På denne siden finner du en kortfattet rapport fra hver forelesning. Rapportene er i kronologisk rekkefølge, så du må rulle litt ned for å finne de nyeste!
Tirsdag 17/1:
Jeg ga først noen opplysninger om kurset (alle finnes på nettsidene) og startet så på seksjon 1.1 i Lays bok. Jeg gikk gjennom et eksempel av samme type som hans Eksempel 1 (både på ligningsform og matriseform), innførte koeffisientmatriser og utvidete matriser, og definerte de elementære radoperasjonene. Deretter definerte jeg hva det vil si at to matriser er radekvivalente og understreket at dersom to (utvidete) matriser er radekvivalente, har de tilhørende ligningssystemene de samme løsningene. Neste gang tar jeg noen flere eksempler på bruk av radoperasjoner og fortsetter med seksjon 1.2 og 1.3 i Lay.
HUSK at plenumsregningen denne uken brukes til forelesning! HUSK også å begynne på ukeoppgavene (oppgaver for de første ukene er lagt ut på nettet)! Jeg har gitt MATLAB-oppgaver allerede denne uken selv om MATLAB-forelesningen først er til neste onsdag. Det er fordi jeg tror det er lurt å ha gjort seg litt kjent med programmet før forelesningen. MATLAB-heftet legges ut på nettet idag (17/1) eller i morgen.
Onsdag 18/1:
Jeg fortsatte å snakke om radoperasjoner. Først så vi på et ligningssystem som viste seg å være inkonsistent (ingen løsninger), og deretter på et som hadde uendelig mange løsninger. I det siste tilfellet la jeg vekt på å illustrere hvordan den reduserte trappeformen ga oss en grei metode til å finne alle løsninger. Jeg gikk deretter nærmere inn på begrepene trappeform og redusert trappeform (Definition 1.2 hos Lay). Disse begrepene blir helt sentrale i fortsettelsen, og det er viktig å få et godt grep på dem fra starten av. Det er også vlktig å merke seg Theorem 1 på side 13 (som sier at enhver matrise kan bringes på redusert trappeform på en entydig måte). Til slutt begynte jeg på seksjon 1.3 der jeg rakk å definere regneoperasjoner for vektorer i R^n. På fredag avslutter jeg 1.3 og fortsetter med 1.4 og 1.5. Kanskje rekker vi å begynne så vidt på 1.7.
Fredag 20/1
Jeg begynte med å definere lineærkombinasjoner av vektorer og demonstrerte gjennom et eksempel at b er en lineærkombinasjon av a{1},...a{n} hvis og bare hvis ligningssystemet med utvidet matrise (a{1},...a{n},b) har en løsning. Deretter snakket jeg om ligninger av typen Ax=b og obseverte at en slik ligning har en løsning hvis og bare hvis b er en lineærkombinasjon av søylene i A. Deretter viste jeg at dette er tilfellet hvis og bare hvis den reduserte trappeformen til A har et pivotelement i hver eneste rad (dette er det samme som at ingen rader i den reduserte trappeformen består av bare nuller). Dette er Theorem 4, side 43, i Lays bok og et viktig resultat for oss. Til slutt snakket jeg om homogene matriseligninger Ax=b og observerte at de har en ikke-triviell løsning hvis og bare hvis den reduserte trappeformen til A har minst en søyle uten pivotelementer. Til slutt formulerte jeg Theorem 6 hos Lay, men rakk ikke å bevise det. På mandag beviser jeg dette teoremet og fortsetter deretter på seksjon 1.7. Vi ligger litt etter tempoplanen, men jeg tror det er viktig at vi bruker nok tid på det grunnleggende stoffet.
