"Nå kan vi vel slippe ned satellitten?" spør Tuslingen. "Jo, om du har lyst til å se en stk dyr teknologi hyle og brenne opp til en god klomp" svarer Askeladden. "Nei, jeg vil jo at den skal lande trygt" fnyser Tuslingen med et bittert ansiktsuttrykk. "Jamen daså! Vi trenger nemlig noen figurer som forteller oss om hvordan temperaturen og tettheten oppfører seg oppover i atmosfæren" utdyper Askeladden. Tuslingen prøver å følge med, men detter rett på rumpa av forklaringen til Askeladden.
Askeladden begynner med å anta at atmosfæren til Åtvekdal er uniform. Uniform er et ord han bruker mye, det betyr simpelthen "likhet". Ta et sjakkbrett for eksempel, størrelsen på alle rutene er uniform, altså like store. Flytter du brikken din øverst til venstre vil det feltet være like stort som et felt på midten. Samme tankegang bruker Askeladden når han ser på atmosfæren til Åtvekdal. En bit av atmosfæren her har like mye metan som en bit av atmosfæren der.
Han antar også at atmosfæren er sfærisk symmetrisk, altså avstanden fra sentrum av planeten til nordpolen er like langt som fra sentrum og til ekvator, vist i figur 1. Det betyr at tettheten til atmosfæren kan beskrives i form av radius \(\rho = \rho(r)\). Askeladden observerer også at atmosfæren ikke forlater planeten. Han antar dermed også at den er i hydrostatisk likevekt, som du kanskje vet betyr at et medium er i ro. For atmosfæren betyr det at gravitasjonskraften som virker på den og trykket i selve atmosfæren har samme størrelse. Askeladden tegner vektorene til trykket som lilla piler og vektorene til gravitasjonskraften som rød piler i figur 1. Den lyseblå atmosfæren rundt den helblå planeten er ikke skalert, atmosfæren er mye mindre enn planeten sin radius.
Askeladden tenker videre på hvordan atomene i atmosfæren oppfører seg. "De kolliderer nok en hel del med hverdandre." mumler han til seg selv før han snur helt om og bestemmer seg for at hele atmosfæren er en ideell gass. Ideell gass, som han har snakket om tidligere, er en gass hvor partiklene ikke reagerer med hverandre. De hverken frastøter hverandre eller kolliderer uelastisk. Det er jo ganske ulogisk å anta at partiklene ikke kolliderer med hverandre, men for simuleringen sin del gjør det ting mye enklere!
Åtvekdal har en overflatetemperatur på \(T_0 = 177\) [K] og Askeladden antar at atmosfæren er adiabatisk opp til der temperaturen faller under \(T_0 / 2\) [K]. Fra dette punktet setter han at atmosfæren er isoterm. Adiabatisk betyr nemlig at ingen energi eller masse forlater atmosfæren til verdensrommet og isoterm betyr at temperaturen er den samme. For atmosfæren vil det bety at temperaturen ved en gitt radius er den samme rundt hele planeten.
En adiabatisk prosess kommer med et sett med lover og regler. Den har for eksempel en konstant kalt adiabatisk konstant, som forteller om forholdet mellom energien ved konstant volum og konstant trykk i gassen. For atmosfæren på Åtvekdal som kan regnes som en di-atomisk gass er konstanten gitt som \(\gamma = 1.4\). Askeladden går ikke veldig inn i utledningen til adiabatiske uttrykk, men han bruker forholdet mellom trykk og temperatur som kan skrives som formelen under:
\(P(r)^{1-\gamma}T(r)^\gamma = \text{konstant}\), den sier at produktet mellom trykk og temperatur oppover i atmosfæren er konstant ved forskjellige radiuser.
Med antakelsene til Askeladden kan man si at atmosfæren til Åtvekdal er i hydrostatisk likevekt kan han skrive formelen under. Den oppstår ved å se på de forskjellige kreftene som virker på en liten bit av mediet og hvordan trykket fra oversiden og undersiden av den biten endrer seg.
\(\frac{dP(r)}{dr} = -\rho(r)g(r)\), hvor \(\rho(r)\) er tetthethen til atmosfæren ved en gitt radius, \(P(r)\) er trykket til atmosfæren ved en gitt radius og \(g(r)\) er gravitasjonsfeltet til planeten Åtvekdal over en gitt radius.
Askeladden antar videre at avstanden fra overflaten på Åtvekdal og til slutten av atmosfæren kommer til å være veldig mye mindre enn radiusen til planeten. Han skriver dermed at gjennom hele atmosfæren så er gravitasjonen konstant \(g(r) = g\). Han har også sagt at hele atmosfæren kan sees på som en ideell gass. Dermed løser han den for trykk og finner formelen under:
\(P(r) = \frac{\rho(r)k_B T(r)}{\mu m_H}\), hvor \(\rho(r)\) er tetthet avhengig av radius, \(k_B\) er boltzmanns konstant, \(T(r)\) er temperatur avhengig av radius, \(\mu\) er gjennomsnittlig molekylær masse og \(m_H\) er massen til et hydrogenatom.
