Her vil du finne korte oversikter over hva som er blitt gjennomgått på forelesning. Rapportene er hovedsakelig ment som en hjelp til dem som ikke har kunnet være til stede på en forelesning. Forelesningsplan for hele semesteret finner du her .
Mandag 21/8:
Første time brukte jeg til å snakke litt om kurset og gi noen tips om studieteknikk. Jeg anbefalte spesielt "Idehefte om læringsstrategier i realfag" som mange av dere har fått (hvis du ikke har fått det, kan du laste det ned her ), men det kan også være lurt å se på lenken Råd om å studere MAT 1100 på kursets hjemmeside. Innledningen til Kalkulus "Å studere matematikk" kan det også vært lurt å kikke på - i tillegg til generelle råd, inneholder den en del stoff som kan gjøre det lettere å lese matematikk.
Etter pausen begynte jeg på seksjon 3.1 der jeg rakk å vise hvordan man adderer, subtraherer og multipliserer komplekse tall. Neste gang starter jeg på divisjon (fortsatt i sekajon 3.1).
Onsdag 23/8:
Jeg fortsatte gjennomgangen av komplekse tall ved å snakke om divisjon og konjugering. Deretter begynte jeg på den geometriske tolkningen av komplekse tall i seksjon 3.2. Etter å ha forklart hvordan komplekse tall kan betraktes som punkter/vektorer i planet, påviste jeg at addisjon og subtraksjon av komplekse tall er det samme som addisjon og subtraksjon av vektorer, og jeg viste at konjugasjon svarer til speiling om x-aksen. Deretter så vi på polarkoordinater, og jeg regnet et par eksempler av samme type som 3.2.1 og 3.2.2. Til slutt utledet jeg den geometriske tolkningen av kompleks multiplikasjon og regnet (det gikk litt vel fort!) et eksempel av samme type som 3.2.4. Jeg understreket at for å regne effektivt med komplekse tall, trenger man gode ferdigheter i trigonometrien fra videregående skole --- spesielt er det viktig å kunne finne vinkler (i alle kvadranter) når sinus eller cosinus er kjent. Vi får mye bruk for de eksakte verdiene til sinus og cosinus til 30, 45 og 60 grader.
På torsdag (husk det er forelesning i plenumsregningstiden!) avslutter jeg seksjon 3.2 og fortsetter med 3.3.
Torsdag 24/8:
Jeg fortsatte med den geometriske tolkningen av geometriske tall og snakket litt om divisjon, tallverditegn og trekantulikheten. Deretter begynte jeg på seksjon 3.3 Etter å ha definert den komplekse eksponentialfunksjonen, beviste jeg setning 3.3.4 og De Moivres formel, og gjennomgikk to eksempler av samme type som 3.2.6 og 3.2.8. Til slutt begynte jeg på seksjon 3.4 der jeg definerte n-te røtter og viste hvordan man kan finne kvadratrøttene til et komplekst tall.
Mandag 28/8:
I dag snakket jeg om seksjon 3.4. Jeg viste først hvordan man kan finne alle n-te røtter til komplekse tall (setning 3.4.2) og regnet deretter to eksempler (fjerderøttene til -4+4isqrt(3) og tredjerøtte til -8i). Deretter snakket jeg om komplekse annengradsligninger og fant løsningene til z^2-2z+(1+i)=0 som et eksempel. Til slutt snakket jeg litt om setning 3.4.8 som er spesielt viltig for dem som tar MAT-INF 1100. På onsdag fortsetter jeg med 3.5, og rekker kanskje å si noen ord om kompletthetsprinsippet i seksjon 2.3 (dette er egentlig pensum i MAT-INF 1100 og ikke i MAT 1100, men vi trenger å vite hva prinsippet er for å gjennomføre noen sentrale resonnementer).