Tirsdag 24/1:
Jeg begynte med å bevise Theorem 6 hos Lay. Deretter gjennomgikk jeg et eksempel der jeg skrev den generelle løsningen til et lineært ligningssytem på parameterform. Så flyttet vi oss til seksjon 1.7 om lineær uavhengighet. Dette er et av de viktigste begrepene i lineær algebra. Jeg illustrerte med et eksempel (tilsvarende Lays eksempel 1) hvordan man kan bruke radoperasjoner til å sjekke om søylene i en matrise er lineært uavhengige, og oppsummerte denne metoden som i den blå boksen nesten nederst på side 66 hos Lay. Deretter viste jeg at den eneste lineært avhengige mengden med bare ett element er {0} (her kom jeg i skade for å skrive uavhengige istedenfor avhengige), og gjenomgikk så det viktige Theorem 7 og det like viktige (men enklere) Theorem 8. Til slutt snakket jeg litt om begrepet basis. Hos Lay dukker dette først opp på side 170, men jeg synes det er naturlig å ta det med her. En basis er en lineært uavhengig mengde som genererer hele rommet (dvs. at alle vektorer kan skrives som en lineærkombinasjon av vektorene i basisen). Jeg viste at en mengde vektorer v(1),..,v(p) i R^n er en basis hvis og bare hvis p=n og den reduserte trappeformen til A=(v(1),..,v(p)) er identitetsmatrisen (dvs. matrisen med 1'ere på diagonalen og 0 overalt ellers. Jeg fortsetter å snakke litt om basiser neste tirsdag før jeg fortsetter med seksjon 1.8. Jeg kommer også til å skrive et lite notat som inneholder det jeg sier om basiser. Imorgen er det MATLAB-forelesning.
Onsdag 25/1:
I dag snakket jeg om MATLAB. Sa lite eller ingenting som ikke står i heftet, men prøvde å legge vekt på ting som er lettere å forklare muntlig enn skriftlig. Det er funnet noen trykkfeil i heftet, og en oversikt over disse kommer med det første.
Tirsdag 31/1:
Jeg fortsatte på notatet om basiser. Først viste jeg at enhver vektor kan skrives som en lineærkombinasjon av en basis på en entydig måte, deretter viste jeg at enhver endelig mengde som utspenner hele rommet, må inneholde en basis. Gikk så løs på seksjon 1.8 og 1.9 hos Lay. Etter å ha snakket litt om generelle avbildninger fra R^n til R^m, definerte jeg lineæravbildninger og viste at dersom vi vet hvordan en lineæravbildning virker på en basis, så kan vi finne ut hvordan den virker på et vilkårlig element. Innførte så avbildninger definert ved T(x)=Ax der A er en matrise, og viste at disse alltid er lineæravbildninger. Deretter viste jeg det omvendte resultatet, nemlig at enhver lineæravbildning er gitt ved at T(x)=Ax for en passende valgt matrise A. Viste også at A må være matrisen med søyler T(e(1)), T(e(2)),.....,T(e(n)). Til slutt brukte vi dette til å finne matrisen til avbildningen som roterer enhver vinkel i planet en vinkel v. På tirsdag avsluttet jeg 1.8 og 1.9, og begynner på kapittel 2.
Onsdag 1/2:
I begynnelsen snakket jeg litt mer om lineæravbildninger i planet, og så på speilinger, skjæravbildninger og forstørrelser/forminskninger. Deretter viste jeg at bildet av en rett linje under en lineæravbildning er en ny rett linje (i noen spesielle tilfeller får vi bare et punkt). Deretter gikk jeg tilbake til den generelle teorien og definerte surjektive og injektive avbildninger("onto" og "one-to-one" hos Lay).
Etter pausen rakk vi en liten diktopplesning ("Lille Adam" av Arnulf Øverland) før vi fortsatte med Theorem 11 og 12 hos Lay. Som et eksempel viste jeg at en avbildning fra R^3 til R^3 ikke var injektiv ved å observere at den hadde en pivotfri søyle. Helt til slutt begynte jeg på seksjon 2.1. Jeg definerte addisjon, subtraksjon og multiplikasjon med skalar for matriser, og prøvde å motivere definisjonen av matrisemultiplikasjon. Neste gang starter vi med definisjonen for alvor.
Vi ligger fortsatt litt etter tidsplanen, men har nok tatt inn noe denne uken.
Tirsdag 7/2:
Definerte først matrisemultiplikasjon og regnet et eksempel. Nevnte også den alternative definisjonen, og regnet et eksempel med den. Deretter så vi på regneregler for matrisemultiplikasjon, definerte tranponering av matriser og så på regneregler for transponering.
