Her kommer en kort rapport fra hver forelesning:
Tirsdag 15/1:
Etter å ha sagt litt om kurset repeterte jeg først noen begreper fra MAT 1100: partiellderivert, gradient, Jacobi-matrise og deriverbarhet. Deretter begynte jeg på seksjon 2.7 der jeg først presenterte kjerneregel på matriseform. Jeg ganget så ut matrisen og fikk kjerneregelen på komponentform. Presenterte deretter denne formelen fra en litt annen synsvinkel (heftet side 105-106). Avsluttet med å regne et eksempal av samme type som eksempel 1 i heftet. Vi fortsetter med litt flere eksempler neste gang.
Onsdag 16/1:
Avsluttet seksjon 2.7 med et par eksempler (ett av samme type som eksempel 2 i heftet og ett av samme type som eksempel 4) og et uformelt argument for kjerneregelen (ikke et fullstendig bevis). Begynte deretter på seksjon 2.8 der jeg i tillegg til å gå igjennom setningene 2.8.1-2.8.4 (med bevis), rakk å presentere eksempel 3.
Tirsdag 22/1:
Jeg avluttet først seksjon 2.8 med å si noen ord om egenverdier. Deretter gikk jeg over på seksjon 2.9 der jeg definerte affinavbildninger, viste at de avbilder (parallelle) rette linjer på (parallelle) rette linjer, og utledet at |det(A)| er arealforstørrelsesfaktoren til en affinavbildning. Til slutt innførte jeg lineariseringen av en vektorvaluert funksjon, formulerte teorem 2.9.6 og illustrerte lineariseringer ved tangentplan.
Onsdag 23/1:
Den første (drøye) timen brukte jeg til å demonstrere de enkleste delene av MATLAB. En kommentert utgave av kjøringen ligger her . Etter pause snakket jeg om seksjon 3.1. Jeg fikk definert buelengde og (så vidt) den deriverte til en parametrisert kurve.
Tirsdag 29/1:
Startet med definisjonen av den deriverte og forklarte begrepene hastighet, fart, akselerasjon og baneakselerasjon. Skrev opp setning 3.1.4 og beviste korollar 3.1.5 og setning 3.1.6. Understreket at baneakselerasjon normalt er FORSKJELLIG FRA lengden til akselerasjonsvektoren, og illustrerte dette med å forklare fenomenet i eksempel 7.
Gikk ganske raskt gjennom seksjon 3.2 med vekt på den praktiske bruken av formlene. Til slutt begynte jeg på seksjon 3.3 der jeg rakk å definere linjeintegral og vise et eksempel på hvordan de regnes ut.
Onsdag 30/1:
Den første timen brukte jeg til MATLAB. Denne gangen var hovedtemaene lagring og (enkel) programmering. En redigert versjon av kjøringen finnes her .
Etter pause fortsatte jeg på linjeintegraler. Jeg avsluttet seksjon 3.3 ved å forklare at linjeintegraler er uavhengig av parametrisering og at integralet over en komplisert kurve kan deles opp i enklere deler. Jeg illustrerte hvordan man ville gjøre dette for integrasjon rundt et rektangel, men utførte ikke regningene (se eksempel 2 i heftet for et tilsvarende argument med utregninger). Deretter begynte jeg på seksjon 3.4. Brukte litt tid på å snakke om kraft og arbeid som en motivasjon for definisjonen. Gikk deretter gjennom definisjon 3.4.1 og regnet et enkelt eksempel (litt enklere enn eksempel 1).
Tirsdag 5/2:
Fortsatte å snakke om linjeintegraler av vektorfelt. Nevnte først hvordan integralet over en kurve kan deles opp i biter (setning 3.4.3) og skisserte deretter beviset for hvorfor linjeintegralet er uavhengig av veien (setning 3.4.4). Som et eksempel regnet jeg et linjeintegral rundt en halvsirkel. Gikk så over på seksjon 3.5 der jeg beviste setning 3.5.1 og definerte konservative vektorfelt. Nevnte at disse feltene er viktige i fysikk og mekanikk. Beviste så setning 3.5.3 og regnet et eksempel av samme type som Eksempel 4 i seksjon 3.5, men med bare to variable. Til slutt sa jeg noen få ord om kjeglesnitt og illustrerte hvoedan de frmkommer når man snitter over en kjegle.