Onsdag 30/8:
Jeg begynte med seksjon 3.5. Etter noen historiske betraktninger formulerte jeg algebraens fundamentalteorem og forklarte hvordan det kan tolkes til å si at enhver n-te grads ligning har nøyaktig n komplekse røtter når de telles med multiplisitet. Jeg viste deretter at de komplekse røttene til et reelt polynom kommer i konjugerte par, og brukte dette til å vise at ethvert reelt polynom kan faktoriseres i reelle første- og annengradsfaktorer (setning 3.5.6). Deretter forflyttet jeg meg til seksjon 2.3 der jeg forklarte kompletthetsprinsippet og ga et uformelt argument for at det er riktig (se side 94 i Kalkulus). På torsdag gjennomgår vi seksjon 1.5 om polynomdivisjon (med en liten snartur tilbake til algebraens fundamentalteorem). HUSK at dette foregår i rommene til plenumsregningen. På mandag begynner jeg på seksjon 4.3.
Torsdag 31/8:
I dag var det to parallelle forelesninger siden Sophus Lie var opptatt. Her kommer et referat fra hver forelesning:
Forelesning i Store fysiske auditorium (ved Inger Christin Borge): :Sa litt om tall(systemer), slik at vi hadde en analogi å referere til når vi tok for oss polynomer. Fin diskusjon om divisjon av tall (men kanskje ikke så supert eksempel? 123:6). Definerte polynomer (reelle og komplekse) og graden (som sier noe om størrelsen). Tok eksempel 4x^2+11x-3:x+2 grundig. Og også et 7. gradspolynom dividert med et 2. gradspolynom for å få inn teknikken. Ga et eksempel på hvordan dette kan brukes til å integrere rasjonale funksjoner.
2. time startet med oppsummering i form av Setning 1.5.2., og deretter gikk vi på løsning av likninger. Tok Eksempel 1.5.4 og beviste Setning 1.5.5 i detalj (bruker Setning 1.5.2). Nytt eksempel: løste likningen 2x^3-x^2-13x-6=0 ved å gjette på løsninger og polynomdividere. Svar: x=3,-2 og -1/2. Vi avsluttet med å hoppe til komplekse tall og tok Oppgave 3.5.5 (hvor vi bruker at for et reelt polynom opptrer komplekse røtter i konjugerte par, og deretter polynomdividerte for å finne faktoriseringene).
Forelesning i aud. 3, Kristine Bonnevies hus (ved Tom Lindstrøm): Viste først teknikken på eksemplet 2x^4+3x^3-x^2+5x-4 : x^2+2x-1, og skrev opp setning 1.5.2. Deretter brukte jeg polynomdivisjon til å regne ut integralet av (x^2+2x+3)/(x-2). Beviste deretter setning 1.5.5 og tok et kort eksempel før pause.
Etter pause regnet jeg først et eksempel der vi fant alle røttene til P(x)=x^3+2x^2-x-2. Vi observerte først at P(1)=0, så x=1 er en rot. Vi delte deretter P(x) på x-1 og fikk x^2+3x+2. Dette betyr at P(x)=(x-1)(x^2+3x+2). For å faktorisere x^2+3x+2, løste vi så ligningen x^2+3x+2=0, og fikk x=-1 og x=-2. Det betyr at P(x)=(x-1)(x+1)(x+2), så røttene til P(x) er 1, -1, -2. Til slutt så vi på et eksempel med komplekse tall (3.5.7 er et annet av samme type). Vi ønsket å faktorisere polynomet P(z)=z^3-2z^2+3z+4. Vi sjekket først ved innsetning at 1+2i er en rot. Siden polynomet er reelt, betyr det at 1-2i også er en rot. Ganger vi sammen (z-(1+2i)(z-(1-2i)) får vi z^2-2z+5. Deler vi P(z) på z^2-2z+5, får vi z+1. Dette gir den reelle faktoriseringen P(z)=(z+1)(z^2-2z+5) og den reelle faktoriseringen P(z)=(z+1)(z-(1+2i))(z-(1-2i)).
