Begge to er utstyrt med rekkert av ypperste kvalitet og tennisballen er ikkje ein ball, men eit foton! På denne tennisturneringa er vi òg invitert, både forfattarar og ivrige lesarar, men vi er plassert saman med publikum på romstasjonen OSS for å observere hendingane.
- Askeladden og Tuslingen er i referansesystemet \((x', y')\) der Askeladden er i origo. Dei har begge den same konstante hastigheita i retning venstre i høve til romstasjonen. Avstanden mellom dei er \(L' = 400km\).
- Vi er i referansesystemet \((x, y)\) i origo.
Askeladden og Tuslingen skal no spele tennis med dette fotonet, og det er Askeladden som byrjar med fotonet. La oss no definere nokre hendingar:
- Hending A når \(t = t' = 0\) ved \(x = x' = 0\) der Askeladden slår fotonet mot Tuslingen.
- Hending B der fotonet når Tuslingen og han slår det attende.
- Hending D der fotonet kjem attende til Askeladden etter hending B og han slår det mot Tuslingen nok ein gong.
- Hending C der publikum jublar på romstasjonen, noko som skjer samstundes i \((x', y')\)-systemet med at Tuslingen slår fotonet i hending B.
Det vert utveksla mange djupe stønn frå begge deltakarane under turneringa, men heldigvis oppheldt vi oss i verdsrommet og kunne difor ikkje høyre nokon ting.
La oss fyrst samanlikne tida fotonet brukar frå hending A til B, til tida det brukar frå hending B til D i \((x', y')\)-systemet. Vi skal altså samanlikne \(\Delta t'_{AB}\) og \(\Delta t'_{BD}\). Begge skipa er i same referansesystem og avstanden mellom dei forandrar seg ikkje. Og som vi veit så er ljoshastigheita konstant, sjølv kor fort du måtte bevege deg. Vil ikkje då desse to tidsintervalla vere like? Jau!
Men korleis vil dette sjå ut for oss i publikummet dersom hastigheita til Askeladden og Tuslingen er nær ljoshastigheita? Korleis vil \(\Delta t_{AB}\) og \(\Delta t_{BD}\) sjå ut? Vi vil ikkje sjå nokon ting fordi dei bevegar seg alt for fort for dødelege auge. Neida. Vi er i eventyrets verd, ikkje gløym det. For oss på romstasjonen så bevegar Tuslingen seg (særs raskt vel å merkje) mot fotonet som Askeladden slår mot ham. Når Tuslingen slår fotonet attende, bevegar Askeladden seg frå fotonet. Er det ikkje då opplagt at \(\Delta t_{AB} < \Delta t_{BD}\)? Hugs at hastigheita til ljoset ikkje forandrar seg sjølv om vi er i eit anna referansesystem.
La oss no sjå på noko litt meir realistisk. La oss seie at Askeladden og Tuslingen bevegar seg med ei hastigheit på \(50^{km}/_h\) til venstre i høve til romstasjonen, og at fotonet er ein ball som bevegar seg med ei hastigheit på \(80^{km}/_h\) i høve til skipa. Ballen bevegar seg med same hastigheit i høve til skipa heile tida.
Då skulle ein vel tru at den same formuleringa som vi brukte over òg gjeld her? At når Askeladden slår ballen til høgre, vil den bevege seg mot Tuslingen som vil kome den i møte. Og når Tuslingen slår den attende, vil ballen bevege seg mot Askeladden som på same tid òg bevegar seg bort frå Tuslingen.
Då gjev det vel meining at ballen vil bruke lenger tid frå Tuslingen til Askeladden, enn frå Askeladden til Tuslingen? I praksis hadde vi nok ikkje observert dette grunna dei låge hastigheitane.
Kva om vi legg saman hastigheitane til ballen og romskipa? Frå A til B vil ballen ha ei hastigheit på \(80^{km}/_h + (-50^{km}/_h) = 30^{km}/_h\), og frå hending B til D vil ballen ha ei hastigheit på \(80^{km}/_h + 50^{km}/_h = 130^{km}/_h\).
Då vert det ganske berrsynt at grunn til at ballen brukar mindre tid frå B til D er fordi den har ei høgare hastigheit!
