Tvillingparadokset del I

Introduksjon 

I følge relativitetsteorien går en klokke saktere for en observatør, jo større fart den har. Det vil si at klokken for en observatør som drar nær lysfart vekk fra jorda vil gå saktere enn for en observatør som blir stående igjen, i ro. Relativitetsprinsippet tilsier at begge observatørene kan hevde at det er dem som står i ro, og den andre som har en fart. Paradokset oppstår når man prøver å angi hvilken alder de to har. Hvis de er tvillinger skal de være like gamle, men siden begge kan hevde at det var den andre som dro, kan også begge hevde at det er dem selv som har blitt eldre enn den andre. 

Hvem har rett? Dette spørsmålet har fått mange til å gruble. Det finnes mange forklaringer, men bare en som stemmer. Det er denne vi skal finne i dette innlegget.

Situasjonen

Vi har tre planeter. Homey, Destiny og Beyond. Disse planetene har ingen relativ fart seg i mellom, og er derfor i den samme framen. (Hvis du trenger en oppfriskning i uttrykk som frame, event og samtidighet, trykk her for å komme til forrige innlegg. Der kan du lese definisjonene av disse.) Avstanden mellom Homey og Destiny er like lang som mellom Destiny og Beyond, 200 lysår (\(L_0\)). Astronauten Lisa sitter i sitt romskip Apollo-Out. Hun beveger seg med konstant fart, 0.99 c (99% av lysfarten) på vei mot Destiny, før hun umiddelbart snur og reiser tilbake. I romskipet Apollo-In sitter Peter. Han reiser fra Beyond med samme fart som Lisa, mot Homey. Peter og Lisa vil være ved Destiny samtidig. I tabellen under definerer vi tre framer og fem eventer. 

Dere husker vel at alle eventer må ha en posisjon og tid? De kommer her:

Dette er nok veldig forvirrende, men vi skal gjøre så godt vi kan for å forklare de ulike eventene. De posisjonene som ikke har verdier i seg er de vi foreløpig ikke vet hva er. 

Metode

For å løse dette problemet trenger vi noen fysiske prinsipper og definisjoner. 

Tidsdilatasjon 

En observatør som beveger seg med en fart \(v\) relativt til en annen observatør, vil oppleve en tidsdilatasjon (forskyvning av tiden) gitt ved 

\(\begin{align} \Delta t=\gamma \Delta t_0 \end{align}\)

hvor \(\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}\) (Lorentzfaktoren). Merk at vi her bruker naturlige enheter, altså er lysfarten c lik 1.

Lengdekontraksjon

En observatør som måler et legeme med en fart \(v\) i forhold til seg, vil måle en kortere lengde i bevegelsesretningen enn lengden legemet har når det er i ro. Den lengden målt i ro kalles \(\mathcal{L}_0\). Lengden målt av observatøren blir da lengdekontrahert, gitt ved 

\(\begin{align} \mathcal{L}=\frac{\mathcal{L}_0}{\gamma} \end{align}\)

Lorentztransformasjon

Forbindelsen mellom to referansesystemer som har en konstant fart \(v\) i forhold til hverandre, kalles Lorentztransformasjonen. Den er gitt ved 

\(\begin{align} t'&=\gamma(t-vx)\\ x'&=\gamma(x-vt) \end{align}\)

hvor \(v\) er langs med x-aksen.

Tideromintervall

Avstanden mellom to eventer, sett fra ulike referansesystemer er den samme. Denne avstanden kalles tideromsintervallet og er lik for alle observatører. Vi finner intervallet slik:

\(\begin{align} \Delta s^2&=\Delta t^2-\Delta x^2\\ \Delta s'^2&=\Delta t'^2-\Delta x'^2\\ \Delta s^2&=\Delta s'^2 \end{align}\)

I vår situasjon har vi god bruk for disse begrepene. Astronautene har konstant fart relativt til planetene. Det kommer til å bli helt vesentlig å bruke alle sammen i det videre arbeidet med problemene. 

Problemene

Første problem

Vi starter med å se på hva tiden viser på Homey fra Lisa drar til hun kommer tilbake. Husk at vi her har antatt at hun snur retning umiddelbart etter å ha nådd Destiny, og opprettholder således den samme farten hele veien. Homey er i ro i forhold til Lisa. Sett fra planetframen skal Lisa reise en distanse på til sammen 400ly med en konstant fart på 0.99 (lysfart har ingen enhet i naturlige enheter), for å nå Destiny. Vi regner ut tiden ved hjelp av bevegelseslikningene for konstant fart, og finner at hun bruker 404 år på hele reisen. På klokka til Lise, sett fra Homey, vil tiden bli dilatert. Ved bruk av formelen for tidsdilatasjon, kan vi regne ut at Lisas klokke vil vise at den samme turen tok 57 år i Lisas frame. 

Hva skjer så om vi lar Lisas frame være i ro? Det vil se ut for Lisa som om hun står stille mens Homey forsvinner vekk og Destiny kommer mot henne, før det motsatte vil skje igjen, og hun er tilbake på Homey. Nok en gang bruker vi formelen for tidsdilatasjon, med 57 år som tiden målt i det systemet som er i ro. Da får vi at klokka på Homey viser 8 år! Dette er ikke samsvarende. Lisas tvilling på Homey vil enten være 200 eller 8 år eldre, avhengig av hvilken frame vi ser på. Det må være noe som gjør at de to systemene vi ser på her, ikke har de samme egenskapene som vi har forventet! Velkommen til paradoksland. 