Mandag 4/9:
I dag brukte vi mesteparten av tiden på seksjon 4.3. Jeg definerte først hva en følge er (dette står helt foran i kapittel 4, før seksjon 4.3), og tok noen enkle eksempler. Deretter definerte jeg komvergens av følger (definisjon 4.3.1). Det kan være bryet verd å bruke litt tid på denne definisjonen selv om den sikkert er litt fremmedartet - den er et enkelt eksempel på en type definisjonen du kommer til å møte ofte i dette og andre kurs. Som et eksempel viste jeg hvordan man kan bruke definisjonen til å vise at (n^3+3n)/n^3 konvergerer mot 1. Deretter skrev jeg opp regnereglene 4.3.3 og viste hvordan de kan brukes gjennom et eksempel av samme type som 4.3.4. Jeg regnet også to eksempler med teknikken i eksempel 4.3.5; ett hvor svaret ble endelig og ett hvor det ble uendelig. Deretter fant jeg grenseverdien til sqrt(n^2+n) - n som et eksempel på knepet i eksempel 4.3.8 (svaret er 1/2). Etter å ha definert monotone og begrensede følger, beviste jeg teorem 4.3.9, som blir et nyttig verktøy for oss senere.
Helt til slutt begynte jeg så vidt på kapittel 5, og snakket litt generelt om funksjonsbegrepet (tilsvarende de første tre sidene i kap. 5 i boken). Neste gang begynner jeg med definisjon 5.1.1. Det er spesielt viktig at alle forsøker å lese gjennom stoffet på forhånd neste gang - ellers kan det bli vanskelig å henge med!
Seks stykker meldte seg til tillitsmannsordningen og ble mottatt med takk! Navn og e-postadresser blir lagt ut når mailadressen er sjekket.
Onsdag 6/9:
Vi begynte på seksjon 5.1. Etter litt innledende motivasjon definerte jeg kontinuitet som i definisjon 5.1.1 og regnet deretter to eksempler av samme type som 5.1.2 og 5.1.3. Jeg formulerte 5.1.5 og 5.1.7 uten bevis og gjennomgikk et eksempel av samme type som 5.1.6/5.1.8. Jeg understreket at når man bare blir spurt om å vise at en fumksjon er kontinuerlig, kan man selvfølgelig bruke alle resultater i boken, men hvis man blir bedt om å bruke definisjonen til å vise at noe er kontinuerlig, så må man til med epsilon og delta. Etter å ha formulert setning 5.1.10 og bevist første halvdel, avsluttet jeg seksjon 5.1 med definisjon 5.1.11. Helt til slutt formulerte jeg skjæringssetninge (5.2.1) og gjennomgikk beviset, men rakk dessverre ikke noen eksempler. De første eksemplene i denne seksjonen er imidlertid så enkle at dere bør kunne lese dem selv. Jeg skal ta et litt mer avansert eksempel (av samme type som 5.2.4) på mandag. Etter det fortsetter vi med seksjon 5.3 og 5.4.
Mandag 11/9:
Tung teoriøkt i dag (det blir lettere snart!) Jeg viste først et enkelt eksempel på hvordan skjæringssetningen kan brukes (viste at f(x)=e^x-3x har et nullpunkt mellom 0 og 1). Deretter beviste jeg korollar 5.2.2 og gjennomgikk oppgave 5.2.10 (dette er ganske likt eksempel 5.2.4). Resten av dagen brukte vi på seksjon 5.3. Jeg definerte først hva en begrenset funksjon er og beviste så setning 5.3.2. Deretter definerte jeg maksimums- og minimumspunkter, og beviste ekstremalverdisetningen. Underveis tok jeg med et eksempel beslektet med 5.3.6. Neste gang tat vi seksjon 5.4 og seksjon 6.1.
Jeg har fått noen spørsmål om man må huske bevisene til eksamen. Svaret på dette "nei" i den forstand at dere ikke vil bli "hørt" i beviser til eksamen - jeg vil f.eks. aldri be dere om å gjengi beviset for ekstremalverdisetningen. Det er allikevel lurt å forstå bevisene fordi de kan inneholde ideer og teknikker dere kan få bruk for på en eksamen eller til en oblig (men ikke bli altfor redd; dette vil nok bare skje i de oppgavene vi regner som spesielt vanskelig og som bare dukker opp i begrenset antall!)