Deretter begynte vi på inverse matriser. Viste først at dersom en matrise er inverterbare, så må den reduserte trappeformen være identitetsmatrisen. Deretter så vi på regneregler for inversjon. Til sa jeg noen ord om elementære matriser.slutt
Onsdag 8/2:
Vi begynte med å se nærmere på elementære matriser med vekt på to grunnleggende egenskaper: (i) Når man ganger en matrise A med en elementær matrise E, blir resultatet det samme som når vi bruker radoperasjonen til E på A, og (ii) alle elementære matriser er inverterbare. Brukte disse to egenskapene til å vise at en kvadratisk matrise A er inverterbare hvis og bare hvis den reduserte trappeformen til A er identitetsmatrisen I. Som en bonus fikk vi at de radoperasjonene som reduserer A til I, omdanner I til A`s invers. Dette gir oss en algoritme for å finne den inverse til A: Start med den utvidete matrisen [A,I] . Skriv denne på redusert trappeform. Dersom A er inverterbar er den første delen av matrisen omdannet til I, og den andre delen er omdannet til A invers. Viste ved et eksempel hvordan man i MATLAB kan bruke >> rref til å utføre dette.
Deretter sa jeg noen ord om "The inverse matrix theorem" i kapittel 2.3 uten å gjennomgå det. Det er fin trening å gjøre seg kjent med dette teoremet, men det egner seg ikke så godt til forelesning. Jeg viste imidlertid en viktig del av teorem, nemlig at hvis enten AC=I eller CA=I, så er A inverterbar og C er A`s invers (det er altså nok å finne en ensidig invers til A).
Til slutt begynte jeg på seksjon 2.8. Jeg definerte underrom og viste at nullrommet til en matrise er et underrom. Deretter viste jeg at mengden utspent av en samling vektorer er et underrrom. Til slutt definerte jeg søylerommet til en matrise.
På tirsdag avsluttet jeg lineær algebraen. Avsnitt 2.8 og 2.9 hos Lay er litt tannløst, så det er mulig jeg lager en liten vri på det. Når vi er ferdige med Lay, begynner jeg på kjeglesnitt (conic sections) i Adams bok.
Tirsdag 14/2:
Idag avsluttet jeg stoffet om lineær algebra ved å gjennomgå resten av 2.8 og 2.9 hos Lay. Jeg beviste og begrunnet mer enn læreboken, og forelesningen ble derfor ganske teoretisk. Jeg begynte med å definere basis for et underrrom og viste deretter at alle underrom av R^n har en basis. Deretter viste jeg at alle basiser for et underrom H har samme antall elementer, og kalte dette antallet for dimensjonen til H. Viste så ved et eksempel hvordan vi kan finne en basis for nullrommet til en matrise, og observerte at dimensjonen til nullrommet alltid er lik antall pivotfrie søyler. Deretter viste jeg at pivotsøylene alltid er en basis for søylerommet til en matrise, og brukte de to siste rsultatene til å bevise rangteoremet (Lay side 178): I en m-ganger-n matrise er dimensjonen til nullrommet pluss rangen alltid lik n. Selv om det ikke er så lett å se ved første øyekast, er rangteoremet et sentralt og nyttig resultat i lineær algebra.
I morgen gjennomgår jeg seksjon 8.1 om kjeglesnitt i Adams bok.
Onsdag 15/2:
Gikk gjennom seksjon 8.1 i Adams. Forklarte først hvor navnet kjeglesnitt kommer fra. Deretter definerte jeg parabel geometrisk og utledet formelen for en parabel med brennpunkt i (a,0) og styrelinje x=-a. Forklarte også hva som skjedde med formelen når vi flyttet toppunktet fra origo til (m,n). Til slutt snakket jeg om refleksjonsegenskapen til parabler (men hadde dessverre ikke tid til å bevise den). Jeg gikk deretter over til ellipser, definerte dem geometrisk, og utledet formelen for en ellipse med sentrum i origo og storakse langs x-aksen. Viste så hva som skjer med formelen når vi flytter sentrum til (m,n). Deretter viste jeg hvordan man kan bestemme kurven med ligning x^2+2x+4x^2+16x=8 ved å fullføre kvadratet og omdanne ligningen til en ellipseligning. Nevnte refleksjonsegenskapen til ellipsen, men beviste den ikke. Til slutt definerte jeg hyperbel geometrisk, utledet ligningen, viste asymptotene og nevnte refleksjonegenskapen.
