På denne siden finner du kortfattede oppsummeringer av hver forelesning, hovedsakelig med tanke på dem som ikke kunne være til stede.
Mandag 17/8:
I første time ga jeg praktisk informasjon og noen få råd om undervisningen og opplegget for emnet og en kort oversikt over hovedtemaene i emnet: komplekse tall, kontinuitet, derivasjo med anvendelser, integrasjon og flere variable.
I andre time begynte jeg så med en innføring om komplekse tall motivert som løsninger av likninger. Jeg viste regneregler og konjugasjon, alt fra seksjon 3.1, og vil onsdag fortsette med en geometrisk tolkning.
Onsdag 19/8
I første time viste jeg en geometrisk tolkning av kompleks addisjon og multiplikasjon, I begge tilfeller med punkter i et koordinatplan med første akse som reell akse og andre akse som imaginær akse. Addisjon sammenfaller da med vektoraddisjon, mens multiplikasjon ble tolket ved hjelp av polarkoordinater. Siste del av forklaringen vil bli tatt opp igjen imorgen torsdag.
I andre time hadde vi matematikkrådets test. Takk for deltakelsen i testen. Den er viktig for å sammenligne matematikkferdighetene blant begynnerstudenter over tid.
Torsdag 20/8
I første time startet jeg med å vise forholdet mellom polarform og a+ib form til komplekse tall, og fortsatte med å tolke absoluttverdien til et uttrykk med komplekse variable. Dette gir grunnlag for en geometrisk tolkning av ulikheter. I andre time definerte jeg potenser av e med kompleks eksponent og viste De Moivres formel. I et eksempel viste jeg til slutt hvordan denne forenkler regning av potenser av komplekse tall.
Mandag 24/8
I første time viste jeg hvordan ethvert komplekst tall ulik null har n forskjellige n-te røtter, og i andre time brukte jeg dette til å løse andregradslikninger med komplekse koeffisienter. Til slutt viste jeg hvordan en andregradslikning med reelle koeffisienter enten har to reelle, en reell eller to kompleks konjugerte løsninger.
Onsdag 26/8
I denne dobbeltimen forklarte jeg algebraens fundamentalsetning ogbrukte den til å vise at alle reelle polynomer kan faktoriseres i reelle polynomer av grad 1 og 2.
komplekse røtter til et reelt polynom opptrer i konjugerte par som er røttene til andregradsfaktorene i denne faktoriseringen.
Torsdag 27/8
Vi definerte øvre og nedre skranker, deretter supremum og infimum. Så på
en del eksempler. Formulerte kompletthetsprinsippet (for minste øvre
skranker), og utledet deretter det tilsvarende for største nedre skranker.
Til slutt brukte vi kompletthetsprinsippet til å vise at kvadratroten av 2
finnes (er et reelt tall).
Amandip Sanghas forelesningsnotater
Mandag 31/8
Amandip Sanghas forelesningsnotater
Onsdag 2/9
Definisjonen av kontinuitet for funksjoner ble nøye gjennomgått og anvendt på noen eksempler. Sammen med setningen om kontinuitet for sum, produkt og kvotient av funksjoner fikk vi dermed vist at alle rasjonale funksjoner er kontinuerlige der nevneren er ulik null. Under forelesningen brukte jeg overhead med kamera.
Scannede notater
Mandag 7/9
I første time viste jeg skjæringssetningen og brukte så ideer fra beviset til i andre time å vise ekstremalverdisetningen.
Onsdag 9/9
Jeg viste først definisjonen på grense og sammenlignet den med definisjonen på kontinuitet. Deretter diskuterte jeg regnereglene, ga noen eksempler og et bevis for produktregelen. I andre time ga jeg definisjonen på den deriverte til en funksjon, og regneregler for denne. Til slutt viste jeg bruk av produkt og kjerneregelen i et eksempel. Det er flere mindre resultater i boka som jeg ikke har omtalt i forelesningene som likevel er aktuelle i oppgaver til neste uke, så vær forberedt på å lese hele avsnitt 6.1 i boka når du løser oppgaver.