Du kan kanskje allerede se hvordan de tre formlene over kan moses sammen til en god formelstappe. Han vet temperaturen på overflaten til Åtvekdal \(T(r_0 = 0) = T_0\) og kan finne tettheten ved overflaten (\(\rho_0 = \rho(r_{0} = 0)\)). Han antar at temperaturen kommer til å synke oppover i atmosfæren, fordi tettheten kommer mest sannsynlig til å synke. Tettheten kommer til å synke, fordi jo høyere du kommer i atmosfæren jo mindre vekt av partikler er det som dytter på atmosfæren og trykket faller. Du må huske at det Askeladden er ute etter er en modell for tetthet og temperatur avhengig av radius. Askeladden finner først et uttrykk for temperatur og tetthet ved isoterm atmosfære i formlene under:
\(T(r) = konstant = T_0/2\), temperaturen vil være konstant i en isoterm atmosfære og Askeladden har allerede sagt at atmosfæren til Åtvekdal er det når temperaturen er \(T_0/2\), altså over den adiabatiske atmosfæren.
\(\rho(h) = \rho_0 + \exp(-\frac{\mu m_Hg}{k_B T_0} (h - h_b))\), hvor \(h_b\) er grensen hvor atmosfæren går fra adiabatisk til isoterm atmosfære. Utledning av denne ligger selvfølgelig i journalen til Askeladden.
Neste på listen er å finne temperatur og tetthet i en adiabatisk atmosfære. Askeladden kommer fram til uttrykkene under:
\(T(h) = T_0 - \frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{\mu m_H g}{k_B}(h - h_å)\), her må man ikke forvirre \(h_å\) med \(h_b\) fra isotermisk atmosfære. \(h_å\) er nemlig høyden ved overflaten til Åtvekdal, så om man tenker radius så blir (\(h_å = r_0 = r_å = 3779\) [km]).
\(\rho(h) = \left(\rho_0^{\gamma - 1} - \frac{\gamma - 1}{\gamma}\frac{\mu m_H g}{k_B T_0}(h - h_å)\right)^{\frac{1}{1 - \gamma}}\), hvor \(\rho_0 = 1.147\) [\(kg/m^3\)] er tettheten ved overflaten til Åtvekdal som er kjent fra atmosfisatoren, \(h_å\) er igjen høyden ved overflaten og \(\gamma\) er den adiabatiske konstanten.
Askeladden modellerer først den adiabatiske temperaturen i figur 2. Han legger inn en prikkete rød linje for å merke hvor atmosfæren går fra å være adiabatisk til å bli isoterm (\(T_0 / 2 = 88.5\) [K]).
Den blå linjen i figuren viser hvordan temperaturen oppfører seg oppover i atmosfæren, her er 0 ved overflaten til Åtvekdal. Temperaturen synker gradvis mot isotermgrensen, som Askeladden forventet tidligere.
Det neste som er interessant er den adiabatiske tettheten til atmosfæren. Siden temperatur er avhengig av tetthet, forventer Askeladden at den også kommer til å synke. Han plotter den adiabatiske tettheten i figur 3. Her markerer den røde linjen hvor tettheten er lik 0, altså der det ikke forventes å se noe partikler.
Tettheten synker med en eksponentiell form, som forventet. Sammenligner vi den adiabatiske tettheten med den adiabatiske temperaturen så ser det ut til at de to krysser grensene sine ved samme høyde.
Ved å se på de adiabatiske modellene setter Askeladden grensen mellom isoterm og adiabatisk atmosfære ved \(h_b = 14\) [km]. Bruker Askeladden nå formlene for isoterm atmosfære får han figur 4 og figur 5. I figur 4 kan man se at temperaturen holder seg konstant fra \(h_b\) og oppover. Her ligger den blå modellen for temperatur rett over grensen for isoterm atmosfære som forventet.
Ser man videre på figur 5 så har man en litt mer interessant observasjon. Her har først Askeladden gjort en feil. Han har modellert en isoterm atmosfære fra den samme tettheten som er ved overflaten. Her skal det være tettheten ved grensen mellom adiabatisk og isoterm atmosfære. Askeladden har derimot plottet formen på isoterm atmosfære. Han kan se at tettheten avtar mye saktere i isoterm atmosfære enn ved adiabatisk atmosfære. Dette gir mye mening om man husker på forholdet mellom de to tilstandene til atmosfæren.
Askeladden synes det var fryktelig merkelig at tettheten til atmosfæren til Åtvekdal forsvinner ved en høyde på \(14\) [km]. Dette kan komme av feil i Askeladdens implementering av formlene i datamaskinen av treverk. Tenker man på jorda's atmosfære så ligger 99% av den totale massen til atmosfæren innenfor 30 [km]. Tar man dermed hensyn til at gravitasjonskraften på Åtvekdal er 66% av jordas, så høres ikke \(14\) [km] så veldig unøyaktig ut allikevel.
"Jeg vet hvor atmosfæren begynner!" sier Askeladden spankulerende mot Tuslingen. "Da er det bare å sende oss ned rett over den da!" sa Tuslingen spent. Og ned dro de!
KILDER
[1] Atmosfæren til jorda: https://apollo.nvu.vsc.edu/classes/met130/notes/chapter1/thin_env.html