Forelesning 29/11 (Ulrik). Jeg gjennomgikk følgende eksamensoppgaver: Oppgave 2 og 10 i del 1 (2016), oppg 4 i del 2 (2014), oppg 2 i del 2 (2016), oppg 2 i del 2 (2015). De to sistnevnte handler om differensligninger og er ikke relevante for MAT-IN1105.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 26/11 (Knut). Vi er ferdig med pensum og i dag gjennomgikk jeg tre eksamensoppgaver: Oppgave 1 fra del 2 høsten 2015, oppgave 3 og 4 fra del 2 eksamen høsten 2016.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 22/11 (Knut). Tema i dag var representasjon av tekst på datamaskin, seksjon 4.3 i kompendiet. Dette høres kanskje ikke så veldig matematisk ut, men det ligger gode, logisk prinsipper bak, og ikke minst er det nyttig allmennkunnskap. Og dermed er dere kjent med hvordan både tall og tekst representeres på datamaskin.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 20/11 (Vegard). Komp. 12.2.2, 12.2.4, 12.3.2, 12.3.4, 13.6.1a, 13.6.1b.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd integration.py
Forelesning 19/11 (Knut). I dag gikk vi tilbake og repeterte numerisk derivasjon, særlig feilanalysen med både trunkeringsfeil og avrundingsfeil for den enkleste metoden (Newton kvotienten), se seksjon 11.2 i kompendiet.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 15/11 (Ulrik). I dag gikk vi grundigere gjennom numerisk integrasjon (eller "numerisk kvadratur"), kapittel 12 i kompendiet. Alle metodene (midtpunktmetoden, trapesmetoden og Simpsons metode) går ut på å dele opp intervallet [a, b] i n mindre intervaller, og i hvert av disse intervallene tilnærme f(x) med et polynom p(x) (hhv. en konstant funksjon, en lineær funksjon og et annengradspolynom).
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 13/11 (Vegard). Vi gjorde ferdig oppgave 3 fra eksamen 2016. Deretter løste vi oppgaver i Kalkulus: 10.5.3a, 10.6.2, 10.6.6.
pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 12/11 (Vegard). I første time repeterte halveringsmetoden og sekantmetoden før vi gikk gjennom Newtons metode. Deretter så vi på konvergens av de ulike metodene ved å se på et eksempel. Til slutt snakket vi om stoppekritere for disse metodene. I andre time skiftet vi tema til differensialligninger og så på hvordan feilen i Euler og Eulers midtpunktmetode reduseres med forskjellig rate, når vi velger h liten. Til slutt begynte vi på oppgave 3 fra eksamen 2016. Resten av denne oppgaven kommer på plenumsregning.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd. zeros_of_functions.py conv_rate.py
Forelesning 8/11 (Vegard). Vi gikk gjennom halveringsmetoden og sekant metoden, samt litt feilanalyse på begge metodene.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd. Kode.
Plenum 6/11 (Øyvind). Kalkulus 10.1.3d), 10.3.3, 10.4.9. Den siste rakk vi ikke i sin helhet. Løsningsforslag for hele kan du finne her.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning 5/11 (Ulrik). Denne forelesningen avsluttet vi stoffet om numeriske ligninger for differensialligninger. Vi tok først for oss høyereordens metoder (seksjon 13.4 i kompendiet), spesielt Eulers midtpunktmetode og Runge-Kutta-metodene. Vi så deretter på høyereordens differensialligninger (altså med flere deriverte av x), og hvordan disse kan gjøres om til systemer av førsteordens differensialligninger (seksjon 13.5). Dette er fint fordi vi da kan anvende alle våre numeriske metoder også på slike diffligninger. Til slutt startet vi såvidt på kapittel 10.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 1/11 (Knut). Nok en forelesning som startet med differensialligninger, denne gangen mer om andreordens, inhomogene ligninger. Vi så på den generelle teknikken for å finne partikulærløsninger og regnet et eksempel, se seksjon 10.6 i Kalkulus. I andre time startet vi med definisjonen av det bestemte integralet og så hvordan vi fra det kunne utlede noen enkle metoder for numerisk integrasjon, se seksjonene 12.1 og 12.2 i kompendiet.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 30/10 (Vegard). Komp. 9.2.3ab, 9.2.4ab, 9.2.5.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 29/10 (Knut). I dag var det enda mer differensialligninger, denne gangen analytisk løsning av andreordens, lineære ligninger med konstante koeffisienter, seksjon 10.5 og 10.6 i Kalkulus. Vi utledet oppskriften for å løse homogene ligninger ved hjelp av det karakteristiske polynomet og så på de tre forskjellige tilfellene som dukker opp. På slutten rakk vi også å se litt på inhomogene ligninger — vi fortsetter med det på torsdag.