Onsdag 13/9:
I dag gikk vi gjennom seksjon 5.4 og 6.1. Etter å definert grenseverdier skrev jeg opp regnereglene 5.4.3 og gikk gjennom noen eksempler. Deretter snakket jeg om ensidige grenser og gikk gjennom observasjon 5.4.7. Vi regnet et eksempel av samme type som 5.4.8. Deretter gikk vi over til seksjon 6.1 der jeg definerte den deriverte og viste hvordan man kan bruke definisjonen til å finne den deriverte til f(x)=x^3 i punktet 2. Jeg gikk raskt gjennom regnereglene 6.1.3, 6.1.4 og 6.1.5 (dette regner vi med at dere kan!), og utledet deretter formelen for logaritmisk derivasjon og tok et eksempel. Helt til slutt (i litt tidsnød) gjennomgikk jeg eksempel 6.1.8.
Mandag 18/9:
I dag gikk vi først gjennom seksjon 6.2. Jeg beviste middelverdisetningen og gikk gjennom korollar 6.2.4 og 6.2.5. Som et eksempel viste jeg at funksjonen f(x)=e^x-3x har nøyaktig ett nullpunkt på intervallet (0,1). Jeg viste også hvordan man kan bruke middelverdisetningen til å løse oppgave 6.2.11b). Vi gikk så over på seksjon 6.4. Jeg skrev først opp L'Hopitals regel (både for "0/0"- og "uendelig/uendelig"-uttrykk) og regnet en del eksempler av samme type som 6.3.3-6.3.11.
Onsdag 20/9:
Jeg gikk først gjennom Cauchys middelverdisetning og beviste deretter L'Hopitals regel for "0/0"-uttrykk. Gikk så gjennom et eksempel av samme type som 6.3.14. Begynte deretter på seksjon 6.4. Dette er i stor grad kjent stoff, men jeg gikk raskt gjennom de grunnleggende tingene så vi er enig om terminologi o.l. Brukte litt ekstra tid på konvekse og konkave funksjoner. Formulerte setning 6.4.7, men beviste den ikke. Så raskt på eksempel 6.4.8. Tok til slutt for meg funksjonen f(x)=x(x-1)^(1/3) og drøftet den (rakk ikke å finne hvor den er konveks og hvor den er konkav).
Seksjon 6.5 er selvstudium (men jeg vil gi oppgaver til gruppene). På mandag begynner jeg på kapittel 7.
Mandag 25/9:
I dag gjennomgikk jeg seksjon 7.1 og 7.2. Her er det ingen ny teori, bare eksempler. Jeg gjennomgikk tre eksempler i hver seksjon, alle av omtrent samme type og vanskelighetsgrad som i boken. Onsdag begynner jeg på
seksjon 7.4 og rekker kanskje litt av 7.6 (7.5 er selvstudium)
Onsdag 27/9:
Begynte på seksjon 7.4. Etter litt motivasjon definerte jeg injektive funksjoner og understreket at den enkleste måten å vise at en funksjon er injektiv på, som regel er er å vise at den er strengt monoton. Jeg definerte så omvendt funksjon, og diskuterte de to måtene for å fremstille en omvendte funksjon grafisk. Deretter gikk vi gjennom teorem 7.4.5 (uten bevis) og 7.4.6 (med bevis). Jeg regnet også et eksempel av samme type som 7.4.7. Til slutt begynte jeg på seksjon 7.6 (den korte 7.5 er til selvstudium) der jeg rakk å gjennomgå arcussinus (til og med setning 7.6.2) Som et eksempel regnet jeg ut den deriverte til f(x)=x arcsin(sqrt(x)). På mandag fortsetter jeg med 7.6 og begynner på kapittel 8. Vi er litt foran fremdriftsplanen.
