En duell i verdensrommet

Introduksjon

To objekter beveger seg med den samme farten i den samme retningen. Begge to sender ut et lyssignal samtidig. Hvordan vil dette se ut for en observatør som står stille? Hvis dette skjer samtidig i ett referansesystem, skjer det da samtidig i et annet? Hva avgjør om ett system er forskjellig fra et annet? Vi skal undersøke hvordan relativitet kan forklare hendelsesforløpet, og kanskje vil du bli overrasket over hvordan en konstant størrelse tvinger universet til å endre seg.

Situasjonen

Vi trenger et eksperiment som kan etterlikne problemet vi vil utforske. La oss bruke to romskip, en observatør midt i mellom disse to og en observatør på planeten vi landet på i det forrige innlegget. Vi utstyrer romskipene med hver sin laserkanon. Romskip 1 befinner seg til venstre, romskip 2 befinner seg en avstand \(L\) til høyre. Begge romskipene og observatøren i midten beveger seg i en rett linje mot høyre med den samme farten \(v\), i forhold til planeten, som er i ro. Videre definerer vi to framer (fornorskning av det engelske ordet frame, som blir brukt om et referansesystem). Framen som følger romskipet har merkede koordinater: posisjonskoordinat \(x'\) og tidskoordinat \(t'\). På planeten har vi et umerket system med koordinater \(x\) og \(t\). 

Definisjon av event: Et event er en hendelse som skjer i en gitt posisjon til en gitt tid.

Vi definerer fire eventer. Event A er at romskip 1 skyter sin laserstråle mot romskip 2 i posisjon \(x'=x=0\) ved tiden \(t'=t=0\). Event B er at romskip 2 skyter laserstrålen sin mot romskip 1. Event C er at romskip 1 blir truffet av strålen fra romskip 2, og event D er at romskip 2 blir truffet av strålen fra romskip 1. Det siste eventet kaller vi event M, og det er når observatøren i midten ser begge laserstrålene i sin posisjon. Vi sammenfatter eventene i denne tabellen:

Her er det muligens en del ting som trenger forklaring. La oss begynne med å si at vi regner med naturlige enheter. Fra SI-enheter, vet vi at hastighet har enhet m/s. Vi ønsker å skrive alle hastigheter som fraksjoner av lyshastighet. Hvordan finner vi så farten i naturlige enheter? Jo, vi deler på lysfarten. Siden m/s delt på m/s er lik 1, så blir fart nå dimensjonsløst. Siden vi i vårt eksperiment opererer med laserstråler, er det hensiktsmessig å bruke naturlige enheter, siden lysfarten nå er 1. Det vil si at lengden lyset har reist \(t\), vil være \(t\). Vi måler avstand i sekunder! Lysfarten blir dermed den samme for alle observatører, og det er konsist med Einsteins 2. postulat. 

Definisjon av samtidighet: To eventer er samtidige dersom de skjer ved samme tid i ett og samme referansesystem.

Vi ser på event M. Fra definisjonen av samtidighet, kan vi konkludere med at event A og B er samtidige for denne observatøren, siden hun er i den samme framen som romskipet. Men vil observatøren observere eventene samtidig? Dette spørsmålet virker kanskje litt rart. Det vi spør om her er om event A og B vil bli observert samtidig for en observatør midt i mellom dem. Hvis observatøren ikke befant seg i midtpunktet, ville lyset ha lenger vei å reise fra det ene eventet enn fra det andre. Dermed observerer også midtpunktobservatøren begge eventene samtidig. Dette må også være faktum for planetframen! Altså at begge laserstrålene vil befinne seg i midtpunktet samtidig. Husk at vi definerte et event som en hendelse som har en posisjon og et tidspunkt. Det at en observatør kan si at hun så begge strålene i ett punkt, betyr at det eventet må ha skjedd. Når det skjedde er derimot ikke nødvendigvis det samme for alle observatører.

Nå skal vi se hva som skjer i planetframen. Det er her det blir vanskelig. Siden vi har etablert at event M er at begge laserstrålene befinner seg midt mellom de to romskipene i begge framene, hva har det da å si for hendelsesforløpet sett fra planeten? Ettersom at lysets hastighet er konstant for alle observatører, og at romskipene og observatøren i mellom dem beveger seg med en hastighet relativt til planeten, som befinner seg i ro, vil midtpunktet hele tiden bevege seg mot laserstrålen som romskip 2 skyter ut, og vekk fra strålen fra romskip 1. Klarer dere å se det for dere? 

