Venane våre i dette store eksperimentet er nøydd til å tenkje på akselerasjonen som Askeladden og skipet hans gjennomgår under reisa. La oss no leggje til eit par hendingar til, for kven likar vel ikkje fleire hendingar å halde styr på?
- Hending Y som refererar til ei hending som skjer i posisjonen til Askeladden og skipet hans ved tida \(t_Y\).
- Hending Y' som skjer i same x-posisjon som Sygard, der ein observatør i det merka referansesystemet med like stor hastigheit som skipet les av klokka på Sygard. Sjå for deg at ein Tusling 2, Electric Boogaloo.
La oss òg seie at Askeladden får ein akselerasjon på \(a = g = -0.1 ^m/{s^2}\) når han passerar Megard, og dimed byrjar å deakselerere. For å bruke denne akselerasjonen i dei vidare utrekninga må vi gjere han dimensjonslaus. Den dimensjonslause akselerasjonen blir \(\frac{g}{c}\). Det er no ting blir spanande. Vi skal no nemleg sjå på korleis tida på Sygard vil sjå ut for Tusling 2 under den akselererte fasa. Kva blir \(t_Y\) og kva blir \(t_{Y'}\)?
Ut frå ein del rekning og mykje algebra kjem vi fram til ein formel for \(t_{Y'}\) med omsyn på \(t_Y\):
\(t_{Y'} = t_Y - \left(L_0 + v_0(t_Y - t_B) + \frac{1}{2}\frac{g}{c}(t_Y - t_B)^2\right)v\), der \(v = \frac{g}{c}(t_Y - t_B) + v_0\).
Dersom vi har ei tid for hending Y i det umerka systemet, altså planetsystemet, kan vi bruke denne for å finne tilsvarande tid for hending Y'.
Vi tek utgangspunkt i tidspunktet der Askeladden har deakselerert så mykje at han til slutt står i ro, \(t_{turn}\). Det er her han vil snu og byrje reisa si attende til Sygard. Denne er gjeve ved \(t_{turn} = t_B + t = t_B - \frac{v_0}{g}c\).
\(t\) finn man ved å setje opp ei vanleg rørslelikning og setja \(v=0\).
Pluggar man inn tal får man at \(t_{turn} = 296 \)år. Folka på Sygard vil altså sjå at Askeladden brukar totalt 296 år fram til han står i ro, 202 fram til Megard og 94 år på å bremse opp. Men kva vil Tusling 2 lese av på klokka på Sygard sedd frå systemet til Askeladden? Set vi \(t_Y = t_{turn}\) og legg det inn i formelen for \(t_{Y'}\) får vi ut denne tida.
Men hald hesten din litt no!
Hugs at dette er tida da Askeladden vil vere i ro, altså \(v = 0\). Då vil heile leddet til høgre for \(t_Y\) falle bort \(\Rightarrow t_{Y'} = t_Y - 0 = t_Y\). Tusling 2 vil lese av den same tida! Det vil seie at dei er enige om tida fram til Askeladden er i ro! Og det er her lykelen ligg: i ro. Når Askeladden stoppar opp og er i ro vil han vere i det same referansesystemet som planetane, og tida dei måler vil difor samsvare.
For Askeladden har det altså gått 296 år på å kome til eit stopp litt etter å ha passert Megard. Trekkjer vi frå dei fire åra han brukte frå Sygard til Megard som han sjølv målte, får vi at for Askeladden tek deakselerasjonen 292 år.
"Kjære vakre vene, eg må skaffe meg ein hobby" sukkar Askeladden.
Ved symmetri så vil han då bruke 292 år på å akselerere opp att for heimreisa, og når då Megard att etter ei total tid på \(4 + 292 + 292 = 588\) år. Det er denne tida ein vil lese av klokka på Sygard dersom ein er i systemet til Askeladden på tur attende.