Mandag 14/9
Jeg begynte med å vise formelen for logaritmisk derivasjon. Deretter viste jeg rolles setning og middelverdisetningen med sine første konsekvenser. Jeg begynner onsdag på L'Hopital.
Onsdag 16/9
I første time viste jeg L'Hopitals regel og anvendelser av denne, mens jeg i andre time definerte lokale ekstrempunkter, kritiske punkter og konveksitet/konkavitet til bruk i drøfting av funksjoner.
Mandag 21/9
Studerte flere eksempler på maksimums- og
minimumsproblemer (avsnitt 7.1) og koblede hastigheter (avsnitt 7.2).
Dette krevde ingen ny teori.
Avsnitt 7.1: Man formulerer et maksimerings- eller minimeringsproblem i
form av en funksjon, og forsøker å finne maksimums- eller minimumspunkt
til denne. Eventuelle maks/min-punkter finner man blant nullpunktene til
den deriverte av funksjonen.
Avsnitt 7.2: Den deriverte av funksjonen uttrykker endringsraten til den
opprinnelige funksjonen. I praktiske problemer kan man ofte tolke dette
som hastigheten til et objekt.
Amandip Sanghas notater
Onsdag 23/9
Tema: omvendte funksjoner.
Snakket om funksjoner og tilhørende definisjonsmengder og verdimengder.
Formulerte egenskapen injektivitet, som var nødvendig for å snakke om
omvendte funksjoner.
Fra avsnitt 7.4: Studerte eksempler på injektive funksjoner og deres
omvendte funksjoner. Fant den deriverte til den omvendte funksjonen
uttrykt ved den deriverte av den opprinnelige funksjonen.
Fra avsnitt 7.6: Studerte arcusfunksjonene arcsin, arccos, arctan og
arccot, altså de omvendte funksjonene til de trigonometriske funksjonene
sin, cos, tan og cot. Fant deretter de deriverte av disse såkalte
arcusfunksjonene.
Amandip Sanghas notater
Mandag 28/9
Integralet ble introdusert, ved hjelp av øvre og nedre trappesummer. Deretter ble analysens fundamentalsetning vist. (8.2 og 8.3 i læreboka)
Onsdag 30/9
Først gjennomgikk jeg grundig fundamentalsetningen og anvendelser av denne, både til areal og volumberegning of til derivasjon. Så definerte jeg det ubestemte integralet og viste regneregler for det.
Mandag 12/10
Jeg definerte Riemann-integralet som en grense av Riemannsummer og viste hvordan det kan brukes i beregninger av omdreiningslegemer og buelengde av en graf.
Onsdag 14/10
Den første timen introduserte jeg delvis intergrasjon og viste anvendelser med flere eksempler, inkludert et eksempel med et induksjonsbevis. Den andre timen viste jeg prinsippene for substitutsjonsmetoden, og illustrerte dem med eksempler. Et eksempel inkluderte bruk av omvendte funksjoner. Til sammen gir de to metodene stor fleksibilitet i beregning av integraler.
Mandag 19/10
Denne dobbeltforelesningen brukte jeg til å forklare delbrøkoppspalting og hvordan den kan rukes til å finne integralet til rasjonale funksjoner. Onsdag vil jeg derfor konsentrere meg om uegentlige integraler.
Onsdag 21/10
Uegentlige integraler ble definert for kontinuerlige funksjoner på halvåpne intervaller der den ene grensen kan være uendelig som grenser av bestemte integraler når disse grensene fins. Det å regne ut et uegentlig integral er ikke alltid så lett, men å avgjøre om integralet konvergerer kan være lettere. På slutten av forelesningen viste jeg noen slike kriterier.
Mandag 26/10
Dette var første forelesning i fra heftet "Flervariabelanalyse med lineær algebra". Algebra og geometri til "n-tupler" med tolkning som punkter og som vektorer var tema. Det vil si en utvidelse av vektorregning fra 2 og 3 dimensjoner til n dimensjoner for vilkårlig n.