Til høyre ser dere en figur som illustrerer situasjonen fra start til event M. Dere ser at romskipene forblir i sine posisjoner gjennom hele situasjonen, og event A og B skjer samtidig. Lyset når frem til midtpunktet likt.

Hvordan vil dette se ut for planetframen? Husk at da har romskipene og midtpunktet en hastighet langs x-aksen, som gjør at hendelsene forløper forskjellig fra romskipframen. La oss se på hvordan dette kan se ut for en observatør som befinner seg i planetframen.

I figur 2 kan dere se hvorfor event B må skje senere enn event A. Midtpunktet, og dermed møtepunktet for de to strålene beveger seg mot romskip 2. Lyset må dermed reise en kortere lengde, så tiden det vil ta blir mindre. Dermed vil en observatør på planeten observere at event B skjer etter event A! Hvis de hadde skjedd samtidig, ville det implisert to ting: enten så hadde observatøren i midtpunktet ikke kunne ha sett begge strålene møtes i hennes posisjon, eller så hadde laserstrålen fra romskip 1 hatt større fart enn strålen fra romskip 2. Siden laserstråler jo er lys, så ville det betydd at lysfarten hadde endret seg. Dette motstrider Einsteins 2. postulat, og må derfor forkastes. (Den egentlige grunnen til at dette må være feil er at det finnes empirisk forskning som tilsier at lysfarten må være konstant, heller enn at Einsteins postulater må tas for gitt.) Merk at koordinatene ikke nødvendigvis stemmer, men er bare satt der for å gi dere et bilde av hvordan det vil se ut. Vi skal komme grundigere tilbake til de faktiske koordinatene senere.

Hva kan vi så si om det som skjer videre? Etter at strålene har møttes i midtpunktet, beveger romskip 1 seg mot strålen fra romskip 2, og tilsvarende beveger romskip 2 seg vekk fra romskip 1. Det er da tydelig at romskip 1 vil eksplodere før romskip 2. I romskipframen skjer event A og B samtidig, og C og D skjer samtidig. Men i planetframen skjer først A, så B, så C og til slutt D. Dette virker rart! Dere er vel enige i at dette må stemme, siden lysfarten er konstant i begge framene? Det er intuisjonen vår som blir satt på prøve.

Nå skal vi gå litt dypere i dette. Vi skriver bevegelseslikningene for posisjonene i planetframen til romskip 1, \(x_1\), observatøren i midtpunktet, \(x_M\) og laserstrålen skutt fra romskip 1, \(x_{L1}\).

\(\begin{align} x_1(t)&=v(t-t_A)\\ x_M(t)&=L/2+v(t-t_A)\\ x_{L1}(t)&=t-t_A \end{align}\)

Som dere ser, så vil alle posisjonene være som i tabellen over ved \(t=t_A\). Vi vet at ved tiden \(t_M\), så er posisjonen til laserstrålen fra romskip 1 den samme som posisjonen til midtpunktet. Vi løser derfor likningen \(x_{L1}(t_M)=x_M(t_M)\).

\(\begin{align} t_M-t_A&=L/2+v(t_M-t_A)\\ t_A&=t_M-\frac{L}{2(1-v)} \end{align}\)

Hva kan vi så si om \(t_A\)? Vi har definert origo-eventet til å være event A. Altså eventet der begge framene har tid og posisjon lik 0. Dermed kan vi se at tiden for event M er 

\(\begin{align} t_M=\frac{L}{2(1-v)} \end{align}\)

Ser dere at tiden det tar før laseren fra romskip 1 når midtpunktet er større enn tiden det vil ta lys å reise en lengde på \(L/2\)? Det må være slik, siden midtpunktet beveger seg vekk fra strålen.

For strålen skutt fra romskip 2 kan vi også her bruke at ved tiden \(t_M\), vil strålen være i midtpunktet. Vi starter med å endre likningen for \(x_M\), tiden \(t_A\) er null. 