Men kva har dette med fotonet og gjere, høyrer vi dykk skrik ut. Nå må dykk for fysikkens lovar skuld hugse at ljoshastigheita er invariant! Den vil ikkje forandre seg sjølv om fotonet vert skoten ut av eit skip som allereie har ei hastigheit. Det at fotonet vil bruke mindre tid frå B til D er grunna lengdekontraksjon.
Og så har vi denne hending C da.
Tuslingen dreg inn pusten. Han strekkjer ut rekkertarmen og gjer seg klar for fotonet. Plutseleg er det der og Tuslingen slår til alt han maktar medan han gjev ut så brutalt eit stønn at det slår kraftig ut på gravitasjonsbølgjedetektoren hjå LIGO. Publikum jublar.
Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
Alt dette skjer samstundes for Tuslingen, både slaget og jubelen (vi antek at jubelen har like stor hastigheit som fotonet). Men skjer det samstundes for oss i publikum på romstasjonen?
La oss få inn ein upartisk dommar i denne turneringa. Dommaren er Aurikla Kveitkakulien som er plassert midt mellom hending B og C, med same hastigheit i same retning som Tuslingen. Ho vil då vere i same referansesystem som skipa og hending B og C vil då skje samstundes for ho òg. Som vi har nemnt så må fotonet frå Askeladden reise ei kortare distanse for å nå Tuslingen sidan han bevegar seg i retning venstre for stasjonen. For at hending B og C då skal hende samstundes for Aurikla, altså for at ljoset frå både Tuslingen og jubelen frå publikum skal kome fram til Aurikla samstundes, må hending B hende før C.
Forvirra?
Huffda.
Aurikla bevegar seg mot romstasjonen. Jubelen frå publikum vil difor ha ei kortare distanse å reise enn fotonet som kjem frå Tuslingen. For at dei skal kome fram til Aurikla samstundes, må fotonet ha hatt ei tidlegare "avreise". Hending B skjer fyrst.
La oss oppsummere og prove!
Alt dett e kan provast ved å setje opp tidspunkta \(t\), \(t'\) og posisjonane \(x\), \(x'\) for alle hendingane, og frå der bruke at tidromsintervallet er invariant for å finne dei ukjende verdiane. Kva meiner vi med det? Då meiner vi at tidromsintervallet \(\Delta s = \Delta t - \Delta x\) er likt i alle referansesystem. Altså at \(\Delta s = \Delta s'\). Set vi opp desse intervalla mellom kvar hending AB, AC, BC og AD kan vi til slutt finne ut for kva tidspunkt alt skjer i kvart referansesystem. I byrjinga veit vi at
La oss no leggje det vi veit av verdiar inn i tidromsintervalla våre. Då får vi
\(\begin{align*} \Delta s^2_{AB} &= \Delta s'^2_{AB} \\ t_B &= x_B \end{align*}\) \(\begin{align*} \Delta s^2_{AC} &= \Delta s'^2_{AC} \\ t_C &= \sqrt{t'^2_C - x'^2_{C, sek}} \\ &\approx 0.97ms \end{align*}\)
\(\begin{align*} \Delta s^2_{BC} &= \Delta s'^2_{BC} \\ t_B &= \frac{t^2_C + (x'_{C, sek} - x'_{B, sek})^2}{2t_C} \\ &\approx 0.58ms \end{align*}\) \(\begin{align*} \Delta s^2_{AD} &= \Delta s'^2_{AD} \\ t_D &= 2\frac{L'}{c}\frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \\ &\approx 4.39ms \end{align*}\)
Vi har ikkje tenkt å gå inn på mellomrekninga her, men det som er viktig å bite seg merkje i her er at vi må ha same eining på alle storleikane. Her har vi gjort at vi måler posisjon i sekund. Snodig greie det der. Dersom du er nysjerrig på mellomrekninga kan du ta ein titt her.
Og når vi har rekna ut alt får vi det som er vist på følgjande figur:
Her ser vi til slutt at tala støttar argumentasjonen vår om at hending B skjer før hending C.
Var ikkje dette morosamt?! La oss gå over til noko anna.
Kjelder:
- https://www.uio.no/studier/emner/matnat/astro/AST2000/h21/undervisningsmateriell/lecture_notes/part2a.pdf