Vi skal no knekke hjernen vår. Vi skal sjå på kva som skjer med tida når man reiser i så og seie ljoshastigheita frå ein stad til ein annan. Nærare sagt skal vi sjå på korleis forskjellige observatørar vil oppleve denne reisa.
Askeladden fyrar opp den nye motoren og får ei hastigheit på \(v = 0.99c\) og dugeleg bakoversveis med ein gong.
Vi har Askeladden og Tuslingen i skipet deira. I byrjinga vil dei reise frå ein planet, la oss kalle denne Sygard, til ein anna planet 200 ljosår unna, la oss kalle denne Megard. No i byrjinga har vi desse to planetane i referansesystemet \((x, y)\) som er i ro i høve til kvarandre. Skipet med astronautane våre er i referansesystemet \((x', y')\) og er i rørsle i høve til planetane.
Her vil vi ha to hendingar:
- Hending A der skipet forlèt Sygard. Dette skjer ved \(x = x' = 0\) og \(t = t' = 0\), og vi forventar at skipet går frå \(0\) til \(0.99c\) med ein gong utan forseinkingar.
- Hending B der skipet er framme ved Megard.
Då er spørgesmålet: kor lang tid vil dette ta for kongen og kongsdottera som observerar frå Sygard, og kor lang tid vil det ta for Askeladden og Tuslingen?
For observatørane på Sygard er det enkelt. Tida dei vil måle finn vi ved å ta strekninga dei har tilbakelagt og delar på hastigheita, som gjev oss ein \(\Delta t\). Er det da verre å finne tida Askeladden måler? Neida, ikkje så veldig mykje verre. Hugs formelen for tidsdilatasjon \(\Delta t = \frac{\Delta t'}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\) , òg kalla tidsforlenging. Men Askeladden veit da sjølvsagt ikkje kva tidsdilatasjon er for noko. Dei la da ned skulen i bygda før han fekk lære det! Formelen for tidsdilatasjon fortel rett og slett at tida vil gå treigare for den som bevegar seg enn for den som er i ro. Dette gjeld for hastigheitar som nærmar seg ljoshastigheita. Gjer vi litt om på denne formelen kjem vi fram til ein \(\Delta t'\).
Kongen og kongsdottera vil dimed måle at Askeladden brukar 202 år på si reise til Megard, 404 år tur-retur ved symmetriargument, medan Askeladden sjølv vil måle at han brukar om lag 28.5 år på si reise, 57 år tur-retur. Folka på Sygard vil vere daue når Askeladden kjem attende, så dette vil vere skrekkjeleg upraktisk. La oss gå vidare!
No skal vi skifte referansesystem og knekkje den knekte hjernen vår ein gong til! Askeladden og skipet er no \((x, y)\) systemet og er i ro, medan planetane er \((x', y')\) systemet og er i rørsle i høve til Askeladden. Fekk dykk med dykk det?
Askeladden er UMERKA og planetane er MERKA. Få det inn i hovudet.
"Vi er i ro og planetane er i rørsle? Kva meiner du med det, Askeladden?", spør Tuslingen bortkomen som han er.
"Mitt skip er lasta med planetar", svarer Askeladden til Tuslingens fulle forvirring.
Sjå for dykk at Askeladden står i ro med skipet sitt i verdsrommet. Så ladar han den eine skipskanona, men i staden for kanonkuler brukar han planetar.
Han skyt planeten Sygard vekk frå seg (hending A) med ei hastigheit \(v = 0.99c\) (sjå bort frå Newtons tredje lov, Askeladden er framleis i ro). 200ly bak ham har eit anna skip på same tidspunkt skote ut planeten Megard med same hastigheit mot stakkars Askeladden. Hending B er då når Megard treff Askeladden og skipet.
Sidan det vert vist lenger oppe i bloggen at det for Askeladden tok \(\Delta t \approx 28.5\) år frå hending A til hending B (hugs at vi har skifta referansesystem), kva er då \(\Delta t'\) for dei på Sygard dersom dei blir varsla på augeblikket når Megard treff Askeladden?
Når kongen og kongsdottera på Sygard finn ut at Askeladden vert skoten på, får dei planeten til å brått endre retning og reise tilbake til Askeladden for å redde ham. Dette skjer sjølvsagt med ein gong utan noko forseinkingar.
På same tidspunkt som Sygard snur, blir folka på Megard livredde og snur dei òg. Kor lang tid \(\Delta t'\) vil planetane då bruke på attendereisa?
Her brukar vi same formelen for tidsdilatasjon som før, og løyser med omsyn på \(\Delta t'\). Ved å bruke symmetriargument ser vi at planetane vil bruke like lang tid fram som attende.
Pluggar vi inn verdiane våre i formelen får vi at planetane vil oppleve å bruke 4 år fram og 4 år attende, totalt 8 år på reisa.
"Men dette vert då rart", seier Askeladden og klør seg i hovudet.
La oss gå over alt og få ei lita oversikt.
Heilt i byrjinga oppe i toppen av bloggposten i referansesystemet til planetane, brukte Askeladden totalt 404 år på reisa si frå Sygard til Megard og attende til Sygard. Men Askeladden opplevde sjøl berre å bruke totalt 57 år på reisa.
Så bytta vi om på referansesystema der Askeladden skaut planetar med kanona si. Her opplevde Askeladden framleis at planetane brukte totalt 57 år fram og attende, men kongen og kongsdottera på Sygard opplevde no berre totalt 8 år fram og attende!
ALTSÅ: Askeladden blir 57 år eldre uansett, men kongen og kongsdottera blir anten 404 år eldre eller 8 år eldre.
Dette, våre kjære lesarar, er det såkalla tvillingparadokset.
Så KVA er då problemet? Kva er det som vert gjort feil?
Vi tek ikkje omsyn til fartsendring. La oss gå attende til der planetane var i det umerka referansesystemet og Askeladden i det merka referansesystemet. Her må Askeladden bremse ned når han når Megard, snu og akselerere opp att for å kome attende til Sygard. Planetane er framleis i ro i det same referansesystemet og opplever ikkje noko slik fartsendring, men Askeladden byte referansesystem idet han akselererar.
Når Askeladden deakselererar og akselererar fell relativitetsteorien saman. Uttrykket vårt for tidsdilatasjon er nemleg meint for konstante hastigheiter. Dette uttrykket er då ikkje lenger gyldig. Her må det meir til!
Kjelder:
- https://snl.no/tidsdilatasjon