Jeg har fått et par spørsmål som tyder på at folk har vanskelig for å forestille seg at et arbeid kan være negativt. Det kan det være - f.eks. vil et arbeid man utfører for å bremse en bevegelse, være negativt (det tapper gjenstanden man bremser for energi).
Onsdag 6/2:
Snakket først om parabler. Definerte dem først geometrisk ved hjelp av brennpunkt og styrelinje, Utledet ligningen for en parabel i "normaposisjon" (y^2=4ax) og så deretter på ligninger for parabler i mer geneelle posisjoner. Regnet et eksempel av samme type som eksempel 1 i seksjon 3.6. Formulerte og beviste refleksjonsegenskapen for parabler og sa litt om hva den brukes til.
Gikk så over til å snakke om ellipser. Definerte dem geometrisk og viste hvordan man kan komme frem til en ligning for ellipser i "normalposisjon", men gjennomførste ikke regningene. Beskrev også ligningene for ellipser i andre posisjoner og regnet et eksempel av samme type som eksempel 2 i heftet. Neste gang snakker jeg litt om refleksjonsegenskapen for ellipser og går deretter løs på hyperbler.
Tirsdag 12/2:
Beviste først refleksjonsegenskapen for ellipser, og gikk deretter over til å snakke om hyperbler. Skrev opp den geometriske definisjonen og viste hvordan man utlede formelen x^2/a^2-y^2/b^2=1, men gikk ikke gjennom regningene. Sa også noen ord om assymptoter. Snakket så litt om hyperbler i andre posisjoner og gikk gjennom et eksempel av samme type som eksempel 3 i heftet. Nevnte refleksjonsegenskapen, men utledet den ikke. Til slutt snakket jeg litt om grafisk fremstilling med vekt på nivåkurver og konturer.
Onsdag 13/2:
Gikk først gjennom stoffet om normalvektorer og tangentplan og regnet et eksempel. Snakket så om andre koordinatsyystemer (polar-, sylinder. og kulekoordinater). Gikk deretter gjennom geometrisk fremstilling av vektorfelt med spesiell vekt på Jacobi-determinanten som arealforstørrelsesfaktor. Til slutt snakket jeg om parametriserte flater. Brukte en stående sylinder som hovedeksempel. Vi er nå ferdig med kapittel 3. På tirsdag begynner vi på kapittel 6.
Tirsdag 19/2:
Gikk gjennom seksjon 6.1 og 6.2 med unntak av MATLAB-delen. Gjennomførte ikke bevisene, men forsøkte å forklare ideene bak resultatene.
Onsdag 20/2:
Snakket først om dobbeltintegrasjon i MATLAB (både rektangulære og ikke-rektangulære områder). Sa så noen ord om Riemannsummer før jeg fortsatte med seksjon 6.3. Her forklarte jeg setning 6.3.1 og regnet et enkelt eksempel før jeg gikk over til setning 6.3.2. Gjennomgikk eksempel 3 i detalj fordi det er en feil i heftet som forplanter seg gjennom hele eksemplet (den øvre grensen til r skal være 2cos(theta) og ikke 2|sin(theta)|). En rettelse vil bli lagt ut. Til slutt snakket jeg litt fra 6.4 om arealberegninger og massebestemmelser. I dette avsnittet vil jeg ellers konsentrere meg om arealet til flater og flateintegraler.
Tirsdag 26/2:
Viste først hvordan man kommer frem til formelen for arealet til en parametrisert flate (nederst på side 34). Viste så hvordan man kan bruke formelen til å finne arealet til en sylinder, og utledet deretter formelen for arealet til en funksjonsgraf. Gikk raskt gjennom definisjonen av flateintegraler (6.4.1) uten å regne et eksempel.
Etter pause begynte jeg på seksjon 6.5 om Greens teorem. Etter å ha formulert teoremet regnet jeg et eksempel av samme type som eksempel 1, men med en trekant sistedenfor en firkant. Gjennomgikk så argumentet for at det er "nok" å bevise Greens teorem for enkle områder (dvs. argumentet knyttet til figur 3), og viste til slutt lemma 6.5.3 (men det gikk kanskje i forteste laget!)
