Innledning
I forrige innlegg leste dere om hvorfor tvillingparadokset egentlig ikke er et paradoks, men en feilaktig oppfattelse av hvordan relativitetsteorien fungerer. Nå skal vi se nærmere på hvordan den generelle relativitetsteorien kan forklare hendelsesforløpet.
Einsteins relativitetsteori dekker har to deler. Den spesielle og den generelle. For at den spesielle skal være gjeldende, må objektet være unnlatt alle ytre krefter. Med en gang objektet befinner seg i et tyngdefelt, vil det virke krefter, og den spesielle delen av teorien slår inn. Vi skal undersøke hvordan vi kan regne ved hjelp av den sistnevnte delen.
Situasjonen
Lisa reiser i romskipet sitt, Apollo-Out, fra Destiny. Hun bremser med en konstant negativ akselerasjon \(g=-0.1\,m/s^2\), målt i planetframen. Ved en tid, \(t_\text{turningpoint}\), er farten hennes 0, og hun begynner å bevege seg tilbake mot Destiny igjen. (Klikk her for å l
ese om situasjonen så langt, og her for å lese definisjonen av event og frame.)
Vi definerer to eventer. Event Y er en serie av eventer som skjer om bord på Apollo-Out, ved tiden \(t_Y\). Event Y' er også en serie av eventer som skjer simultant med event Y i romskipframen. Eventet er at en astronaut i et romskip som er koblet til Lisas romskip (og dermed er i romskipframen) er ved Homey og leser av tiden på Homey-klokka.
Metode
Her bruker vi de samme metodene som i forrige del.
Diskusjon
Vi bruker formelen for tideromintervall til å regne oss fram til at tiden \(t_{Y'}\) når romskipet Lisa sitter i har farten null, må være den samme som \(t_Y\). Dette kunne vi også bare ha argumentert for, siden i det Lisa når turningpoint, vil hun ha null relativ fart i forhold til planetframen, og dermed befinner de seg i det samme referansesystemet. For å tydeligere visualisere hvordan tiden går, plotter vi tiden som går på Homey målt i romskipframen, som en funksjon av tiden som går på Homey, målt i planetframen.
Her ser vi at tiden plutselig gjør en hopp etter ~200 år. Det er her Lisa begynner den negative akselerasjonen. Hun vil observere at tiden plutselig går mye fortere på Homey-klokka enn før hun begynte å akselerere. Tiden det tar Lisa å nå turningpoint kan vi regne ut ved hjelp av formelen for tideromintervall, til å være ca. 296 år, sett fra Homey. Da vi i forrige innlegg fant at Lisa etter 4 år var kommet fram til Destiny, i romskipframen, betyr dette at selve akselerasjonsfasen har tatt 292 år på Homey. Siden vi tenker at bevegelsen til Lisa er symmetrisk etter turningpoint, akselererer hun like fort igjen etterpå, og får den samme farten når hun er tilbake ved Destiny som hun hadde da hun passerte første gangen. Altså må hun ha observert at det har gått 292 år til på Homey, ettersom at hun måtte akselerere igjen for å nå samme fart. Homey-klokka viser da at det har gått totalt 588 år innen hun har nådd Destiny, på vei tilbake til Homey.
Hvor gammel blir Lisa?
La oss se på noen tall for å finne ut av hvor mye Lisa eldes på sin ferd. Vi lar tiden være \(T=0\) i event E, når Lisa har nådd turningpont, og har null fart. Vi lar \(T\) være tiden målt i planetframen og \(T'\) være tiden målt i romskipframen. Her bruker vi tidsdilasjon til koble sammen tidspunktene \(\Delta T\) og \(\Delta T'\), og finner et uttrykk for farten \(v\), uttrykt ved \(T\). Vi summerer opp alle bidragene \(\Delta T\), og finner at Lisa har eldet 74.5 år under akselerasjonsfasen. Dette er alle resultatene vi har fått:
- Planetframen: Lisa brukte 296 år på å komme seg fra Homey til turningpoint, og 296 år tilbake fra turningpoint itl Homey. Total tid på Homey-klokka blir 592 år.
- Romskipframen: Sett på Lisa sin klokke i hennes frame, brukte hun 28.5 år fra Homey til Destiny, og 74.5 år under akselerasjonsfasen. Symmetrien i reisen gir at hun bruker like lang tid fram som tilbake. Total tid i Lisas frame, lest av på hennes klokke blir 206 år.
- Observatør i Lisas frame stasjonert ved Homey hele tiden: Denne observatøren leser av på Homey-klokka at det kun tar 4 år for Lisa å komme seg til Destiny. I det Lia går inn i akselerasjonsfasen, raser tiden på Homey-klokka av gårde. Det går 292 år under denne fasen. Symmetrien gir igjen at total tid målt fra Lisas frame på Homey-klokka er 592 år.
Konklusjon
Under akselerasjonsfasen bytter Lisa referansesystem like ofte som farten endres. For hver tid vil hun ha en fart som gir opphav til en tidsdilasjon. Dersom vi summerer alle disse små bidragene, finner vi ut at selve akselerasjonsfasen Lisa undergår tar 149 år. Hele turen hennes, målt i hennes eget referansesystem tar 206 år, mens det på Homey vil ta 592 år. Det som har vært misforstått som et paradoks, er at så lenge Lisa er i et system med relativ fart og akselerasjon i forhold til et annet, vil tiden alltid vise forskjellig tid. Dette er veletablert i Einsteins relativitetsprinsipp. Dersom vi lar en observatør som befinner seg i Lisas frame lese av tiden på Homey, vil denne observatøren lese av at tiden Lisa bruker på sin reise er 592 år. Det vil si at Lisas tvilling vil være 592 år eldre når Lisa kommer tilbake til Homey enn da hun dro. Lisa på sin side vil være 206 år eldre, men dette gjelder kun så lenge Lisa er i bevegelse! De er altså enige om sine respektive tidsmålinger, og dermed ikke et paradoks lenger.
Forrige innlegg << Nest innlegg >>