\(\begin{align} x_M(t)&=L/2+vt\\ x_M(t_M)&=L/2+vt_M \end{align}\)

Vi vet at posisjonen til laseren fra romskip 2, \(x_{L2}\) vil være i \(x_M(t_M)\) ved tiden \(t_M\), og så bevege seg i negativ x-retning. Dermed får vi 

\(\begin{align} x_{L2}(t)&=x_M(t_M)-(t-t_M)\\ &=L/2+vt_M+t_M-t \end{align}\)

Vi vet at når romskip 1 blir truffet av laserstrålen fra romskip to, vil posisjonene deres være de samme. Det vil si at ved tiden \(t_C\) vil \(x_1(t_C)=x_{L2}(t_C)\). VI bruker dette til å finne et uttrykk for tiden til event C.

\(\begin{align} L/2+vt_M+t_M-t_C&=vt_C\\ t_C&=t_M+\frac{L}{2(1+v)} \end{align}\)

Dette viser tydelig at samtidighet er relativt. Altså, hvis ett system har en fart relativt til et system som er i ro, så vil tiden oppleves forskjellig, avhengig av hvilken frame man er i. La oss se hva tidsendringen er mellom event A og C i begge framene. 

\(\begin{align} \Delta t_{AC}&=t_C-t_A=t_M+\frac{L}{2(1+v)}-\bigg(t_M-\frac{L}{2(1-v)}\bigg)\\ &=\frac{L}{1-v^2}\\ \Delta t'_{AC}&=t'_C-t'_A=L-0=L\\ \frac{\Delta t'_{AC}}{\Delta t_{AC}}&=\frac{L}{\frac{L}{1-v^2}}=\frac{1}{1-v^2} \end{align}\)

Ser dette uttrykket kjent ut? Nesten? Hvis du synes det er noe som ser litt suspekt ut, kan vi avsløre at det er suspekt. Dersom dere har hørt om relativitetsteori før, så har dere kanskje hørt om Lorentzfaktoren. Den ser slik ut:

\(\begin{align} \gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} \end{align}\)

I naturlige enheter ser den slik ut: \(\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\). Det vi nesten har utledet nå kalles tidsdilatasjon. Det er noe som skjer når en frame har en fart relativt til et system i ro. For å finne tiden målt i et system som er i ro, må vi gange tiden målt i et system som beveger seg med Lorentzfaktoren. Men hvorfor fant vi ikke det riktige uttrykket? 

Dette skal vi ta ganske kort. Ettersom at tiden nå har blitt en romlig størrelse, kan vi ikke lenger betrakte den som bare et tall. Den er blitt et koordinat. På samme måte som du ville brukt Pythagoras' læresetning for å finne lengden av hypotenusen, må du også kvadrere tiden i relativitetsteorien. Husk at selv om \(a^2+b^2=c^2\), er ikke \(a+b=c\). Det er dette som har skjedd her. 

Nå passer det godt å vise dere et tideromdiagram. Det er et diagram som har posisjon på den ene aksen, og tid på den andre. Vi lar aksene være vinkelrett for systemet som er i ro, og systemet i bevegelse være skvist sammen mot den linja som går i førtifem grader opp fra x-aksen (tilsvarende linja \(y=x\)). Denne linja representerer lysfarten. I vår situasjon har vi eventer som skjer samtidig i det merkede systemet (romskipframen). Vi legger diagrammene oppå hverandre og kan trekke linjer fra eventene til det umerkede systemet (planetframen). 

I figur 3 til høyre kan dere se at alle eventene er plottet inn. Vi kan umiddelbart merke oss at observatøren i midtpunktet, som vi tidligere argumenterte for at måtte observere at lyset krysset henne samtidig i begge framene, fortsatt har rett. Vi har også at origo-eventet er event A. Fra tidsaksen i planetframen kan vi lett lese av hvilken rekkefølge eventene skjer i. Vi ser også at event A og B, og C og D skjer samtidig i romskipframen. Legger dere merke til hvorfor uttrykket vårt for forholdet mellom \(\Delta t'_{AC}\) og \(\Delta t_{AC}\) ble feil? Gode, gamle Pythagoras nok en gang redder dagen. 

Konklusjon

Gitt Einsteins 2. postulat, at lysets hastighet er konstant for alle observatører, har vi funnet ut at samtidige hendelser i ett system ikke nødvendigvis er samtidige i et annet. Det vil si, de er ikke samtidige dersom det ene systemet har en hastighet relativt til et annet. Vi har også vist at tiden observeres forskjellig i de forskjellige systemene. Til slutt fant vi også ut at siden tiden er et koordinat i relativitetsteori, må vi kvadrere differansen for å finne forholdet mellom tiden målt i forskjellige systemer.

Forrige innlegg <<                                                                             Neste innlegg >>