I morgen er det Øyvind Ryan som foreleser. Han vil ta med litt mer stoff fra seksjon 6.5, før han raskt tar med seg litt terminologi fra 6.6 og går videre til 6.7.
Onsdag 27/2:
Øyvind Ryan foreleste. Han gjennomgikk først et eksempel på hvordan man kan regne ut arealet til et område ved hjelp av Greens teorem, og gikk så fort gjennom de begrepene i seksjon 6.6 som er nødvendige for 6.7. I denne seksjonene regnet han tre eksempler litt av samme type som eksemplene 1, 2 og 3 i heftet. På tirsdag fortsetter vi med seksjon 6.7 og 6.8.
Tirsdag 4/3:
Begynte på seksjon 6.8 der jeg definerte dobbeltintegralet av en positiv funksjon over et ubegrenset område. Snakket om setning 6.8.2 (litt mindre formelt enn i heftet), men gjennomgikk ikke beviset. Gjennomgikk så eksempel 2 siden det er viktig i sannsynlighetsregning og statistikk. Til slutt nevnte jeg at uegentlige integraler av funksjoner med vekslende fortegn er litt mer skummelt, men overlot dette til selvstudium.
Jeg gikk så løs på seksjon 6.9 der jeg definerte trippelintegraler og formulerte setning 6.9.2. Gikk gjennom setning 6.9.3 og regnet et eksempel av samme type som eksempel 1. Formulerte så setning 6.9.5 og regnet et eksempel som ligner sterkt på eksempel 3. Det er mange eksamensoppgaver av denne typen, så selv om regningene er lange, gjelder det å få med seg dette stoffet. På tirsdag gjennomgår jeg seksjon 6.10 og 6.11.
Onsdag 5/3:
Begynte med å forklare bytte av variabelformelen for trippelintegraler. Regnet så ut Jacobideterminanten for skifte til sylinderkoordinater, og regnet et eksempel (av samme type som eksempel 2) der jeg skiftet til slike koordinater. Regnet så ut Jacobideterminanten for skifte til kulekoordinater, og regnet et eksempel ned bytte til slike koordinater (en variant av eksempel 3 i heftet). Jeg gikk så over til seksjon 6.11 og sa noen ord om hvordan man regner ut masse og volum ved hjelp av trippelintegraler. Som et eksempel fant jeg en formel for massen til en kule der tettheten bare avhenger av avstanden til sentrum. Jeg avsluttet med et langt og grusomt eksempel som viser at gravitasjonsfeltet fra en kule med rotasjonssymmetrisk massefordeling er den som om all massen var samlet i sentrum (dette gjelder bare for punkter utenfor kulen). Regneteknisk er dette en variant av eksempel 4. Du finner en variant av beregningene i oppgave 6.10.7
Vi er nå ferdig med kapittel 6. På tirsdag begynner vi med kapittel 4.
Tirsdag 11/3:
Rapport fra Øyvind Ryan: Jeg gjennomgikk hele 4.1, og det meste av 4.2, derav eksempler på alle typerlignigssystemer (entyding, ingen, og undelig mange løsninger), samt radreduksjon, trappematriser og trappeform, pivotelementer, pivotsøyler, basisvariable og frie variable, samt deres rolle i å finne løsninger av ligningssystemer.
I 4.2 rakk jeg til og med setning 4.2.4 med bevis. Jeg rakk ikke korollar 4.2.5 og setning 4.2.6.
Onsdag 12/3:
Jeg fikk først gjennom resten av seksjon 4.2. Tok så seksjon 4.3 der jeg regnet ett eksempel av samme type som eksempel 2 og ett der jeg startet radreduksjonen med en matrise som ikke var på trappeform. Gikk gjennom 4.3.2 0g 4.3.3, og illustrerte hvordan man kan bruke MATLAB til å finne redusert trappeform (gikk gjennom et eksempel av samme type som eksempel 3). Til slutt gjennomgikk jeg seksjon 4.4 der jeg fulgte heftet ganske tett, men valgte litt andre eksempler. Tirsdag etter påske starter vi på seksjon 4.5
Tirsdag 25/3:
Tok fatt på seksjon 4.5. Etter å ha minnet om hva vi vet om inverse matriser fra MAT1100, beviste jeg lemma 4.5.2 og setning 4.5.3, og nevnte også setning 4.5.4. Forklarte deretter metoden for å finne inverse matriser og gikk gjennom et eksempel av samme type som Eksempel 2 i heftet. Nevnte kort MATLAB-kommandoen "inv", men resten av MATLAB-stoffet er greit å lese på egen hånd.