Mandag 2/10:
Jeg minnet fort om definisjonen av arcsin, tegnet opp grafen, og laget en liten tabell av arcsin-verdier (arcsin til 0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1). Deretter regnet jeg ut grenseverdien av arcsin(x^2)/sin^2x når x går mot 0. Deretter gikk jeg raskt igjennom arccos; siden arccos x = pi/2-arcsin x er denne funksjonen "eegentlig" unødvendig, men den er grei å bruke i en del geometriske problemer. Jeg gikk så over til arctan; definerte funksjonen, tegnet opp grafen og utledet formelen for den deriverte. Jeg laget også en tabell av arctan-verdier (arctan til 0, sqrt(3)/3, 1, sqrt(3), pluss grenseverdiene av arctan når x går mot pluss og minus uendelig). Som et eksempel fant jeg asymptoten til f(x)=x arctan(x) når x går mot uendelig. Jeg regnet også (en variant av) oppgave 7.6.14.
Etter pause begynte jeg på seksjon 8.2. Etter litt motivasjon definert jeg øvre og nedre trappesummer, og deretter definerte øvre- og nedreintegraler. Til slutt definerte jeg integrerbar funksjon og integralet (definisjon 8.2.1) og skissert raskt en ikke-integrerbar funksjon som i eksempel 8.2.2. Neste gang avslutter jeg seksjon 8.2 og fortsetter på 8.3.
Onsdag 4/10:
I dag arbeidet vi med seksjon 8.3. Etter litt innledende motivasjon, gjennomgikk det uformelle argumentet for at derivasjon og integrasjon er omvendte regningsarter (side 373-374 i boken). Deretter skrev jeg opp setning 8.3.1 uten bevis, definerte antiderivert og beviste lemma 8.3.2. Deretter formulerte og beviste jeg analysens fundamentalteorem. Etter pause snakket jeg om korollar 8.3.4 og regnet et eksempel av samme type som 8.3.5 og et av samme type som 8.3.7. Anvendelser som i eksempel 8.3.6 skal vi snakke om senere - det er ikke nødvendig å jobbe med dem før underveiseksamen.
Til slutt snakket jeg litt om eksameen. Husk å undersøk hvor du skal sitte (se studentweb), og undersøk hvor rommet er på forhånd. Husk at det er ingen tillatte hjelpemidler (heller ikke kalkulator) på eksamen, men at formelarket vil bli delt ut med oppgavene. LYKKE TIL!
Mandag 16/10:
Begynte med seksjon 8.4 der jeg innførte det ubestemte integralet, gikk gjennom regnereglene på side 386 og 387, og beviste setning 8.4.5. Regnet også et eksempel av samme type som 8.4.6. Deretter gikk jeg løs på seksjon 8.5. Det viktigste her er å vite hva Riemann-summer og forstå hvordan de kan brukes til å sette opp integraler i praksis. Korollar
8.5.4 oppsummerer det du behøver å vite. Resten av dagen brukte jeg på seksjon 8.6. Jeg gikk gjennom arealberegninger samt volumer til omdreiningslegemer rundt x- og y-aksen. Jeg la spesielt vekt på å vise hvordan man bruker trappesummer og Riemann-summer til å komme frem til formlene. På onsdag snakker jeg om buelengde og begynner deretter på seksjon 9.1 (delvis integrasjon).
Onsdag 18/10:
Avsluttet kapittel 8 ved å utlede formelen for buelengde og anvende den på funksjonen f(x)= (e^x + e^(-x))/2. Resten av tiden snakket jeg om delvis integrasjon. Etter å ha utledet formelen regnet jeg eksempler av samme type som dem i boken. Prøvde å legge vekt på tenkemåten - hva ser man etter når man vil løse et integral ved delvis integrasjon. Avsluttet med å finne en rekursjonsformel for integralet til (ln x)^n.
Mandag 23/10:
Snakket først om substitusjon. Etter å ha utledet formelen i 9.2.3 regnet jeg en del eksempler, blant annet et med bestemte integraler. Begynte deretter på seksjon 9.3 om delbrøkoppspalting. Her regnet jeg først et eksempel for å illustrere hvordan vi kan bruke polynomdivisjon for å forenkle et integral, deretter regnet jeg et eksempel av samme type som 9.3.1. Jeg begynte deretter på det generelle oppsettet for delbrøkoppspalting (øverst på side 447), men det får vi ta i større detalj neste gang. Det blir mindre kaotisk når vi prøver det på et eksempel!