Neste uke er jeg bortreist, så Hans Brodersen tar forelesningene. Han går gjennom resten av kapittel 8 og hele kapittel 10. I begge disse kapitlene er det mye repetisjon fra 3MX, så det kommer til å gå fort! De som ikke har 3MX, bør nok lese en del på forhånd. Heftet om vektorregning (klikk her ) gir en kortere innføring enn boken (men dekker bare repetisjonsstoffet og litt av det nye).
Tirsdag 21/2:
Hans Brodersen foreleste. Her er hans oppsummering:
Begynte med å si hva en parametrisert kurve i planet var og skrev opp som et første eksempel standard parametriseringen av enhetssirkelen.
Definerte så en kurve (som bildet av en parametrisert kurve), forklarte at forskjellige parametriserte kurver godt kan svare til samme kurve, men forklarte at parametriseringene angir også hvordan kurven gjennomløpes.
Jeg fant parametriseringer til standard ellipsen (med a og b) og også høyregrein til hyperbelen x^2-y^2=1 (her brukte jeg hyperbolske funksjoner. Jeg utledet så parametriseringen av tangentlinjen til et punkt (svarende til en parameterverdi) for en parametrisert kurve. Jeg skiserte så kurven gitt ved x=1/(1+t^2), y=t/(1+t^2) der t gjennomløper hele R, eliminerte parametren og fant likningen til en sirkel med sentrum (1/2,0) og radius 1/2 (eller mer presist denne sirkel minus origo - som jo svarer til t=pluss/minus uendelig)
Jeg motiverte så kort integralformelen for buelengde, påpekte at den generaliserte formelen for buelengden av en graf, og regnet ut som et eksempel buelengden til x=1+t^3, y=1-t^2 t\in [0,2] .
Jeg så så på en x=f(t), y=g(t) der f'(t)>0, g(t)>0 og så på området under denne kurven og over x-aksen. Jeg utledet arealformelen til dette. Jeg påpekte at andre varianter av fortegn kan tilsvarende formler for andre tilsvarende områder, men henviste her til boka uten å gå i detalj. Jeg regnet ut arealet der x=asin t, y=b cost, t\in [0,pi/2] , påpekte at det var arealet av 1/4 ellipse jeg regnet ut og utledet formelen for areal av ellipse fra dette.
Jeg forklarte hva polarkoordinater var (kort) og fant likningen til kurven r=sin theta + cos theta i kartesiske koordinater Jeg utledet så formelen for areal av område beskrevet ved 0<r<r(theta), alpha<theta<beta.
Onsdag 22/2:
Hans Brodersen fortsatte forelesningene. Her er hans rapport:
Repeterte arealformelen fra slutten av forige forelesning og regnet ut arealet begrenset av kurven r^2=a^2cos 2theta.
Jeg utledet formelen for buelengde av kurve r=r(theta) og regnet lengden av r=e^(2theta) theta\in [-pi,pi] , Her avsluttet jeg kapittel 8 og gikk over til kapittel 10. Jeg definerte prikkprodukt i R^3 og R^2 , forklarte at det oppfylte en del standard regneregler som var listet opp i boka, utledet at u*v=|u||v|cos theta, brukte dette til å finne formel for projeksjon av en vektor langs (linja utspent av) en annen, og regnet et eksempel på dette. Jeg forklarte at prikkproduktet kan utvides til R^n og forklarte hvordan vi definere vinkel mellom vektorer her ved prikkproduktet.