Begynte så på seksjon 4.6 der jeg innførte begrepet lineærkombinasjon og gikk gjennom setning 4.6.1, 4.6.2 og korollar 4.6.3. Jeg prøvde også å illustrere lineærkombinasjoner geometrisk ved å påpeke at alle lineærkombinasjonene til én vektor utgjør en linje, mens lineærkombinasjonene av to vektorer (normalt) danner et plan. I morgen foreleser Øyvind Ryan over resten av seksjon 4.6.
Onsdag 26/3:
Øyvind Ryan foreleste. Her er hans rapport: "Jeg gikk igjennom resten av 4.6: Lineær uavhengighet (hvordan sjekke om vektorer er lineært uavhengige, hvordan finne en lineært uavhengig delmengde), basiser (inkludert hvordan man kan utvide en lineært uavhengig mengde til en basis), og lineære avbildninger."
Etter forelesningspausen i neste uke fortsetter vi med seksjon 4.8 (4.7 er ikke pensum).
Tirsdag 8/4:
Begynte på seksjon 4.8. Forklarte hva en elementær matrise er, viste noen eksempler, og forklarte virkning av elementære matriser ved matrisemultiplikasjon (setning 4.8.2). Forklarte også at den inverse til en elementær matrise er en elementær matrise, og beviste setning 4.8.4.
Startet så på seksjon 4.9. Definerte først determinanter og viste hvordan de kan regnes ut ved hjelp av definisjonen. Beviste deretter lemma 4.9.1 og 4.9.2 og skrev opp teorem 4.9.9 uten bevis. Viste deretter hvordan vi kan bruke radoperasjoner til å regne ut determinanter, og regnet et eksempel av samme type som eksempel 2 i heftet. Til slutt beviste jeg teorem 4.9.10.
Onsdag 9/4:
Utledet først formelen det(AB)=det(A)det(B) som i heftet (men bare under antagelsen at det(A)≠0 og det(B)≠0). Brukte dette til å vise at det(A^(-1))=1/det(A) og at det(A^T)=det(A). Til slutt så vi på utvikling av determinanter langs vilkårlige rader og søyler, og regnet to eksempler av samme type som i heftet.
Begynte på seksjon 4.10 der jeg først definerte egenvektorer og egenverdier, og deretter utledet lemma 4.10.1. Brukte dette lemmaet til å finne egenverdiene og egenvektorene til en 2-gamger-2 matrise (på samme måte som i eksempel 1 i heftet).
Tirsdag 15/4:
Etter et liten repetisjon av hvordan man finner egenverdier, regnet jeg et eksempel der vi fant egenverdiene til en 3-ganger-3-matrise med komplekse egenverdier og egenvektorer. Nevnte at hvis matrisen er reeell, kommer de komplekse egenverdiene og egenvektorene i konjugerte par (setning 4.10.4). Beviste så setning 4.10.3, og nevnte at dersom en matrise mar multiple egenverdier, behøver det ikke finnes en basis av egenvektorer. Skrev opp spektralteoremet for symmetriske matriser (4.10.6). Til slutt gikk jeg gjennom setning 4.11.1 og regnet et eksempel av samme type som eksempel 1 i seksjon 4.11, men med en 2-ganger-2-matrise istedenfor en 3-ganger-3-matrise (for å være presis regnet jeg oppgave 4.11.5).
Vi er nå ferdig med kapittel 4, og i morgen begynner Øyvind på kapittel 5.