Andre problem

Vi lar nå romskipet til Lisa og romskipet som observatøren av event B' kjører i, være koblet sammen av en lang stang som ikke kan bøyes eller lignende. 

I figur 1 ser dere hvordan event A, B og B' ser ut. Siden observatøren i romskipet bak Lisa er koblet sammen med hennes, vil han ha samme fart som henne. Det tilsier at den relative farten er null, og de er da i samme frame. Tiden observatøren leser av på Homey-klokka kan vi finne ved Lorentztransformasjon. Den blir 4 år. Det som skjer videre er at observatøren sender signalet som forteller Homey-observatøren at Lisa har kommet fram til Destiny. Men i planetframen skal ikke dette skje før det har gått 202 år. Det har altså ikke skjedd enda i planetframen. Tidligere, da vi lot Lisa stå i ro, regnet vi ut at turen én vei ville ta 4 år på Homey. Dette er det samme som vi får nå, og grunnen til at det er slik er at avstanden Lise har reist i sin frame er kontrahert. Hun reiser en kortere avstand i sin frame enn i planetframen. Dette viser at samtidighet er relativt. (Trykk her for å lese definisjonen av samtidighet). 

Tredje problem

Tilsvarende stangen Lisa er festet til romskipet bak henne med, er Peter festet til romskipet foran seg. Det er det romskipet som er ved Homey når Peter er ved Beyond. Observatøren der gir signal til Homey om at Lisa har kommet om bord i Peters romskip.

Selv om event B' og B'' skjer ved Homey, betyr ikke det at de skjer samtidig. Det kan se slik ut på figur 2, men det er bare en illustrasjon av situasjonen. 

Det som skjer når event B skjer, er at Lisa blir flyttet over i Peter sitt romskip umiddelbart. Deretter fortsetter de to turen tilbake mot Homey, uten at Peter bremser eller liknende. 

Ved bruk av formelen for tideromavstand kan vi regne oss frem til at klokka til Peter i event B viser det samme som klokka til Lisa i event B. Dermed skjer dette samtidig i begge framene. Videre viser samme formel at observatøren i event B'' leser av at klokka på Homey viser at Peter har brukt 400 år på å reise til Destiny. Har dere skjønt hva som skjer? Vi har etablert at i planetframen bruker Lisa 4 år på å nå Destiny. Det gjør også Peter. Lisa overføres til Peters romskip, signalet sendes i event B'', og da viser klokka på Homey 400 år. 

Løsningen på tvillingparadokset

Vi oppsummerer kronologisk: Når Lisa drar fra Homey og Peter drar fra Beyond, starter alle klokkene sine. For observatøren som står igjen på Homey, bruker Lisa 202 år på komme seg til Destiny. Etter 4 år kommer romskipet i Lisas frame til Homey og gir signal om at Lisa nå har nådd Destiny. I neste øyeblikk kommer romskipet fra Peters frame til Homey og signaliserer at Lisa nå har kommet seg over i hans romskip. Denne observatøren leser da av klokka på Homey, som viser at det nå har gått totalt 404 år. I løpet av det "øyeblikket" har det rast av gårde 400 år. Lisa har da brukt 396 år på den "umiddelbare" overføringen til Peters romskip ved Destiny. 

Misforståelsen de fleste har er at de bruker den spesielle relativitetsteorien. Den er kun gyldig der referansesystemene har konstant relativ fart til hverandre. Det som faktisk skjer er at Lisa må bremse (negativ akselerasjon) og snu, før hun akselererer opp til den gamle farten igjen, nå i motsatt retning. I akselererte systemer er det generell relativitet som gjelder. Når Lisa så returnerer til Homey vil klokkene deres være synkronisert igjen, og hennes tvilling vil være like gammel som henne. Det gjelder for begge klokkene. 

Konklusjon

Vi har brukt tidsdilasjon, lengdekontraksjon, Lorentztransformasjon og tideromavstand til å løse tvillingparadokset. Hvis Lisa reiser fra Homey i 99 % av lysfarten til en annen planet før hun snur og kommer tilbake, vil hun ikke være yngre enn sin tvilling. Grunnen til dette er at relativitetsprinsippet om at begge referansesystemene kan hevde at det er de som er i ro, gjelder kun for systemer med konstant relativ fart i forhold til hverandre. Når Lisa snur for å reise tilbake, må hun akselerere for å få til dette. Da vi antok at dette skjedde momentant, møtte vi paradokset: klokkene viser forskjellig tid, og begge tvillingene er yngre enn den andre. Ved utregninger har vi vist at selve akselerasjonen har tatt 396 år. Med dette har Lisa eldes ekstremt fort på kort tid. Klokkene vil vise det samme for Lisa som på Homey når Lisa kommer tilbake.

I neste innlegg skal vi gå nærmere inn på generell relativitet, og prøve å kvantifisere det som skjer når Lisa snur og reiser tilbake til Homey.

Forrige innlegg <<                                                                             Neste innlegg >>