Vi begynner forenklingene våre ved å dele gass-skya opp i skall: hvis skya er kulesymmetrisk, og den trekker seg sammen, så er det vel naturlig å tenkte seg at tettheten i skya er størst innover mot sentrum og tynnere utover? Hvis vi antar dette, så vil tettheten til gassen stort sett kun avhenge av avstanden til sentrum av gass-skya og ikke nøyaktig hvor man befinner seg i gass-skya. Dermed kan vi forsvare at gass-skya blir delt opp i skall: all gassen i det gitte skallet vil ha omtrent samme tetthet. Men kan du se hvordan dette hjelper oss? Er det noen beregninger som blir enklere? Tenk etter før du leser videre...
...akkurat som du tenkte: du har helt rett, 'friksjonskrafta' som virker på gasspartiklene avhenger av tettheten til gassen. Dermed trenger vi en eller annen måte å regne tettheten i gassen på et gitt punkt. Kan du huske hva definisjon av tetthet er? Stemmer, det er total vekt av gassen i et gitt område, delt på volum. Vi trenger altså å summere opp den totale massen av partikler over et gitt område, og dele på volumet av dette området. Men for å kunne beregne tettheten nøyaktig, trenger vi mange partikler, altså et relativt stort område. Men hvis området er stort, så vil tettheten kanskje ikke være den samme over hele område? Det er her skallene kommer inn: som nevnt over, med kulesymmetri, så vil all gassen i et gitt skall ha omtrent samme tetthet. Da bruker vi et skall som 'området' der vi beregner tettheten: vi summer opp massen til alle partiklene inne i et skall og deler på volumet av skallet. Da har vi funnet den midlere tettheten til hele dette skallet og kan derme beregne friksjonskrafta som virker på alle partiklene i skallet. Dette er illustert i denne figuren:
her viser de røde sirklene skillet mellom skallene, og de svarte punktene er gasspartiklene våre. Vi skal se etterhvert at friksjonskreftene er helt avgjørende her: uten disse får du ikke dannet noen stjerne.
Hva så med gravitasjonskreftene? Vi husker Newtons gravitasjonslov:
\(\large F = G\frac{mM}{r^2}\)
der G er gravitasjonskonstanten, m og M er massen til de to legemene og r er avstanden mellom legemene. I denne figuren:
så fokuserer vi nå på alle partiklene inne i det 'hvite skallet', altså skallet mellom den grå kula i midten, og det grå skallet på utsiden. Ser du skallet vårt? Nå kan man vise at gravitasjonskreftene fra et kuleskall av materie i sum er null inne i kuleskallet! Hvordan kan det ha seg? Tenk deg at du er inne i et kuleskall, men nærmere skallet på den ene siden. Da vil gravitasjonskreftene fra den delen av skallet som er nær deg være sterkere. Partiklene i den delen av skallet som er på motsatt side er svakere siden de er lenger vekk (r er større). Men det totale antall partikler på den andre siden er større. Man kan vise at disse akkurat nøyaktig veier opp og gjør at uansett hvor du er inne i kuleskallet så blir summen av gravitasjonskreftene fra skallet lik null. Dermed trenger vi ikke å tenke på å regne gravitasjonskrefter fra alle partiklene som ligger i skallene på utsiden av skallet vårt.
Hva så med alle partiklene som ligger i den gråfargende kula på innsiden av skallet vårt: Dette er jo akkurat som om vi har en stjerne eller planet som er på innsiden, og partiklene i skallet vårt vil falle nedover mot dette kuleformede legemet. Da kan vi bruke Newtons gravitasjonslov akkurat som vi gjør på jorda, hvor M er den totale massen til jorda (i dette tilfellet, den totale massen til partiklene inne i den grå kula), m er massen til partikkelen vår. Vi trenger dermed kun å summe opp massen til alle partiklene inne i kula på innsiden, vi trenger ikke å regne gravitasjonskraften fra hver enkelt partikkel inne i kula. Dette gjør at datamaskinen trenger å gjøre mange færre beregninger. Størrelsen på gravitasjonskrafta fra kula på innsiden vil da være den samme på alle partiklene inne i skallet vårt, siden alle er i omtrent samme avstand fra sentrum av kula.
Hvs så med gravitasjonskrafta fra alle de andre partiklene inne i det hvite skallet? Disse ser vi bort ifra: hvis skallet er tynt, så er det utrolig mange flere partikler i den grå kula innenfor skallet, enn i selve skallet. Dermed blir gravitasjon fra de andre partilene i skallet vårt forsvinnende liten i forhold.
Denne modellen har en begrensning i sentrum, kan du se hva?
Det aller innerste skallet er jo egentlig en kule. Og siden vi ikke ser på gravitasjonskrefter mellom partikler i det samme skallet, så får vi altså ingen gravitasjonskrefter i det hele tatt inne i kula i sentrum. I sentrum blir altså simuleringa vår feil. Hvis sammentrekningen til skya ikke har stoppet opp når alle partiklene er i sentrum, så trenger vi å dele opp skya på nytt i nye og mindre skall.
Da har vi alt klart til å gjøre simuleringen vår. Figuren under illustrerer beregningen vi må gjøre på hver partikkel i simuleringa:
Først har vi gravitasjonen fra kula innenfor som virker i retning inn mot sentrum av kula (markert med kryss). Deretter har vi friksjonen som avhenger av tettheten i skallet som partikkelen befinner seg i og som virker i motsatt retning av hastigheten til partikkelen. Da kan vi gå tilbake til bloggpost 1 for å se hvordan vi nå gjør beregningen: For hver partikkel beregner vi (vektor)summen av de to kreftene, dette gir oss akselrasjonen (fra Newtons 2.lov), akselrasjonen gir oss hastighetsendringen og hastighetsendringen gir oss forflytningen til partikkelen i løpet av det tidsrommet som vi ser på.
Men tidsrommet delta-t ja, hvor stort skal det være?? Stjernedannelseprosessen tar typisk fra flere hundre tusen år til millioner av år. Hvis vi skal gjøre dette overkommelig på en liten datamaskin så må vi begrense oss til å gjøre alle beregningene av krefter, akselrasjon etc. for alle partiklene maks ca. 100.000 ganger. Da må tidssteget vårt bli ca. 1 million delt på 100.000 som betyr et tidssteg hvert tiende år! Men i løpet av et år vil partiklene bevege seg over svært lange avstander, dette virker til å bli svært unøyaktig. Vi bestemmer oss dermed for å begynne simuleringa vår for en langt kortere tidsperiode for å se hvordan det går. Vi forsøker oss med 1 milliontedels år (ca. et halvt minutt) til å begynne med. Dvs. for hvert halve minutt (mye raskere på datamaskinen selvfølgelig) så beregner vi krefter, akselrasjon og dermed forflytning for hver av partiklene i gassen.
Og hvor mange partikler vil vi bruke? For å få beregningen til å gå i løpet av en times tid, så kan vi ikke ha flere enn 500 partikler!!! Vi har altså redusert \(10^{57}\) molekyler til 500 partikler for å kunne få dette til! Dette høres ut som en grov overforenkling. Kan vi virkelig få dannet en stjerne med dette? I neste bloggpost skal vi se på den faktiske datasimuleringen vår...