Onsdag 28/10
I første time introduserte jeg parametriserte kurver og ga eksempel på slike. Ikke minst hvordan en linje i n-rommet kan parametriseres. Deretter diskuterte jeg ulike produkt med vektorer, og ga regneregler og tolkninger av vektorproduktet av vektorer i 3-rommet.
Mandag 2/11
Forelesningen startet med geometri, parametrisering av og likning for plan i rommet, deretter introduserte jeg matriser og viste hvordan matrisemultiplikasjon er definert, både ut fra motiverende konkrete eksempler og mer generelt for vilkårlige matriser.
Onsdag 4/11
Matrisemultiplikasjon har en identitet. Identitetsmatrisen, transponering og invers matrise til kvadratiske matriser ble introdusert og beregnet i konkrete eksempler. Det ble også gitt eksempler på matriser som ikke har en invers, såkalte singulære matriser.
Mandag 9/11
Determinanter til 2- og 3-dimensjonale matriser ble motivert og introdusert hovedsakelig med en geometrisk tolknng, men også knyttet til inversen til en kvadratisk matrise. Spesielt viste jeg at 2x2 matrisen har en invers hvis og bare hvis determinanten er ulik null, og at for 2x2-matriser er XA=I dersom AX=I, der I er identitetsmatrisen.
Onsdag 11/11
Funksjoner fra R^n til R^m ble introdusert som vektorfunksjoner når m>1 og skalarfunksjoner når m=1. Videre definerte jeg kontinuitet og gjorde rede for sammensetninger av kontinuerlige funksjoner som også er kontinuerlige. Grensebegrepet er litt vanskeligere for slike funksjoner enn for funksjoner i en varabel. Dette ble vist i et eksempel der grensen for en skalarfunksjon langs ulike linjer varierer. Den generelle definisjonen for grense vil vi komme tilbake til mandag 16.
Mandag 16/11
Den retningsderiverte til en funksjon i flere variable langs en bestemt retningsvektor har en geometrisk tolkning som stigningstallet til tangenten til grafen i denne retningen multiplisert med lengden til retningsvektoren. Den kan enklest beregnes ved hjelp av de partiell deriverte, som jo selv er retningsderiverte. Funksjonen vokser mest i retningen til gradientfunksjonen.
Onsdag 18/11
Forelesningene dekket siste del av pensum: En gjennomgang av den derverte til funksjoner fra R^n til R^m, det vil si hvilken rolle partiell deriverte, gradient og til slutt Jacobi matrisen spiller for slike funksjoner som generaliserer definisjonen av den deriverte av en funksjon i en variabel. Definisjon og entydighet til Jacobi matrisen (avsnitt 2,6 i "FLAVA"-heftet er siste del av pensum.
Mandag 23/11
I denne første av to repetisjonsforelesninger diskuterte jeg grenser og ulke argumenter for og beregninger av grenser. Først et eksempel på en følge a1=0, an=1/5 an-1 +1, som har grensen 5/4 hvis den fins. For å vise at grensen fins brukte jeg kriteriet om at en monoton og begrenset følge konvergerer. Nøkkelargumentet er at an-1<an <=> an-1<5/4. Her er litt flere detaljer enn jeg hadde på forelesning: Definisjonen av an viser at an-1 < 5/4 <=> an <5/4. Ved induksjon kan en derfor vise at an-1< a_n < 5/4 for alle n. Kriteriet over gir så konvergens av følgen.
Det neste grenseeksempelet var kontinuitet for en funksjon med delt oppskrift, der en skulle beregne delta for en gitt epsilon. I en eksamensoppgave fra 07 brukte jeg også definisjonen av kontinuitet til å vise at mengden av reelle tall der en kontinuerlig funksjon ikke er null er åpen.
Det siste grensetilfellet var beregning av et uegentlig integral med øvre grense uendelig. Definisjonen sier at integralet er grensen til et bestemt integral, så utregningen ble derfor en beregning av et bestemt integral med øvre grense b som jeg så etterpå fant grensen til når b går mot uendelig.
Onsdag 25/11
I denne siste forelesningen gjennomgikk jeg ordinær eksamen for høsten 2008.
Løsningsforslag for denne fins på semesersiden for kurset høsten 2008.