Det er noko vi ikkje har sagt så langt i desse hjernenedbrytande tankeeksperimenta våre. Når det er prat om to referansesystem \((x, y)\) og \((x', y')\), vert det umerka referansesystemet som oftast kalla laboratoriesystemet.
Vi har eit nøytron. Nøytron er finurlege partiklar. Dei har ei gjennomsnittleg levetid på 12 minutt før dei går i oppløysing og blir til eit proton, eit elektron og eit nøytrino (nøytron \(\neq\) nøytrino). Nøytronet bevegar seg langs x-aksa i laboratoriesystemet vårt, går i oppløysing på eit augeblink, og protonet og elektronet fortset i same retning.
"Men kva med det stakkars nøytrinoet da?", seier ein gråtande Askeladden.
Nei, det ser vi bort ifrå! Tek vi hensyn til nøytrinoet blir dette alt for vanskeleg for vesle Askeladden. Anta inga nøytrino!
Målet vårt no er å prøve og berekne hastigheita til protonet og elektronet i laboratoriesystemet etter oppløysinga av nøtronet, noko vi skal gjere i systemet til partiklane som er \((x', y')\) der nøytronet er i origo.
Askeladden ser fortusta opp frå spikkinga si.
"Vent, kva?"
Du høyrde rett. Vi skal ut frå \((x', y')\)-systemet berekne hastigheitane til partiklane i \((x, y)\). La oss setja i gang!
Korleis skal vi kome fram til denne hastigheita, spør du? Vi skal gå vegen om momentenergi! Eller momenergy som dei kallar det på engelsk. Men kva er det? Det kjem frå rørslemengd og energi. Det viser seg nemleg det i relativitetsteorien at rørslemengd og energi er same greia. Rørslemengd vert òg kalla moment, derav momentenergi.
Fyrst må vi ha nokre formlar for å rekne ut momentenergien til elektronet og protonet. Har du høyrt om firervektorar? Tenkte nok ikkje det.
I ein tredimensjonal vektor har vi tre komponentar å hanskast med, t.d. \((x, y, z)\), oftast kalla for eit rom. Slike vektorar håpar vi inderleg at dykk kjenner godt. Dersom ikkje bør dykk kanskje vurdere å ta opp nokre fag til neste år.
La oss no leggje til ein komponent til! Og kva kallar vi den?
"Komponent æ!" utbryt Askeladden.
Gå og legg deg Askeladden. Det er tida vi legg til!
Sjå på det på denne måten: I tre dimensjonar har vi \(3D = (x_1, x_2, x_3) = (x, y, z)\), medan i fire dimensjonar har vi \(4D = (x_0, x_1, x_2, x_3) = (t, x, y, z)\) som gjev oss tidrommet, eller spacetime som dykk sikkert har høyrt om på film. Dersom vi innførar litt indeksnotasjon, får vi \(4D = x_{\mu}\) der \(\mu \in [0, 3]\).
Vi veit allereie at rørslemengd vert skriven som \(\vec{p} = m\vec{v}\), men dette er for laboratoriesystemet. Så kva må vi gjere da? Riktig! Lorentztransformasjon! Men vi kan ikkje bruke same transformasjon som vi brukte under tvillingparadokset. Her må vi bruke ein transformasjon som er tilpassa rørslemengd.
I tidrommet har vi at hastigheita er gjeve ved \(V_{\mu} = \gamma(1, \vec{v}) = (\gamma, \gamma v_x, \gamma v_y, \gamma v_z)\). Multipliserar vi denne med masse, får vi rørslemengd: \(P_{\mu} = m(\gamma, \gamma \vec{v}) = (\gamma m, \gamma m \vec{v}) = \gamma(m, \vec{p})\). Her er altså tidskomponenten \(\gamma m\) som er energi, og romkomponenten er den vanlege rørslemengda vi lærte om når vi var yngre.
For elektronet og protonet i eksperimentet vårt kan vi nå uttrykke rørslemengda i \((x', y')\)-systemet:
\(P'_{\mu}(e) = (\gamma'_em_e, \gamma'_em_e\vec{v}'_e) = \gamma'_e(m_e, m_e\vec{v}'_e) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v'_e)^2}} (m_e, m_e\vec{v}'_e) \\ P'_{\mu}(p) = (\gamma'_pm_p, \gamma'_pm_p\vec{v}'_p) = \gamma'_p(m_p, m_p\vec{v}'_p) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v'_p)^2}} (m_p, m_p\vec{v}'_p)\)
Og kva så med nøytronet? Sidan nøytronet er i origo har vi at hastigheita til nøytronet i dette systemet er null, \(v'_n = 0\). Tek vi dette med i Lorentzfaktoren får vi \(\gamma'_n = \frac{1}{\sqrt{1 - 0^2}} = 1\), medan romkomponenten, altså rørslemengda \(\vec{p}\), blir null. Dette gjev oss \(P'_{\mu}(n) = \gamma'_n(m_n, \vec{p}_n) = (m_n, 0)\).
Her skulle vi gjerne vist meir, men det vart det diverre ikkje tid til.