Jeg begynte så å snakke om kryssproduktet. Begynte med å definere 2x2 determinanter. Forklarte at rekkene og søylene var lineært avhengige hvis og bare hvis determinanten var lik 0. Definerte 3x3 determinanter (ved utvikling etter 1. rad), regnet ut 2 slike og referte kort de viktigste egenskapene ved (3x3) determinanten. Jeg definerte nå (dvs. jeg avvek litt fra boka) kryssproduktet som en (symbolsk) 3x3 determinant og regnet ut et par slike kryssprodukter. Jeg nevnete så de viktigste egenskapene til kryssproduktet og forklarte (uten å foreta utregninger) hvordan disse kan bevises ved direkte utregninger. Så forklarte jeg tilslutt at normen av kryssprodukt er lik areal av parallellogram, og viste at for vektorer i R^2 gir dette at arealet blir lik absoluttverdien til 2x2 determinanten som vektorene danner.
Tirsdag 28/2:
Viste først at volumet til prismet utspent av tre vektorer, er gitt ved vektortrippelproduktet, alternativt som (tallverdien til) determinanten til matrisen med de tre vektorene som rader (se Adams seksjon 10.3, Example 4). Den siste versjonen kommer til å være viktig når vi skifter variabel i trippelintegraler. Deretter snakket jeg litt om ligninger for plan, og spesielt om hvordan vi kan bruke kryssproduktet til å finne normalen til et plan som går gjennom tre gitte punkter. Regnet et eksempel av samme type som Example 2 i seksjon 10.4 i Adams. Etter pausen begynte jeg på kapittel 11 (der vi bare har seksjon 11.1 og 11.3). Jeg definerte parametriserte romkurver, viste hvordan de kan deriveres, og innførte begrepene hastighet (velocity) og fart (speed). Jeg gikk gjennom regnereglene for derivasjon av parametriserte kurver, og presenterte formelen for buelengde. Som et eksempel så jeg på spiralen r(t)=cos(t) i +sin(t) j +t k. og fant hastighet, fart og buelengde. Til slutt snakket jeg litt om parametrisering av skjæringskurven mellom to flater, og regnet et eksempel av samme type som Example 2 og 3 i seksjon 11.3.
På onsdag begynner jeg på kapittel 14 (kapittel 12 og 13 er dekket av stoffet om funksjoner av flere variable i MAT 1100). Vi er nå over på stoff som er nytt for alle, og fremdriftsfarten blir mer normal!
Onsdag 1/3:
I dag gjennomgikk jeg 14,1 og 14.2 i Adams. Definerte først dobbeltintegralet over rektangler og deretter over generelle områder. Snakket deretter om itererte integraler over y- og x-enkle områder. Som eksempel regnet jeg ut integralet til xy^2 på området avgrenset av kurvene y=x og y=x^2 på to måter (området er både y- og x-enkelt).
På tirsdag starter jeg på 14.3 (muligens etter å ha tatt ett eksempel til fra 14.2). Vi har tatt litt innpå tempoplanen og ligger nå ca. en halv ganng etter.
Tirsdag 7/3:
Begynte på seksjon 14.3 der jeg først regnet ut et dobbeltintegral over et uendelige område (et eksempel av samme type som Example 1 i Adams) og deretter et dobbeltintegral med en funksjon som går mot uendelig i et randpunkt (et eksempel av samme type som Example 4 hos Adams). Deretter definerte jeg middelverdien til en funksjon over et område, regnet et eksempel, og beviste Theorem 3.
Deretter begynte jeg på seksjon 14.3 der jeg viste hvordan dobbeltintegraler kan regnes ut i polarkoordinater og tok et par eksempler av samme type som Example 2 hos Adams.
Onsdag 8/3:
Først brukte jeg et dobbeltintegral i polarkoordinater til å regne ut integralet av exp(-x^2) fra minus uendelig til pluss uendelig (Example 4 i Adams' seksjon 14.4). Resten av tiden snakket jeg generelt om variabelskifte i dobbeltintegraler. Jeg forsøkte (sikkert med blandet hell) å motivere formelen i Theorem 4 hos Adams, Som et eksempel regnet jeg ut dobbeltintegralet av xy over området avgrenset av linjene y=x-1, y=x+1, y=-x/2 og y=-x/2+1 ved å innføre nye variable u=y-x, v=y+x/2. Jeg regner et eksempel til av denne typen neste gang, og begynner så på seksjon 14.5.