Onsdag 25/10:
Fortsatte arbeidet med delbrøkoppspalting. Gikk først gjennom et eksempel av samme type som 9.3.3 og deretter et av samme type som 9.3.4. Vi tok så for oss integraler av typen (Ax+B)/(x^2+ax+b) - først et eksempel av typen 9.3.5 og så to av typen 9.3.6. På mandag kommer jeg til å avslutte avsnittet om delbrøkoppspsltingen med en liten oppsummering før vi går løs på seksjon 9.5 (9.4 er ikke pensum). Integraler av typen (Ax+B)/(x^2+ax+b)^m der m er større enn 1 er ikke aktuelle til eksamen (men det er greit å vite at en løsningsmetode finnes).
Mandag 30/10:
Gikk systematisk gjennom alle skrittene i delbrøkoppspalting med integralet av (2x^2+3x+3)/(x-1)(x^2+2x+5) som eksempel. Begynte deretter på seksjon 9.5 om uegentlige integraler (seksjon 9.4 er ikke pensum, men inneholder eksempler det kan være lurt å kikke på om man har kapasitet). Her fulgte jeg fremstillingen i boka ganske tett. Vær oppmerksom på at det bare er stoffet til og med definisjon 9.5.9 som er pensum. Helt til slutt regnet jeg oppgave 9.3.34 som et eksempel på et integral som kan løses ved delbrøkoppspalting etter en substitusjon. På onsdag begynner jeg på heftet om funksjoner av flere varable.
Onsdag 1/11:
I dag gjennomgikk jeg seksjon 1.1-1.3 i heftet om flervariabel analyse. Fulgte teksten ganske nøye, men la mindre vekt på seksjon 1.3 --- dette er stoff som er greit å vite om, men som ikke kommer til å stå sentralt i resten av kurset. På mandag fortsetter jeg med seksjon 1.4 og 1.5.
Mandag 6/11:
Definerte først matriser og så hvordan disse kan adderes, subtraheres og multipliseres med skalar. Brukte så et eksempel med trafikkflyt inn og ut av et veikryss til å motivere multiplikasjon mellom en matrise og en vektor. Jeg la vekt på transformasjonsideen - multiplikasjon med matriser transformerer en vektor til en annen vektor. Med utgangspunkt i denne ideen forklarte jeg tanken bak matrisemultiplikasjon og skrev (uten utledning) opp definisjonen. Regnet to eksenpler - det siste illustrerte at for matriser er generelt AB og BA forskjellige.
Neste gang gjennomgår jeg regnereglene for matrisemultiplikasjon (setning 1.5.2), og går deretter løs på seksjon 1.6.
Onsdag 8/11:
I dag fortsatte vi med matrisemultiplikasjon. Jeg skrev først opp regnereglene 1.5.2 og kommenterte disse litt. Gikk også gjennom eksempel 3 i seksjon 1.5. Deretter begynte jeg på seksjon 1.6 der jeg først definerte identitetsmatriser. Gjennom et eksempel fikk jeg frem av AIn=A og InA=A for alle matriser A. Jeg definerte så inverse matriser og tok et enkelt eksempel der man bare skulle verifisere at to matriser er inverse. Viste så at en matrise har høyst en invers og skrev opp regnereglerne 1.6.4. Gikk gjennom beviset for punkt (ii). Til slutt regnet jeg et eksempel av samme type som eksempel 2 i heftet. Forelesningen ble litt kortere enn vanlig på grunn av en spørreundersøkelse (Stud Mag) i pausen. På mandag begynner vi på kapittel 2 i heftet.
