Christian Doppler - langt-vekk observatøren
Doppler-effekten viser seg å være veldig vanlig i vårt vidunderlige, men merkelige univers. Til og med i tyngdefelt klarer altså ikke disse ☀️lysene å oppføre seg🌍. Vi tenker oss nå at vi har en skallobservatør på et skall med posisjon \(r \), som peker en laserstråle radielt ut fra masse-sentrum. Laserstrålen har en bølgelengde \(\lambda_{SH}\) observert på skallet, og en bølgelengde \(\lambda\) observert av en langt-vekk observatør. Vi har at frekvensen til laserstrålen er
\(\begin{align} \nu_{SH} = \frac{1}{\Delta t_{SH}}\hspace{1cm}\nu = \frac{1}{\Delta t} \end{align}\)
der \(\Delta t_{SH}\) er tiden mellom to bølgetopper på laserstrålen sett av skallobservatøren, og \(\Delta t \) er tiden mellom to bølgetopper på laserstrålen sett av langt-vekk observatøren.
Det første vi begynner med er å finne en sammenheng mellom disse to tidsintervallene, siden det kan bli nyttig senere. Da kan i bruke at tideromsintervallet \(\Delta s^2\) er invariant, og kan sette opp
\(\Delta s_{SH}^2 = \Delta s^2\)
Vi antar at vi ikke har noen variasjon i \(\phi\)-retning, siden vi peker strålen radielt ut. Skallobservatøren kan som nå kjent måle i Lorentz-geometri lokalt, mens langt-vekk observatøren må bruke Schwarzschild-geometri. Dermed vil vi få at
\(\Delta t_{SH}^2 - \Delta r_{SH}^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\Delta t^2 - \frac{\Delta r^2}{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)}\)
Videre blir vi nødt til å definere eventer for intervallene våre i likningen. Vi definerer det første eventet som en bølge som kommer ut av laserstrålen, og et annet event som eventet der neste bølge kommer ut, slik at tidsintervallet mellom eventene er \(\Delta t_{SH}\) og \(\Delta t \) bare er tiden mellom de to bølgetoppene, slik som vi fastslo i starten av innlegget. Dermed vil posisjonene til begge eventene skje på samme sted, og vi får at \(\Delta r_{Sh} = \Delta r = 0\), som forenkler likningen vår til
\(\Delta t_{SH}^2 = \left(1 - \frac{2M}{r}\right)\Delta t^2\)
som gir oss forholdet
\(\Delta t_{SH} = \sqrt{1 - \frac{2M}{r}}\Delta t \)
mellom tidsintervallet til de to observatørene. Dermed kan vi bruke at bølgelengder kan skrives som
\(\begin{align} \lambda = \frac{c}{\nu} \end{align}\)
der \(c \) er lyshastigheten og \(\nu \) er frekvensen. Siden vi jobber med naturlige enheter er \(c = 1\) og bølgelengden kan måles i enten sekunder eller meter (til og med kg om vi vil, bare fantasien stopper oss). Vi bruker frekvensene \(\nu_{SH}\) og \(\nu\) til å finne bølgelengdene \(\lambda_{SH}\) og \(\lambda\), og får at
\(\begin{align} \lambda_{SH} = \Delta t_{SH}\hspace{1cm}\lambda = \Delta t = \frac{\Delta t_{SH}}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} \end{align}\)
Vi vet at dopplerskiftet skrives som
\(\begin{align} \frac{\Delta\lambda}{\lambda_0} = \frac{\lambda - \lambda_0}{\lambda_0} \end{align}\)
der \(\lambda_0\) for oss nå blir vår målte bølgelengde \(\lambda_{SH}\). Dermed kan vi sette opp Doppler-effekten
\(\begin{align} \frac{\Delta \lambda}{\Delta \lambda_{SH}} = \frac{\lambda - \lambda_{SH}}{\lambda_{SH}} = \frac{\frac{\Delta t_{SH}}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - \Delta t_{SH}}{\Delta t_{SH}} = \frac{\left(\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - 1\right)\Delta t_{SH}}{\Delta t_{SH}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - 1 \end{align}\)
og dermed fant vi Doppler-effekten vi får fra Schwarzschild-geometrien til tyngdefeltet som
\(\begin{align} \frac{\lambda - \lambda_{SH}}{\lambda_{SH}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - 1 \end{align}\).
Husk at koordinatet \(r \) måler hvor skallobservatøren befinner seg. Dersom vi har at \(r >> 2M\), altså veldig langt unna massen, vil uttrykket \(\frac{2M}{r} \approx 0\). Dermed kjører vi en Taylor-utvikling av Doppler-effekten ovenfor. Noter at en Taylorutvikling er en rekkeutvikling av polynomer som er gitt som
\(\begin{align} f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots = \sum_\limits{i=0}^\infty \frac{f^n(a)}{n!}(x-a)^n \end{align}\)
Der vi ikke kan bruke en \(x\) som er veldig ulik \(a\), siden dette da blir en dårlig tilnærming (Taylor-serier er kun approksimasjoner). Vi bruker da at
\(\begin{align} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} - 1\;,\hspace{1cm} x = \frac{2M}{r}\;,\hspace{1cm} a = 0 \end{align}\)
der vi kan utvikle rundt \(a = 0\) siden \(\frac{2M}{r} \approx 0\) når \(r >> 2M\), som er tilfellet vi ønsker. Vi får at
\(\begin{align} & f(0) = 0 \\ & f'(0) = \frac{1}{2}\left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-\frac{3}{2}} \approx \frac{1}{2} \\ & (x - a) = \frac{2M}{r} \end{align}\)
Vi ser bort ifra leddene som kommer etter den første ordens deriverte, siden vi der har \((x-a)^2,\; (x-a)^3\)-ledd (og utover) som blir veldig veldig små (husk at \(x = \frac{2M}{r} \approx 0\)) slik at de for alle praktiske formål er 0. Dermed får vi at gjennom Taylorutviklingen at for \(r >> 2M\) at
\(\begin{align} \frac{\lambda - \lambda_{SH}}{\lambda_{SH}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2M}{r}}} - 1 \approx 0 + \frac{1}{2}\cdot\frac{2M}{r} = \frac{M}{r} \end{align}\).
Dette viser seg kan være en veldig nyttig tilnærming i diverse tilfeller, og dersom du er interessert i å se oss bruke dette i noen utregninger + litt til kan du finne det i PDF-en i linken rett nedenfor
Ekstra utregninger for de spesielt interesserte - PDF
Hva kom vi egentlig frem til?
Det vi kom frem til var en formel for Doppler-skiftet som en lysstråle får ved å reise radielt ut fra et objekt med et tyngdefelt (dette er en viktig forenkling), som vi ikke hadde funnet tidligere (men vi fant det relativistiske doppler-skiftet for spesiell relativitet i Del 8 på denne posten). Vi brukte også at tiderommet er invariant til å utlede det, og gjorde også en Taylorutvikling av resultatet vi fant for å finne en veldig nyttig sammenheng dersom lyskilden ligger langt unna \(2M\).
I neste del av bloggen kommer vi til å gå bort ifra relativitet for denne gang, men begynner på en ny interstellar reise: stjerneliv!
Forrige innlegg << Neste innlegg >>