Tirsdag 14/3:
Gjennomgikk først et eksempel til på skifte av variabel i dobbeltintegral (integralet av x^2y^2 over området i første kvadrant avgrenset av y=x, y=2x, y=1/x, y=2/x). Deretter innførte jeg trippelintegraler (ganske raskt og uformelt) og forklarte hvordan man kan regne ut trippelintegraler ved iterert integrasjon. Som eksempel regnet jeg ut integralet ax x over området i første oktant avgrenset av planet x+y+z=1. Til slutt snakket jeg om skifte av variabel i trippelintegraler, og regnet ut Jacobi-determinanten for skifte til sylinderkoordinater. Rakk bare å stille opp et eksempel svært raskt, så jeg begynner med et grundigere gjennomgått eksempel neste gang. Regner med å bli ferdige med 14.6 og 14.7 (og kanskje få sagt noen ord om 15.1 i morgen). For dem som lurer på det, er det bare undervisningsfri etter 12 i morgen, så MAT 1110 er ikke involvert.
Onsdag 15/3:
Gikk først gjennom et mer krevende eksempel på integrasjon i sylinderkoordinater (integralet til sqrt(x^2+y^2)+z over sylinderen avgrenset av x^2-2x+y^2=1 og kravene 0<z<2. Deretter beskrev jeg kulekoordinater og formelen for integrasjon mhp. kulekoordinater. Som et eksempel regnet jeg ut integralet til x^2+y^2+z^2 over området avgrenset av kulen x^2+y^2+z^2=1 og kjeglen z^2=x^2+y^2. Til slutt så vi litt på anvendelser. Jeg utledet formelen for arealet til en funksjonsflate og skisserte et eksempel (arealet til z=x^2+y^2 over sirkelen x^2+y^2<1).
Neste uke er det undervisningsfri. Etter det begynner jeg på kapittel 15. Vi ligger fortsatt en dobbeltforelesning etter fremdriftsplanen.
Tirsdag 28/3:
Vi startet på kapittel 15. Jeg snakket først litt om hva et vektorfelt er. Deretter regnet jeg en to-dimensjonal versjon av eksempel 3 i seksjon 15.1 (fant feltlinjene til et todimensjonalt gravitasjonsfelt). Deretter innførte jeg konservative vektorfelt, og viste at tyngdefeltet er konservativt (eksempel 1 i seksjon 15.2). Jeg viste de nødvendige betingelsene for at vektorfelt skal være konservativt, og viste som et eksempel hvordan man kan finne potensialfunksjonen til vektorfeltet F(x,y,z)=2xyz i +(x^2z+1) j + (x^2y+z) k.
Onsdag 29/3:
Vi gikk rett løs på seksjon 15.3. Jeg motiverte definisjonen av linjeintegral for et skalarfelt ved å se på massen til en tråd med varierende tetthet. Etter å ha definert linjeintegralet, regnet jeg som et eksempel ut kurveintegralet til F(x,y,z)=z over kurven r(t)=t cos(t) i + t sin(t) j + t k. Som en innledning til kurveintegraler for vektorfelt (seksjon 15.4 i Adams), snakket jeg litt om definisjonen av arbeid, og brukte den som en motivasjon når jeg definerte linjeintegralet. Som et eksempel regnet jeg ut linjeintegralet til F(x,y,z)=x i + y j + z k over kurven r(t)=cos(t) i + sin(t) j + e^t k. Deretter viste jeg at linjeintegralet til et konservativt vektorfelt er uavhengig av veien. Jeg viste også omvendingen, dvs. at dersom linjeintegralet er uavhengig av veien, så er vektorfeltet en gradient (vi er her hele tiden i et åpent, sammenhengende område),
Tirsdag 4/4:
Denne forelesningen gikk vi gjennom seksjon 15.5 i Adams (flateintegraler). Jeg forklarte først hva en parametrisert flate er og regnet deretter ut det generelle flateelementet dS. Som et eksempel regnet vi ut integralet til z over øvre del av kulen med radius r. (OBS: Det finnes også en annen type flateintegral som ikke er pensum i dette kurset, men som spiller en viktig rolle i MEK 1100. Dette behandles i seksjon 15.6 hos Adams.)