Mandag 13/11:
Etter å ha reklamert for regnelørdagen 25/11, snakket jeg først litt om topologi. Definerte indre punkter, ytre punkter og randpunkter, og deretter åpne og lukkede mengder. Gikk så over til å snakke om funksjoner av flere variable. Ga først noen eksempler av samme type som i heftet (det er en litt forvirrende trykkfeil på side 48 der funksjonene G1, G2 og G3 bare skal ha to variable x,y som G selv). Jeg la litt vekt på figurer av den typen du finner på side 58 i heftet; de hjelper en ofte å holde oversikt. Begynte deretter på kontinuitet (seksjon 2.2). Skrev opp (og illustrerte) definisjonen, gikk gjennom setning 2.2.2, 2.2.3 og 2.2.4 uten bevis, og gjennomførte i detalj et eksempel av samme type som eksempel 1 i boken. Avsluttet med å gjennomgå eksempel 2 (side 61). Jeg hoppet over stoffet om følger - det må dere lese på egen hånd.
Onsdag 15/11:
Jeg gikk først raskt gjennom seksjon 2.3 om grenseverdier: Definerte opphopningspunkt, grenseverdi og skrev opp setning 2.3.5 om sammenhengen mellom grenseverdier og kontinuitet. Så begynte jeg på seksjon 2.4 om derivasjon av skalarfeltet. Dette er nok den viktigste seksjonen i heftet - partielldefinerte dukker opp i nesten alle kurs dere kommer borti senere, og det er viktig både å kunne regne med dem og å forstå hva de betyr i ulike sammenhenger. Jeg definerte først retningsderivert og gikk gjennom et eksempel av samme type som eksempel 1 i heftet. Deretter innførte jeg partiellderverte og forklarte hvordan vi kan finne disse ved å derivere mhp. en variabel mens vi later som de andre er konstanter. Regnet så et et eksemperl der vi fant de partiellderiverte til en funksjon av tre variable. Jeg innførte gradienten og gjennomgikk regningene på side 70 og 71 i heftet. Til slutt definerte jeg deriverbarhet og beviste setning 2.4.5. På mandag gjør jeg meg ferdig med seksjon 2.4, går raskt gjennom 2.5 og fortsetter så på 2.6. Vi er dessverre litt etter tidsplanen.
Mandag 20/11:
Jeg avsluttet seksjon 2.4 ved å snakke litt om teorem 2.4.6 og setning 2.4.8 (uten bevis). Jeg regnet også et eksempel av samme type som eksempel 4 på side 73. Vi gikk så raskt gjennom seksjon 2.4. Jeg regnet først et eksempel av samme type som eksempel 1 og nevnte deretter setning 2.5.1 (uten bevis). Deretter tok vi fatt på seksjon 2.6. Jeg definerte Jacobi-matrisen og regnet et eksempel av samme type som eksempel 1 på side 83. Deretter gikk jeg raskt gjennom definisjon 2.6.1 og nevnte i samme åndedrag setning 2.6.2. Mesteparten av annen time ble brukt på seksjon 2.7 (kjerneregelen). Dette er sentralt stoff! Jeg skrev opp kjerneregelen på komponentform (formel (2.7.2)), og regnet et eksempel av samme type som eksempel 1. Helt til slutt presenterte jeg kjerneregelen på matriseform. På onsdag snakker jeg litt mer om kjerneregelen før vi går løs på seksjon 2.8 og 2.9. Vi er fortsatt litt etter planen å må nok bruke litt tid neste mandag på å gjennomgå nytt stoff (men jeg tror ikke det blir så mye).
Onsdag 22/11:
Formulerte først kjerneregelen på matriseform presist, og viste deretter hvordan man får komponentformen ved å utføre matrisemultiplikasjon. Forsøkte deretter å gi en uformell begrunnelse for kjerneregelen på komponentform ved å se på tilfellet h(x1,x2)=f(g1(x1,x2),g2(x1,x2))
Jeg begynte så på seksjon 2.8 der jeg definerte lineæravbildninger, beviste lemma 2.8.2, setning 2.8.3 og setning 2.8.4. Gikk deretter gjennom eksempel 3. Helt til slutt snakket jeg litt om egenverdier og egenvektorer. Dessverre ble det litt notasjonsmessig tull med x'er og v'er i definisjonen - se definisjon 2.8.5 i heftet for å få den riktig.
