Vi unnslipper et sort hull

Situasjonen vi befinner oss i 

Vi befinner oss i et romskip plassert en avstand \(R = 20M\) ut fra et sort hull med massen \(M\) (husk at vi kan måle masse i meter og vice versa). Raketten har en retning på \(\theta = 167^\circ\), der \(\theta\) er definert som vinkelen mellom den radielle posisjonsvektoren til romskipet og hastighetsvektoren til romskipet, som illustrert i figur 1, som betyr at vi har retning mot det sorte hullet. Hastigheten til romskipet målt fra skallet rundt \(R = 20M\) blir målt til \(v_{SH} = 0.993c\), altså \(v_{SH} = 0.993\) i naturlige enheter (husk at \(c=1\)). Raketten har et angulær moment \(L \) og en masse \(m\).

i det vi er ved skallet på \(R = 20M\) slutter plutselig rakettmotoren vår å slutte, og herfra ligger skjebnen vår i det sorte hullet. Det eneste vi nå kan gjøre er å regne på om vi skal dø, eller ikke.

Potensielt utfall (pun intended) 

Vi blir igjen nødt til å studere potensialet rundt et sort hull, slik som vi gjorde i innlegget om Lys i bane om sorte hull. Forskjellen denne gangen er at vi studerer et objekt med masse, ulikt som sist da vi studere lys som ikke har noen masse. Jeg skisserer opp hvordan et typisk potensiale for et sort hull ser ut: 

Husk at vi nå er i fritt fall, og det er ingen eksterne krefter som virker på oss annet enn det sorte hullet vi faller inn mot. Formelen for potensialet ser slik ut 

\(\begin{align} V(r) = \sqrt{\left(1 - \frac{2M}{r}\right)\cdot \left(1 + \left(\frac{L}{mr}\right)^2\right)} \end{align}\)

Legg merke til at dersom \(r \rightarrow \infty\) vil vi nå ha at \(V(r) \rightarrow 1\), mens vi vanligvis er vandt med at \(V(r) \rightarrow 0\) når vi er uendelig langt unna i Newtonisk mekanikk. Dette er fordi vi i Newtonisk mekanikk ikke inkluderer hvilemassen til objektet, mens vi her nå får at massen pr. energi er \(\frac{E}{m} = 1\), fordi hvilemassen er med uttrykt i potensialet. Dermed er det \(\frac{E}{m} = 1\) som nå blir referansepunktet vårt, og ikke \(\frac{E}{m} = 0\) slik som vi har i Newtonisk mekanikk. Det er dermed energien vår per masse som bestemmer om vi kommer til å bli slukt av det sorte hullet eller ikke, siden det er det som bestemmer hvor på potensialkurven vi ender opp. Vi tegner opp fyren i vogna slik som vi gjorde for lys på potensial-bakken vi har i figur 2:

Siden referansepunktet vårt nå er \(\frac{E}{m} = 1\) når vi er uendelig langt unna blir vi nødt til å måle alt av potensiale derfra. Dersom vi har en energi per masse mindre enn 1, vil vi havne ned i potensialgropa, og ikke komme oss ut igjen. Dermed vil vi ligge å vugge frem og tilbake mellom potensialet \(\frac{E}{m} < 1\) som vi hadde da vi kom inn, som representerer at vi går i ellipsebane rundt det sorte hullet. Dermed vil vi aldri komme oss vekk fra det sorte hullet med mindre vi kan fikse rakettmotoren, og gi oss selv en solid boost ut av banen. 

Det neste tilfellet vi har er dersom \(\frac{E}{m} >\frac{E_{crit}}{m}\), som vi kan tegne opp på samme måte: 

Vi ser på figur 4 at dersom vi overstiger den kritiske energien per masse at vi kommer til å gå over bakketoppen, og forsvinne ned i det uendelige og aldri klare å komme oss ut igjen. Dette er det samme som at vi blir fanget av det sorte hullet, og havner innenfor eventhorisonten, som betyr at vi går rett mot døden.

Vi har enda et tilfelle, som er \(1 < \frac{E}{m} < \frac{E_{crit}}{m}\). La oss tegne det opp:

På samme måte ser vi at dersom vi har en energi per masse mellom 1 og den kritiske energien per masse, vil vi havne opp på potensialkurven uten å overstige den kritiske energien per masse. Men siden vi nå hadde en \(\frac{E}{m} > 1\) vil vi ikke lenger bli fanget i potensialet, og blir sendt ut av tyngdefeltet til det sorte hullet. Dette er det mest ønskelige utfallet for oss i romskipet, som ikke ønsker å hverken være fanget for alltid eller slukt av det sorte hullet. Dette er utfallet vi ønsker. 