Onsdag 5/4
Jeg begynte med å snakke om Greens teorem (seksjon 16.3 hos Adams). Etter å ha forklart hva teoremet sier, brukte vi det til å regne ut linjeintegralet av xy i + xy^2 j rundt et kvadrat. Deretter så vi på hvordan Greens teorem kan brukes til å regne ut arealer (Example 1 hos Adams). Jeg skisserte beviset for Greens teorem omtrent som det står hos Adams. Til slutt begynte jeg på kapittel 9 hos Adams (dette er det siste kapittelet i pensum). Stoffet i seksjon 9.1 kjenner dere fra MAT 1100, så jeg gikk rett løs på 9.2. Der minnet jeg om summeformelen for geometriske rekker og regnet noen eksempler med dem. Jeg gikk også gjennom Example 3 om teleskoperende rekker og regnet et litt mer kompliset eksempel av samme sype (summen av 1/n(n+2). Vi har nå tatt inn litt tid i forhold til planen og er nesten i rute. Tirsdag etter påske avrunder jeg seksjon 9.2 ved å se litt på den harmoniske rekken, og begynner så på seksjon 9.3. Dette er kanskje den viktigste seksjonen i kapittel 9.
Tirsdag 18/4:
Jeg viste først Teorem 4 fra seksjon 9.2 hos Adams. Dette teoremet sier at dersom en rekke konvergerer, så går leddene mot null. Jeg understreket sterkt at det omvendte ikke gjelder, og viste frem den harmoniske rekken sum 1/n som et eksempel på en rekke som divergerer selv om leddene går mot null. Deretter begynte jeg på seksjon 9.3 der jeg først beviste integraltesten og benyttet den på rekken med ledd 1/(1+n^2). Deretter benyttet jeg integraltesten til å vise at rekken med ledd 1/n^p konvergerer når p>1 (eksempel 1hos Adams). Jeg beviste så sammenligningstesten og brukte den på et eksempel av samme type som de i eksempel 4 hos Adams. Deretter formulerte jeg grensesammenligningstesten (Theorem 10) og brukte den på et eksempel av samme type. Til slutt brukte jeg grensesammenligningstesten til å vise at rekken med ledd sin(1/n) divergerer (sammenlign med 1/n).
Onsdag 19/4:
Jeg tok først noen flere eksempler på bruk av grensesammenligningstesten, først sum (1-cos(1/n)) (som jeg sammenlignet med sum 1/n^2 inspirert av Taylorutvilingen til cos x) og deretter sum (pi/2-arctan n) som jeg sammenlignet med sum 1/n^p for en uspesifisert p (som det etterhvert viste seg var lurt å sette lik 1). Jeg gikk så gjennom forholdstesten med bevis og brukte den på rekkene sum n/2^n og sum n!/n^n. Deretter formulerte jeg forholdstesten og brukte den på sum 1/(1+1/n)^(n^2). Til slutt startet jeg på avsnitt 9.4. Jeg formulerte testen for alternerende rekker (og skisserte beviset) og brukte den på rekken sum (-1)^n/n.
Jeg nevnte den elektroniske evalueringen som nå er lagt ut på hjemmesiden (se under Beskjeder). Alle bør besvare dette skjemaet så vi får et representativt grunnlag for eventuelle omlegninger!
Tirsdag 25/4:
Jeg beviste først at dersom en rekke er absolutt konvergent, så er den konvergent (Adams, teorem 13), og formulerte deretter forholds- og rottesten for generelle rekker. Regnert noen eksempler av samme type som eksempel 3 i boken. Avsluttet seksjon 9.4 med noen ord om hvordan man bør gå frem for å avgjøre om en rekke konvergerer eller ikke. Begynte så på seksjon 9.5 om potensrekker. Fant først konvergensområdet til rekken sum (x-3)^n/(n2^n), og formulerte deretter teorem 17 hos Adams. Regnet noen flere eksempler for å illustrere de forskjellige mulighetene i dette teoremet. Til slutt snakke jeg om algebraiske operasjoner med potensrekker, og brukte spesielt litt tid på å motivere Cauchy-produktet.