Det har vært litt for høyt tempo på forelesningene i det siste (og pensum er også litt i største laget), så jeg skal prøve å lage en oversikt over hva som er det viktigste å kunne.
Mandag 27/11:
Avsluttet pensumgjennomgangen med å snakke litt om affinavbildninger, spesielt om lineariseringen til en funksjon (uten å komme inn på bevisene). Deretter begynte jeg på repetisjonen. Nevnte så vidt polynomdivisjon (seksjon 1.5), men gikk så løs på komplekse tall der jeg la spesiell vekt på seksjon 3.4 og 3.5 (rotutdragning og faktorisering). Hoppet over kapittel 4 og gikk direkte til kapittel 5. Her nevnte jeg skjæringssetningen og ekstremalverdisetningen, og la spesielt vekt på at når man skal vise at en funksjon f er kontinuerlig i et "problematisk" punkt a, er det ofte mest praktisk å sjekke om f(x) går mot f(a) når x går mot a. Som et eksempel sjekket jeg kontiniutetet i 0 til funksjonen f gitt ved f(x)=(e^x-1)/x for x ulik 0, og f(0)=1. Gikk deretter over til kapittel 6 om deriverbarhet. Skrev opp definisjonen og viste hvordan den kan brukes til å finne den deriverte i 0 fil funksjonen f ovenfor. Skrev opp middelverdisetningen. Snakket litt om L'Hopitals regel, men nevnte også at man ikke må glemme andre "grensetriks" som "å gange med den konjugerte oppe og ned". Avsluttet med noen ord om konvekse og konkave funksjoner.
Onsdag 29/11:
Fortsatte repetisjonen med kapittel 7 i "Kalkulus". Nevnte først uoppstilte maks/min-problemer og koblede hastigheter uten å regne eksempler. Snakker deretter om omvendte funksjoner der jeg la spesiell vekt på formelen g'(y)=1/f'(x). Skrev opp de deriverte til arcusfunksjonene og cotangens. Gikk så løs på integrasjon der jeg skrev opp analysens fundamentalteorem og formlene for volumer av omdreiningslegemer og buelengde (de siste er lagt inn i den nye versjonen av formelarket). Deretter gikk vi over på integrasjonsteknikk. Under delvis integrasjon nevnte jeg at denne teknikken er spesielt nyttig når integralet inneholder en faktor som blir enklere ved derivajon (f.eks. x^n, ln, arctan, arcsin), men jeg regnet også integralet av e^x cos x som et eksempel på et integral som "går i sirkel" på en fruktbar måte. Under substitusjon regnet jeg integralet av e^arcsin x som eksempel på en "panikksubstitusjon" (vi setter u=arcsin x og håper på det beste!). Jeg ga en rask oversikt over trinnene i delbrøkoppspalting. Deretter avsluttet jeg repetisjonen fra "Kalkulus" ved å gå raskt gjennom uegentlige integraler.
Begynte så på repetisjon av flervariabel og lineær algebra. Skrev opp Schwarz' ulikhet og trekantulikheten og nevnte de algebraiske beskrivelsene av at vektorer er parallelle eller står normalt på hverandre. Snakket litt om matrisemultiplikasjon med spesiell vekt på ideen om at matriser "transformerer" vektorer. Sa også noen ord om inverse matriser.
I kapitlet om funksjoner av flere variable la jeg spesielt vekten på derivasjon i ulike avskygninger - jeg gikk gjennom retningsderiverte, partiellderiverte og gradienter. Husk at den raskeste måten å finne en retningsderivert på, som regel er å finne gradienten og ta skalarprodukktet med retningsvektoren. Jeg sa også noen ord om Jacobi-matriser, og gikk gjennom kjerneregelen både på matrise- og komponentform. Til slutt sa jeg noen ord om lineæravbildninger. Minte spesielt om hvordan man finner matrisen til en lineæravbildning og om hva egenvektorer og egenverdier er.
Helt til slutt sa jeg noen ord om eksamen (se eksamenssiden ) og ønsket alle *LYKKE TIL!"