Hei, hei! I forrige del fikk dere se hvordan vi modellerte atmosfæren til planeten vi skal lande på. Atmosfære er en gass som omsvøper planeter. Siden gassen er sammensatt av partikler med masse, har atmosfæren et blant annet en tetthet. Fra forrige del vet dere at denne tettheten er en funksjon av avstanden fra planetoverflaten, og at den avtar jo lenger vekk man kommer. Selve funksjonen vil ikke bli gjentatt her, men dere kan ta en titt på innlegget om modellering av atmosfæren fra forrige del for å få en oppfriskning.
Først skal vi introdusere formelen for luftmotstand, som har det klingende engelske navnet the drag equation. Og nei, det er ikke en likning som regner ut hvor mange hestekrefter et kjøretøy kan ha før det blir for "harry". Likningen ser slik ut:
\(\begin{align} F_d=\frac{1}{2}\rho\,C_dAv_\text{drag}^2 \end{align}\)
Her er \(\rho\) tetthet, \(C_d\) er luftmotstandskoeffisienten, \(A\) er tverrsnittarealet til objektet som beveger seg gjennom lufta og \(v_\text{drag}\) er den relative hastigheten objektet har til lufta rundt. Luftmotstandskoeffisienten er et tall, som sier noe om hvilken motstand et objekt som beveger seg gjennom luft møter. For eksempel så vil en kube ha \(C_d=1.05\), mens et dråpeformet objekt (streamline body) vil ha \(C_d=0.04\). (Kilde: Drag coefficient på Wikipedia.) Vi kommer til å sette \(C_d=1.0\). Et romskip har mange kanter og ujevnheter, så det kan til og med være litt for lavt.
Fun Fact: Fra Apollo 4 sine målinger tatt av fartøyet, ble luftmotstandskoeffisienten beregnet til \(C_d\approx1.2\) da fartøyet re-entret atmosfæren i en høyde på ~122 km over bakken, med hastighet ~3 094 km/t. Dataene ble målt av kommandomodulen (CM-017), som har en konisk front og en sfærisk kropp. Disse dataene ble rekonstruert numerisk og beregnet av forskere ved NASA. Rapporten er tilgjengelig her.
Når det er snakk om den relative hastigheten objektet har til lufta rundt, så vil det i vårt tilfelle være hastigheten til romskipet og landingsfartøyet i forhold til atmosfæren. Atmosfæren vil også ha en hastighet, som vi vil tilnærme å være konstant. For å regne ut hastigheten til atmosfæren, heretter kalt \(\vec{w}\), bruker vi formelen for vinkelhastighet, gitt ved
\(\begin{align} \vec{\omega}=\vec{r}\times\vec{v}_T \end{align}\)
hvor \(\vec{r}\) er posisjonsvektoren og \(\vec{v}_T\) er den tangentielle komponenten til hastigheten. Vi bruker polare koordinater i et xyz-plan. Vi bruker enhetsvektorene \(\hat{\textbf{e}}_r\) for radiell retning, og \(\hat{\textbf{e}}_\theta\) for retningen normalt på radiell retning. Den siste enhetsvektoren er den samme som for et kartesisk koordinatsystem, altså \(\hat{\textbf{e}}_z\). Dette gjør at posisjonsvektoren nå ser slik ut:
\(\begin{align} \vec{r}=r\,\hat{\textbf{e}}_r \end{align}\)
Her er \(r=|\vec{r}|\) lengden til vektoren. Dere ser kanskje at posisjonsvektoren ikke inneholder hverken \(\theta\)- eller z-komponent? Det er fordi disse komponenten er normal på posisjonsvektoren. Hvis du skal peke på en gjenstand på bordet foran deg, trenger du bare å peke i én retning. Det er det som er radiell retning i dette systemet. Med denne notasjonen kan dere se at \(\vec{v}_T=\vec{w}\), siden atmosfæren har hastighet vinkelrett på den radielle retningen. Merk også at det er den greske bokstaven omega som betegner vinkelhastighet, og dobbel-v som betegner atmosfærens hastighet.
Hvis dere har tatt R-matte, så ser dere kanskje at vinkelhastigheten er et kryssprodukt. Og hvis dere fulgte med, vet dere vel at et kryssprodukt av to vektorer som ikke er parallelle vil gi en tredje vektor som står vinkelrett på begge to? Det vil si at, for eksempel, kryssproduktet mellom enhetsvektorene \(\hat{\textbf{e}}_x\) og \(\hat{\textbf{e}}_y\) i det kartesiske koordinatsystemet, vil gi den tredje enhetsvektoren \(\hat{\textbf{e}}_z\). Disse står alle tre vinkelrett på hverandre, og dermed utsepenner hele det tredimensjonale rommet vi befinner oss i.
Tilsvarende blir det for vektorene \(\hat{\textbf{e}}_r\), \(\hat{\textbf{e}}_\theta\) og \(\hat{\textbf{e}}_z\). Hvis vi krysser to av dem, får vi den tredje. Men husk at tilsvarende for x, y og z, som gir positivt fortegn dersom man krysser i akkurat den rekkefølgen, vil våre nye enhetsvektorer også gjøre det samme. Nå til selve regningen. Vi kan forskyve uttrykket vi har for vinkelhastighet, som gir
\(\begin{align} \vec{w}&=\vec{\omega}\times\vec{r}\\ &=\omega\,\hat{\textbf{e}}_z\times r\,\hat{\textbf{e}}_r\\ &=\omega r(\hat{\textbf{e}}_z\times\hat{\textbf{e}}_r)\\ &=\omega r\,\hat{\textbf{e}}_\theta \end{align}\)
Som dere kanskje husker, så vet vi hva vinkelfarten \(\omega\) til planeten er, nemlig \(\frac{2\pi}{T}\), hvor \(T\) er rotasjonsperioden (~11.2 jorddager). Dette er ikke et veldig overraskende resultat, ettersom at vi har antatt at atmosfæren roterer jevnt med planeten. For at dette skal være mulig, må hastigheten øke lenger ut fra overflaten. Vi vet at hastigheten til romskipet vil være \(\vec{v}=v_r\hat{\textbf{e}}_r+v_\theta\hat{\textbf{e}}_\theta\). Hvis romskipet flyr langs med atmosfærens hastighet vil den relative hastigheten være positiv dersom romskipets hastighet er større enn atmosfærens, og tilsvarende negativ dersom hastigheten er mindre. Altså finner vi den relative hastigheten \(\vec{v}_\text{drag}\) som følger.