MERK: For de skarpere av dere så dere (eller gjenkjente) kanskje et ekstra tilfelle jeg ikke tok med: dersom \(\frac{E}{m} = \frac{E_{crit}}{m}\). Dette betyr at vi har akkurat nok energi per masse til å komme oss på toppen, og havne i en ekstremt ustabil sirkelbane (merk at \(r\) da blir konstant) rundt det sorte hullet. Et lite dytt til hver side vil enten sende oss inn i det sorte hullet, eller på vei ut igjen, slik som med lys.

Hvordan kan vi finne ut om vi dør?

For å finne ut om vi dør eller ikke kan vi regne ut hva vår energi per masse er. Husk at denne størrelsen er konstant, så dersom vi måler den ett sted gjelder den over alt i tyngdefeltet til det sorte hullet. Deretter må vi finne hva spinn per masse \(\frac{L}{m}\) er, slik at vi kan plotte kurven for potensialet vårt rundt det sorte hullet, og sammenlikne vår energi per masse \(\frac{E}{m}\) med den kritiske energien per masse på kurven \(\frac{E_{crit}}{m}\). Husk at spinnet \(L\) er en bevart størrelse, dermed er spinn per masse \(\frac{L}{m}\) også en bevart størrelse (siden massen er invariant). Dermed holder det å måle dette kun ett sted, og det vil gjelde over alt i tyngdefeltet. Siden vi ikke kjenner massen \(M \) kan vi regne ut alle størrelsene per masse \(M\), og vi blir kvitt all avhengighet av massen \(M\). Vi regner ut størrelsene våre (du kan se hvordan vi kommer frem til dette i PDF-en nedenfor), og får at spinn per masse per \(M\) blir

Her gjør vi noen ekstra utregninger for de spesielt interesserte - PDF

\(\begin{align} \frac{L}{m} = 37.823 \end{align}\)

Dermed kan vi plotte potensialkurven vår rundt det sorte hullet og regne ut \(\frac{E}{m}\) og sammenlikne:

Dette er som fryktet... vi er på vei inn mot det sorte hullet! Den oransje-stiplede linja forteller meg at vi har en energi per masse som er større enn den kritiske energien per masse (markert som rød prikk på figur 6) jeg må ha for å forsvinne inn i det sorte hullet. Det betyr at vi kommer til å bli fanget av det sorte hullet dersom vi ikke fikser rakettmotorene kjapt! Jeg kan ikke engang forestille meg hva slags fryktelig død som venter meg der... Eller jo, det kan jeg faktisk! La meg beskrive det for deg! 

Spaghettifisering 

Tro det eller ei, men dette er faktisk den vitenskapelige termen på effekten jeg skal beskrive for dere nå. Vi kan regne ut (se PDF ovenfor) at etter vi krysser eventhorisonten vil det ta oss 4.77s til vi har nådd singulariteten i det sorte hullet med antakelsen om at det er like stort som Sagittarius A (det sorte hullet i melkeveien) som har en masse på \(M \approx 4\cdot10^{6}M_{\odot}\). På denne tiden vil vi allerede ha blitt spaghettifisert. Hva er det? 

Når vi nærmer oss sentrum av det sorte hullet vil tid og rom være så krummet, at tyngdefeltet ikke lenger virker likt over alt på kroppen vår. Tyngdefeltet vil være så forskjellig, at bena våre blir trukket på mye mer enn overkroppen slik at bena s t r e k k e s ut, mens overkroppen forblir intakt (enn så lenge). Siden singulariteten trekker alt radielt inn mot seg, vil bena våre presses sammen til en syltynn strek, og vi ser effekten av at vi blir til 🍝𝒮𝓅𝒶𝑔𝒽𝑒𝓉𝓉𝒾 🍝, forsøkt illustrert i figur 7, der jeg har forsøkt tegne på kreftene som virker på den uheldige fyren som falt inn i det sorte hullet. Du skjønner kanskje hvorfor jeg ikke vil inn i det sorte hullet? Derfor er jeg nødt til å løpe av steds nå, vi har nemlig ekstremt hastverk med å fikse rakettmotorene våre slik at vi ikke blir spaghettifisert! Men det var hyggelig å treffe på deg, og forhåpentligvis møtes vi kanskje på neste blogg-innlegg!

(GIFs hentet fra https://giphy.com/explore/spaghettification og https://makeagif.com/gif/spaghettification-fi2vzJ)

Forrige innlegg <<                                                                             Neste innlegg >>