Onsdag 16/4:
Øyvind Ryan hadde fått den utakknemlige oppgavene å forelese det ganske teoretiske stoffet i 5.1 og 5.2. Her er hans rapport:
"Jeg rakk i dag gjennom det meste av 5.1 og 5.2 (åpne, lukkede mengder, følger og konvergens av følger, delfølger, Bolzano-Weierstrass, Cauchy-følger), bortsett fra å formulere og bevise teorem 5.2.6 (at alle Cauchy-følger er konvergente) og dermed også korollar 5.2.7."
Neste gang avslutter vi seksjon 5.2, tar en titt på 5.3 (som er mer oppgavestoff enn teori) og går løs på seksjon 5.4 der teorien fra 5.2 kommer til nytte.
Tirsdag 22/4
Avsluttet først seksjon 5.2 ved å vise at alle Cauchy-følger konvergerer. Snakket deretter om problemstillingene i seksjon 5.3 uten å kjøre noen programmer, men ved å illustrere uformelt forskjellige typer oppførsel som et system kan ha. Etter pause begynte jeg på seksjon 5.4 der jeg akkurat rakk å bevise Banachs fikspunktsteorem. I morgen begynner jeg på seksjon 5.5.
Onsdag 23/4:
Begynte med seksjon 5.5. Repeterte (for dem som har MAT-INF1100) Newtons metode for funksjoner av en variabel. Gikk deretter over til å snakke om metoden for funksjoner av flere variable. Utledet iterasjonsskjemaet og viste sammenhengen med (ikke-lineære) ligningssystemer med m ligninger og m ukjente. Illustrerte metoden på et eksempel. Jeg gikk ikke inn på programmering av metoden - det er det lettere å lære fra heftet. Nevnte Kantorovitsj' teorem, men gikk ikke inn på detaljene.
Til slutt begynte jeg på seksjon 5.6. Jeg minnet om hva vi vet om omvendte funksjoner i det en-dimensjonale tilfellet, og brukte dette som en motivasjon for den flerdimensjonale teorien. Rakk akkurat å formulere "omvendt funksjonsteorem", men fikk ikke vist et eksempel.
Tirsdag 29/4:
Etter en litt treg start kom jeg i gang med "omvendt funksjonsteorem". Jeg gikk ikke gjennom beviset, men forsøkte å antyde hvordan Banachs fikspunktteorem blir brukt, og jeg beviste også formelen for den deriverte til den omvendte funksjonen. Gikk så gjennom et eksempel av samme type som eksempel 1 i heftet. Derettet begynte vi på "implisitt funksjonsteorem". Jeg forklarte problemstillingen på omtrent samme måte som i heftet og skrev deretter opp teoremet. Gikk gjennom eksempler av omtrent samme type som eksempel 2 og 3 i heftet.
Gikk så igjennom seksjon 5.7 (inkludert et fullstendig bevis for ekstremalverdisetningen). Til slutt begynte jeg så vidt på seksjon 5.8 der jeg rakk å skrive opp setning 5.8.2 og illustrere den.
Onsdag 30/4:
Fortsatte på seksjon 5.8. Definerte først stasjonære punkter og viste ved et eksempel hvordan man finner dem. Tok så fatt på annenderiverttesten som jeg beviste "med litt juks" (dvs. jeg holdt meg til den grunnleggende ideen og utelot feilleddsestimatene). Viste hvordan man kommer fra den generelle formen 5.8.6 til spesialformen 5.8.7 for funksjoner av to variable (den er nok den som er mest aktuell på eksamen). Regnet et eksempel av samme type som eksempel 3 i heftet. Til slutt startet jeg så vidt på et uoppstilt problem (oppgave 5.8.13) som jeg vil avslutte neste gang før jeg begynner på seksjon 5.9.
Tirsdag 6/5:
Avsluttet først eksemplet fra forrige gang. La spesielt vekt på å sjekke oppførselen på randen av området.
Begynte så på seksjon 5.9. Forklarte først Lagranges metode geometrisk, og regnet deretter eksemplet fra tidlige på nytt ved hjelp av denne metoden. Formulerte så metoden presist (teorem 5.9.1), og regnet oppave 5.9.1e) (uten z-en som har sneket seg inn) som et eksempel. Formulerte så Lagranges metode for flere bibetingelser (teorem 5.9.2) og regnet oppgave 5.9.1f) som et eksempel.
