Si meg, lukter lufta litt rart her?

Men ikke egentlig. "Hva skal vi med en slik analyse, Askeladden?" spørr Tuslingen angående atmosfære analysen. "Det er for å finne ut hvilket filter vi skal bruke for å kunne puste der og hvordan vi skal konstruere fallskjermen for satellitten vår!" svarte Askeladden med et muntert smil om munnen. Askeladden trenger nemlig å vite hva atmosfæren består av for å kunne lage slike innretninger.

Dette finner han ut ved å lage en modell av atmosfæren til Åtvekdal, mer spesifikt en tetthetsmodell av atmosfæren til Åtvekdal. Han antar at båten ikke har større hastighet enn \(10\text{ km/s}\) i forhold til planeten når han starter spektralmåleren om bord. Kanskje du har gjettet det allerede, men han trenger da å ta hensyn til dopplerskiftet i målingene. Dopplerskiftet vil ikke være synlig for så liten hastighet tenker du kanskje, men ikke glem at målingene er målt i nanometer (\(10^{-9}\)) som er veldig små tall! Dermed vil Dopplereffekten ha innvirkning på dataene. Formelen vi trenger er dermed gitt under:

\(\Delta\lambda = \frac{v_{max}}{c}\cdot \lambda_0\) [1], husk fra tidligere innlegg at formelen for bølgelengde er gitt som \(\lambda = \frac{v}{f}\rightarrow f = \frac{v}{\lambda}\) [2]. Dopplereffekten ser på endring i frekvens som kan skrives som \(\Delta f = \frac{\Delta v}{c}f_0\) [3], hvor \(v\) er endring i hastighet, \(c\) er lyshastigheten og \(f_0\) er en initial frekvens. Setter vi inn for frekvens [2] inn i doppler formelen [3] får vi formelen for endringen i bølgelengde ved en gitt hastighet.

Det neste Askeladden trenger er et sett med atmosfæriske molekyler som kan befinne seg i atmosfæren til Åtvekdal. Han plukker ut følgende molekyler: di-oksygen (\(O_2\)) ved bølgelengdene \(\lambda_{0, O_2} = 632, 690, 760\) [nm], vann (\(H_2O\)) ved \(\lambda_{0, H_2O} = 720, 820, 940\), karbondioksid (\(CO_2\)) ved \(\lambda_ {0, CO_2} = 1400, 1600\), karbonmonoksid (\(CO\)) ved \(\lambda_{0, CO} = 2340\), metan (\(CH_4\)) ved \(\lambda_{0, CH_4} = 1660, 2200\) og lystgass (\(N_2O\)) ved \(\lambda_{0, N_2O} = 2870\). Dette er de mest vanlige stoffene å finne i atmosfæren til en planet.

Men hvordan skal han se disse molekylene fra rommet da? Ved et kjent konsept som han allerede er kjent med, nemlig absorpsjonslinjer. Dette er mørke linjer på det elektromagnetiske spektrumet som viser til at et stoff har absorbert energien ved en bestemt bølgelengde. Disse linjene kan modelleres ved å bruke gaussisk fordeling og linje distribusjon som Askeladden allerede har introdusert.

En liten oppfriskning til dette vil være at fotoner som kommer i kontakt med et atom vil gi energi til atomet. Et elektron vil dyttes opp i energinivå, hvor den ikke hører hjemme. Den kjapper seg ned til den korrekte banen før noen ser det og atomet gir ut energi ved en gitt bølgelengde. Dette vil være gaussisk fordelt i en gass og Askeladden kan dermed tilnærme en gaussisk fordeling for å finne korrekte absropsjonslinjer.

Uttrykket Askeladden kan bruke for å modellere en slik gaussisk linje fordeling er gitt i formelen under:

\(F(\lambda) = 1 + (F_{min} - 1)\exp\left[-\frac{1}{2}(\lambda - \lambda_0 / \sigma)^2\right]\), hvor \(\sigma = \frac{\lambda_0}{c}\sqrt{\frac{kT}{m}}\) er standardavviket for hvert enkelt molekyl i modellen. \(F_{min}\) er den forventede bunnen på absorpsjonslinjen.