\(\begin{align} \vec{v}_\text{drag}&=\vec{v}-\vec{w}\\ &=v_r\hat{\textbf{e}}_r+v_\theta\hat{\textbf{e}}_\theta-\omega r\,\hat{\textbf{e}}_\theta\\ &=v_r\hat{\textbf{e}}_r+(v_\theta-\omega r)\hat{\textbf{e}}_\theta\\ &=v_r\hat{\textbf{e}}_r+\bigg(v_\theta-\frac{2\pi}{T}r\bigg)\hat{\textbf{e}}_\theta \end{align}\)
På Figur 2 har vi prøvd å illustrere hva som vil skje med den relative hastigheten. Først kommer romskipet inn i atmosfæren med en hastighet \(\vec{v}\). Atmosfæren har sin egen hastighet \(\vec{w}\) som er avhengig av høyden over bakken. Den relative hastigheten får vi ved å trekke atmosfærens hastighet fra romskipets. Dette er forsøksvis illustrert ved den blå stiplede linjen i figuren. Deretter må vi passe på å snu vektoren \(\vec{v}_\text{drag}\), for den skal virke mot bevegelsesretningen. Etter hvert som romskipet faller mot bakken vil den relative hastigheten til atmosfæren bli mindre og mindre, før den tilslutt er null. Dette skjer fordi luftmotstanden vil bremse romskipet i tangentiell retning.
Merk at \(\vec{v}_\text{drag}\) ikke er det samme som luftmotstand. Denne vektoren viser bare den relative hastigheten romskipet har til atmosfæren. Egentlig vil den peke motsatt vei av det vi har gjort i Figur 2, men det vil være det samme om vi gjør det nå eller senere.
Så til spørsmålet vi stilte i introduksjonen: vil romskipet akselereres kontinuerlig så lenge det ikke treffer noe? Det korte svaret er nei. Vi kan angripe dette problemet rent matematisk. Vi vet fra Newtons andre lov at summen av krefter som virker på et objekt er lik objektets masse ganger dens akselerasjon. Etter at romskipet har falt såpass lenge at det ikke lenger har noen tangentiell hastighetskomponent, vil det i praksis falle rett ned mot bakken. Kreftene som da virker i radiell retning er luftmotstanden og gravitasjonskrafta. I likningen for luftmotstand kan dere se at den er avhengig av størrelsen til \(\vec{v}_\text{drag}\). Det vil si at på ett eller annet tidspunkt vil denne krafta være like stor som gravitasjonskrafta, men motsatt rettet. Hva betyr dette? Jo, fra Newtons første lov kan vi da konkludere med at romskipet beveger seg med konstant fart langs en rett linje. Denne konstante hastigheten et legeme som faller i et fluid (fancy ord for sammensetning av stoffer) kalles terminalhastighet. Så lenge dette legeme kan falle fritt, vil det alltid nå en maksimal hastighet. Vi kan regne ut hva denne blir for romskipet vårt, i radiell retning.
\(\begin{align} \Sigma F_r&=0\\ F_d-F_G&=0\\ F_d&=F_G\\ \frac{1}{2}\rho\,C_dA\,v_T^2&=mg\\ v_T&=\sqrt{\frac{2mg}{\rho\,C_d\,A}} \end{align}\)
Dette er altså den maksimale hastigheten romskipet kan oppnå mens det faller gjennom atmosfæren. Merk at tettheten vil variere ut ifra hvor høyt over bakken vi befinner oss. Vi kan også løse denne likningen for hvilket areal vi trenger på fallskjermen. Det blir
\(\begin{align} A=\frac{2mg}{\rho\,C_d\,v_T^2} \end{align}\)
Anta at vi er nærme bakken. For å utføre en såkalt soft landing, er maksimal fart i radiell retning 3 m/s. Veldig nærme bakken vil tettheten være omtrent \(\rho=\rho_0=1.04\,kg/m^3\). Massen til landingsfartøyet er 90 kg, og gravitasjonsakselerasjonen er
\(\begin{align} g&=\frac{\gamma M_p}{R_p^2}\\ &=\frac{6.674\cdot10^{-11}m^3kg^{-1}s^{-2}\cdot1.658\cdot10^{23}kg}{(1.862\cdot10^6m)^2}\\ &\approx3.2\,m/s^2 \end{align}\)
Vi løser likningen for å se hvilket areal vi trenger på fallskjermen for å utføre en soft landing.
\(\begin{align} A&=\frac{2\cdot90\,kg\cdot3.2\,m/s^2}{1.04\,kg/m^3\cdot(3\,m/s)^2}\\ &=\frac{576\,kgm/s^2}{9.36\,kg/(ms^2)}\\ &\approx61.5\,m^2 \end{align}\)
Dette gir en grei pekepinn på hvor stor fallskjerm vi trenger.
I neste innlegg skal vi prøve å simulere hvordan landingen vil foregå. Vi tar med oss de verdiene vi har funnet her, og forhåpentlig vis vil vi klare å faktisk lande på planeten. Hei, så lenge!