Onsdag 26/4:
Jeg forklarte først hvordan man deriverer og integrerer potensrekker og regnet noe eksempler knyttet til geometriske rekker (eksempler av omtrent samme type som example 5 hos Adams). Jeg forklarte også hvordan man kan bruke Abels teorem til å få informasjon om endepunkter. Jeg ga også to eksempler på hvordan man kan finne summen til en gitt rekke ved å derivere og integrere (fant summen til rekken med ledd x^n/n2^n ved derivasjon, og summen til rekken med ledd nx^n ved først å dele på x og så integrere). Den siste halvtimen brukte jeg til å gjenomgå Taylorpolynomer (Adams seksjon 4.8) for dem som ikke har settt dem før. På tirsdag begynner jeg på seksjon 9.6. HUSK Å SVARE PÅ SPØRRESKJEMAET!!
Tirsdag 2. mai:
Jeg innførte Taylorrekker og viste at Taylorrekken konvergerer mot funksjonen dersom restleddet i Taylors formel går mot null. Gjennomførte beregningene for Taylorrekken til e^x og skrev deretter opp Taylorrekken for sin(x) og cos(x) (hadde regnet ut koeffisientene forrige gang). Deretter viste jeg at hvis en funksjon er lik en potensrekke, så må dette være Taylorrekken til funksjonen (Adams: teorem 21). Jeg viste så en del eksempler på hvordan man kan finne nye Taylorrekker fra gamle, f.eks. hvordan man kan finne Taylorrekken til e^(-y^2) ved å substituere x=-y^2 i Taylorrekken til e^x, og hvordan man kan finne Taylorrekken til (x^2+x)sin(x) ved å gange (x^2+x) inn i Taylorrekken til sin(x). Deretter så vi på hvordan vi kunne bruke Taylorrekken til sin(x) til å finne en tilnærmet verdi for integralet av sin(x)/x fra 0 til 1. Vi så også litt på grenseverdier, f.eks. hvordan man kan finne grensene til (1-cos x)/x^2 og (e^x-1-x)/xsin(x) når x går mot null ved å erstatte cos(x), e^x og sin(x) med deres potensrekker. Helt til slutt snakket jeg litt om binomialformelen som en innledning til avsnitt 9.9 om binomiske rekker. Dette er det siste avsnittet i pensum, så jeg regner med å avslutte pensumgjennomgangen på onsdasg.
Tirsdag 3. mai:
I første time avsluttet jeg pensumgjennomgangen ved å ta for meg seksjon 9.9 om binomiske rekker. Jeg utledet uttrykket for rekkene, fant konvergensradien, men bare postulerte at rekken konvergerte mot funksjonen (beviset i Adams anbefales på det varmeste, men forutsetter at man kan sine differenssialligninger fra MAT-INF 1100). Som eksempler fant jeg Taylorrekkene til 1/sqrt(1+x), 1/sqrt(1-x^2), arcsin x og 1/(1+x)^2. Etter pause gikk jeg gjennom tre gamle eksamensoppgaver om rekker der vi både måtte finne konvergensområdet og summen. På tirsdag starter jeg repetisjonen ved å snakke om lineær algebra.
Tirsdag 9. mai:
Repeterte lineær algebra. Det aller meste av det jeg sa, finnes i notatet om Lays bok som nå er oppdatert med litt stoff fra kapittel 2. Du finner notatet her . Jeg rotet dessverre litt på slutten av forelesningen og kom i skade for å trekke tilbake noe som faktisk er sant: Skal du finne en basis for søylerommet til en matrise, skriver du matrisen på redusert trappeform og finner pivotsøylene. De tilsvarende søylene i den opprinnelige matrisen (ikke bruk søylene i den reduserte trappeformen - det blir galt) gir deg en basis for søylerommet.