"Da er den ferdig!" sier Tuslingen. Askeladden skvetter ut av tankegangen sin og snur seg mot Tuslingen. "Hva da?" spørr Askeladden. "Atmosfisatoren vel! Den står å blinker med alle slags mulige tall og symboler" sier Tuslingen.

Atmosifisatoren viste nemlig fluks-data om bølgelengder mellom 600 [nm] og 3000 [nm]! Askeladden løper bort å plugger i datamaskinen for å laste ned dataene, men til hans forundring er det et ENORMT datasett. Han trenger dermed en måte å filtrere ut bølgelengdene han ikke trenger og hente dataene som omhandler kun de utvalgte bølgelengdene nevnt over. Atomifisatoren har normalisert fluksdataen slik at \(F = 1\) er den forventede fluksen uten noen absorpsjonslinjer. Det er nemlig dem han skal se  etter for å bestemme hvilke molekyler atmosfæren til Åtvekdal består av.

For å luke ut de falske absorpsjonslinjene kommer Askeladden til å bruke en metode kalt \(\chi^2\)-minimering (uttalt chi-kvadrat). Det er en statistisk metode for å velge bort store støyverdier i store datasett. Støy er i korte trekk tilfeldige utslag/endringer på dataverdier, ofte skapt av unøyaktige instrumenter eller forstyrrende elementer som vind og elektroner på avveie. Chi-kvadrat fjerner disse forstyrrelsene, leter etter de underliggende signalene i datasettet og finner de korrekte absorpsjonslinjene med litt hjelp fra oss ved å sammenligne mot den analytiske modellen vår fra linje profilen. Hovedsakelig kommer chi-kvadrat metoden til å bestå av formelen under:

\(\chi^2(\lambda_0, F_{i, min}, \lambda_i, \sigma_i, T_i, m_i) = \sum_{i = 1}^N\left[\frac{F_{data}(\lambda_i) - F_{model}(\lambda_i)}{\sigma_i}\right]^2\), hvor \(F_{data}\) er den aktuelle fluksdataen fra atmosfisatoren, \(F_{model}\) er den modellerte fluksen fra den gausisske linje profilen og \(\sigma_i\) er de registrerte støyverdiene fra komponentene i atmosfisatoren.

Du stusser kanskje på hvorfor i all verden man trenger alle de parameterene som skal inn i chi-kvadrat metoden. La oss da se på hva \(\chi^2\) egentlig kalkulerer. Det blir jo egentlig bare et dimensjonsløst tall, ikke sant? Legger vi dermed inn forskjellige parametere vil \(\chi^2\) bli et tall. Desto mindre \(\chi^2\) blir, desto større sannsynlighet er det for at de parametrene vi legger inn, stemmer med atmosfæren til Åtvekdal.

Første parameteren chi-kvadrat metoden trenger er initial bølgelengde og dem har han allerede definert over, så da sende han inn for hver enkelt molekyl der. Neste parameteren er \(F_{min}\) og det er bunnpunktet til absorpsjonslinjen. Det er forventet at den skal være \(F_{min} > 0.7\), hvis ikke kan den ikke regnes som en spektrallinje. Parameteren etter det er de forskjellige bølgelengdene det skal regnes ut for. Askeladden setter at de skal være mellom \(\lambda_i - \Delta\lambda < \lambda_i < \lambda_i + \Delta\lambda\) [nm] for å være innenfor rødforskyvet og blåforskyvet spektrum. Den neste parameteren er standardavviket for støyen i dataene (\(\sigma_i\)), de kommer fra atmosfisatoren. Nest siste parameter er temperaturen og er antatt å ligge mellom \(150 < T < 450\) [K], som er det laveste og høyeste kokepunktet av de gassene han leter etter.