Avrunder kapittel 5 i morgen, og begynner deretter på kapittel 12 fra "Kalkulus".
Onsdag 6/5:
Avsluttet med noen ord om koblingen mellom maks-min-problemer og numeriske metoder. Illustrerte gradientmetoden med en figur, men gikk ikke gjennom et eksempel (dette er typisk orienteringsstoff - greit for en oblig, men ikke eksamenrelevant).
Begynte så på kapittel 12 i "Kalkulus". Definerte konvergens og minnet om summeformelen for geometriske rekker. Understreket så at positive rekker konvergerer dersom de er begrensede, og brukte dette til å utlede integraltesten. Regnet noen eksempler, og viste at rekken 1/n^p konvergerer hvis p>2. Kikket så på sammenligningstesten og tok et eksempel av typen 2/(n^2+1). Til slutt formulerte jeg grensesammenligningstesten og viste hvordan den kan brukes på rekker der leddene er gitt av rasjonale funksjoner (som eksempel 12.2.9).
Tirsdag 13/5:
Fortsatte å snakke om grensesammenligningstesten. Så på rekkene sin(1/n) og (1-cos(1/n)) ved hjelp av Taylorpolynomer. Tok også den siste ved å sammenligne med 1/n^p for en (inntil videre) ukjent p (se eksempel 12.2.11). Deretter gikk jeg gjennom forholdstesten og rottesten med noen eksempler.
Etter pausen gikk jeg først gjennom seksjon 12.3. Jeg beviste testen for alternerende rekker og gikk gjennom eksempel 12.3.2. Avsluttet med å snakke litt om seksjon 12.4 - beviste setning 12.4.2, regnet et eksempel (konvergens av rekken sin(n)/n^2) og formulerte forholdstesten og rottesten (avsnittet om ombytte av ledd er ikke pensum), Til slutt ga jeg en rask oversikt over de forskjellige konvergenstestene.
De to neste forelesningene holdes av Inger Christin Borge. Hun begynner på seksjon 12.5.
Onsdag 14/5:
Gjennomgikk kap. 12.5-12.6, der jeg ga beskjed om at siden uniform konvergens (11.3-11.4) ikke er forelest, blir en del av grunnlaget for bevisene i kap. 12 borte, og vi konsentrerer oss om bruk av resultatene.
Startet med en liten introduksjon om 'endelig' versus 'uendelig'. Definerte så potensrekker med eksempel. Ved å sette inn verdier for x, får vi tallrekker, og jeg minte om at tallrekker deles inn i 'divergente, betinget konvergente og absolutt konvergente', og at vi har mange konvergenstester (fra forrige uke). Nevnte Weierstrass' M-test og sa kort litt om uniform konvergens. Ga eksempel på bruk av M-testen (sum av x^n/sqrt(n^5)).
Vi definerte og startet jakten på konvergensområdet til en potensrekke (alle verdier for x slik at rekken er konvergent). Brukte 'sum av x^n/n' som eksempel, og brukte forholdstest. Nevnte også ordene konvergensintervall, konvergensradius og konvergenssentrum. Avsluttet første time med å observere at alle rekker har minst en verdi for x der rekken konvergerer (x=a for en generell potensrekke gir sum lik a_0).
Startet neste time med eksempel 'sum av n^nx^n', og brukte rottest for å finne konvergensområdet. Vi får konvergens kun for x=0, dvs. en 'worst case'-potensrekke. Summerte opp strategi for å finne konvergensområdet (forholdstest eller rottest for radius til området, tallrekketest for
endepunkter). Skrev opp Teorem 12.6.1 og ga tre eksempler der ingen, ett eller begge endepunkter er med i konvergensområdet. Skrev opp Lemma 12.6.7 og en kortversjon av hva Setningene 12.6.8 og 9 sier (summen av en potensrekke er kontinuerlig i hele konvergensområdet), og viste at det omvendte av Abels teorem ikke gjelder ved eksempel (fra boka). Tok så et eksempel 'sum av (x-5)^n/(n2^n)', og startet tilslutt på oppgave 2 i prøveeksamen fra vår 2006 (skal se litt mer på den på tirsdag).