor vi ser på når Tvønnoing passerer Åtvekdal.
Askeladden analyserer da figur 1 og 2 først. Han trekker en strek ut fra sentrum (0,0) og gjennom Tvønnoing. Han trekker enda en strek fra sentrum og gjennom Åtvekdal. Tvønnoing er på linje med Åtvekdal når disse to strekene ligger oppå hverandre. Streken til Tvønnoing passerer ikke Åtvekdalstreken i hverken figur 1 eller figur 2, men såvidt på figur 3 og garantert på figur 4. Det betyr at båten vil være klar for å gjøre injeksjonsmanøver rett før det har gått 0.3 tår.
|
|
|---|---|
|
|
Det første som skal skje etter oppskytningen er å peke motoren mot stjernen i Pjokknes og øke "radiusen" til omløpssirkelen til båten. Dette er en veldig merkelig setning, men om man ser på figur 5 under så kan man se en animasjon av hvordan en vanlig oppskytning fra jorda til Mars kan se ut. Her ser du at den striplete linjen, som er reisen til romsonden, danner en sirkel. Denne sirkelen er en utvidelse av perioden til jorda. Dette utvidelsen kommer Askeladden til å gjøre ganske rett etter oppskytning, ved \(t_1 = 1.0005\text{ tår} = 7\text{ timer}\). Da skal motoren peke inn mot stjernen i Pjokknes og øke den radielle hastighetsvektoren utover. Simuleringen til Askeladden var ikke god nok, så han vet ikke hvor lenge denne økningen skal vare.
De neste handlingene vil være korreksjonsmanøvre for å holde båten på den kursen som er simulert. Koden til Askeladden fungerte ikke slik som den skal, så hvilke korreksjonsmanøvre som trengs vet han ikke.
Askeladden er nødt til å sjekke avstanden til Åtvekdal ved enhver tid for å se at den ikke øker. Om den øker, beveger båten seg i feil retning. Når båten er nærme nok Åtvekdal må båten gjøre en boost for å komme i bane rundt Åtvekdal. Denne boosten kaller vi "injeksjonsmanøver". Den kan ikke gjøres før båten er innenfor tyngdefeltet til Åtvekdal, da finnes det en formel gitt under som tar hensyn til
\(l = |\vec{r}|\sqrt{\frac{M_P}{10M_S}}\) , her er \(M_p\) massen til Åtvekdal, \(M_S\) masse til stjernen og \(|\vec{r}|\) er avstanden fra stjernen.
Når avstanden \(l\) stemmer med båten sin radar så setter injeksjonsmanøveren inn. Denne manøveren tar hensyn til båten sin hastighet før planeten og hastigheten som trengs for å komme i en sirkulær bane. Formelen for denne injeksjonsmanøveren er dermed gitt under:
\((\Delta \vec{v})_{inj} = \vec{v}_{\pm} - \vec{v}_0\), her er \(v_{\pm}\)hastigheten som kreves for sirkulær bane og \(\vec{v}_0\) er hastigheten til båten påvei inn mot Åtvekdal.
Hastigheten som kreves for sirkulær bane er gitt som \(\vec{v}_\pm = \pm\vec{e}_\theta v_{stable}\), her er \(\vec{e}_\theta = (-\sin\theta, \cos\theta)\) tangensiell retning og \(\theta = 2\pi\) som er en sirkel. Hastigheten for å holde en stabil bane over Åtvekdal er gitt som formelen under:
\(v_{stable} = \sqrt{\frac{GM_p}{r}}\), her er \(M_p\) massen til Åtvekdal.
Da har Askeladden alt han trenger for å skyte båten inn i en sirkulær bane rundt Åtvekdal når den nærmer seg avstanden \(l \).
Metoden over for å komme til Åtvekdal kan være veldig dyr, med tanke på drivstoff. Det finnes andre metoder for å komme til Åtvekdal, ved å bruke planetene rundt. Askeladden har både Fjerenes og Eggre å sikte båten på. Men, hvorfor skal Askeladden sende båten mot de andre planetene? Om man ser på figur 6 så kan man se Voyager 1 sin bane ut mot solsystemet ditt. Voyager er markert med den lilla linjen. Askeladden kan se at den plutselig endrer retning rundt en planet og øker hastighet. Dette er måten å bruke planetenes tyngdekraft for å slynge romsonder uten å bruke mye drivstoff.
"Tuslingen! Begynn å sy romdraktene!"