Sist men ikke minst kommer molekylærmassen til hver enkelt molekyl. Askeladden kombinerer de forskjellige atomene \(O = 2.65\cdot 10^{-26}\) [kg], \(H = 1.67\cdot 10^{-27}\) [kg], \(C = 1.99\cdot 10^{-26}\) [kg] og \(N = 2.32\cdot 10^{-26}\) [kg] for å få molekylærmassen til de forskjellige gassene. Molekylærmassen kan man finne i tabellen under:

Med alle grensene til parametrene på plass kjørte Askeladden simuleringen sin og fikk følgende verdier ut av simulasjonen gitt i tabellen under:

Overflatetemperaturen til Åtvekdal som Askeladden simulerte ligger på 177 K, altså \(-96^\circ C\) som er ganske kaldt. Han antar at Åtvekdal har noe geologisk aktivitet, så overflatetemperaturen kan godt antas å ligge litt over 177 K. Han senker også kravet til \(F_{min}\) fra \(>0.7\) til \(>0.65\) på grunn av at ingen av \(F_{min}\) verdiene kombinert med temperaturene stemmer overens med overflatetemperaturen.

Askeladden har fargelagt tre stoffer i tabellen med grønt som stemmer overens med kravene til parametrene. Det er følgende stoffer: \(O_2\), \(CH_4\) og \(N_2O\). Grunnen til at disse kan være reelle absorpsjonslinjer, er at de først å fremst har samme dopplerskift som forventes med tanke på retningen til hastighetsvektoren til båten. Temperaturen til disse stoffer ligger rundt overflate temperaturen til Åtvekdal og \(F_{min}\) er også innenfor de grensene som Askeladden har satt. Det Askeladden biter seg merke i er at metan er en biogass, så det kan hende at de finner liv på Åtvekdal! Han regner ut molekylærmasse til atmosfæren til Åtvekdal i formelen under:

\(\mu = \frac{(0.33m_{O_2} + 0.33m_{CH_4} + 0.33m_{N_2O})}{m_p} = 30.08\), gjennomsnittlig molekylær vekt for atmosfæren til Åtvekdal, hvor \(m_p\) er massen til et proton/hydrogen.

Askeladden prøvde også å modellere disse absorpsjonslinjene og plotte de mot den dataen som kommer fra atmosfisatoren. Det gikk heller dårlig, da den analytiske modelleringsfunksjonen ikke fungerte som den skulle. I figur 1 kan man se dataen for det første tenkte molekylet i atmosfæren \((O_2)\). Askeladden plottet heller linjer for å representere verdiene som kom fra chi-kvadrat metoden. Den laveste vannrette røde linjen representerer den tilnærmede \(F_{min}\), den høyeste vannretter røde linjen er den normaliserte fluksen \(F_{cont}\) og den loddrette røde linjen representerer bølgelengden man forventer å se absorpsjonslinjen \(\lambda\).

Ved å studere figur 1 kan man se at de passede verdiene ikke stemmer helt med modellen. Dette kan være for at chi-kvadrat ikke har blitt implementert riktig nok, eller at modellen sammenligner feil verdier med feil data-sett. Vi kan derimot se at det er potensielle kurver i data sette på andre bølgelengder som kan være det vi har funnet.

I figur 2 kan vi se at igjen så ser det ut som at \(F_{min}\) verdien er korrekt, men bølgelengden er feil i forhold til dataene. Askeladden ser heller på data settet at \(F_{min}\) verdien som er funnet her, heller kunne passet bedre rundt \(\lambda_{CH_4} = -0.07\) fra den orginale \(\lambda_{0, CH_4} = 2200\) [nm].

Det siste molekylet (\(N_2O\)) er modellert i figur 3. Her Askeladden igjen se at bølgelengden er plassert på feil område, men for dette molekyler er også \(F_{min}\) på avveie. Man kan ikke se at den er så stor om man følger datasettet i bakgrunnen.

Her kan det hende at atmosfisatoren har oppdaget en svær sigma-feil og satt denne inn som chi-kvadrat metoden har tolket som den beste sigma-feilen. Askeladden har dermed også muligens en feil i hvordan chi-kvadrat implementerer sigma. Han ser dermed at det er mulig at denne \(F_{min}\) kan være mulig rundt \(\lambda_{N_2O} = -0.075\) [nm] i figur 3.

Askeladden ser at det er en konflikt mellom modellene og de utregnede verdiene, men med tanke på hastigheten til båten og forskyvningen fra den samt temperatur så er det de beste molekylene de har å gå på.

Askeladden tar fatt i blyanten igjen og raser videre med å finne ut hvordan tettheten og temperaturen forplanter seg i denne atmosfæren til Åtvekdal.