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 25.10 (Ulrik). Vi fortsatte med differensialligninger. Vi gikk raskt gjennom løsningsmetodene for førsteordens lineære (seksjon 10.1-10.3 i Kalkulus) og separable (seksjon 10.4) differensialligninger. Vi gikk så tilbake til numeriske metoder for førsteordens differensialligninger: Med et litt uformelt argument viste vi at Eulers metode har en feil som kan begrenses med \(Ch\) for en konstant \(C\) -- metoden er altså av første orden. Vi så også at i problemer der løsningen endrer seg fort (så \(x'(t)\) eller \(x''(t)\) er veldig store) vil Eulers metode gi store oscillasjoner. En implisitt metode, som Implisitt Euler, vil fungere mye bedre.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 23.10 (Vegard). Kalkulus: 11.2.5, 11.2.6, 11.2.9.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 22.10 (Ulrik). I dag var temaet numerisk derivasjon og differensialligninger. Vi utledet approksimasjoner av den deriverte \(f'(a)\) som bare inneholder funksjonsverdier \(f(a-h), f(a), f(a+h)\) for et lite tall \(h>0\). Vi utledet også et feilestimat som sier at Newtons differansekvotient har en feil mindre enn \(Ch\), mens sentrale differanser har en feil mindre enn \(Ch^2\). Vi fortsatte så med differensialligninger -- så på noen eksempler på ligninger, noen klasser av ligninger som du har lært å løse eksakt på videregående, og vi utledet Eulers metode for å løse ligningen numerisk.
Forelesning: pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning 18.10 (Knut). Tema for fortsatt restleddet i Taylors formel. Vi så på et lite program som regnet ut tallet e ved hjelp av Taylor-polynomet og vi så på et annet eksempel fra Kalkulus (seksjon 11.2, eksempel 11.2.5) på hvordan et integral kan beregnes ved hjelp av Taylor-polynomer. Til slutt gikk vi raskt gjennom interpolasjon, seksjone 9.2.1 og 9.2.2 i kompendiet.
Forelesning: pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum 16.10 (Vegard). Vi snakket litt om Taylor-polynomer med og uten restledd. Kalkulus: 11.1.2, 11.1.11, 11.2.1.
Forelesning: pdf. Video 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 15.10 (Knut). Vi repeterte først raskt definisjonen av Taylor-polynomet og så deretter hvordan vi kunne utlede feilleddet fra analysens fundamentalteorem (seksjon 11.2 i Kalkulus), inkludert Lagrange-formen. På slutten så vi på et eksempel som illustrerte hvordan vi kan bruke feilleddet til å estimere feil.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 04.10 (Ulrik). Vi begynte med taylorpolynomer og studerte uttrykket for tangenten p til en funksjon f i et punkt a. Motivert av at tangenten ligger nærme funksjonen, spør vi oss om vi kan finne et n-tegradspolynom p slik at p og f både deler funksjonsverdi og alle deriverte opp til orden n i punktet a. Vi viste at det finnes et unikt polynom med denne egenskapen, og det kaller vi "taylorpolynomet til f av grad n i punktet a". Med eksempelet f(x)=sin(x) så vi at vi får en bedre tilnærming når vi øker graden n til polynomet.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Plenum tirsdag 02.10 (Vegard) Kalkulus: 4.1.5a, 4.2.5b. Komp: 6.5.4. Kode. Datamaskinen i auditoriet hadde bare python 2 installert, så koden er skrevet for python 2. Legg merke til at jeg hadde en liten feil i koden på forelesning. Dette gjorde at noen av de første tallene som ble regnet ut var feil. Resultatet blir uansett at vi får overflow. Har oppdatert kodefila.
pdf Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 01.10 (Knut). I dag hadde vi en liten repetisjonsforelesning. Tanken var at dette kunne være nyttig før eksamen for dere som tar MAT-INF1100. Og for dere som tar MAT-IN1105 er det forhåpentligvis nyttig å litt innsikt i det som har skjedd i MAT-INF1100 i første halvdel av semesteret.
Forelesning: pdf. Grafisk oversikt over pensum. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 27.09 (Ulrik). Vi så på to eksempler på modellering av fysiske fenomener ved hjelp av differensligninger.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd (jeg glemte dessverre å skru på opptak første halvdel av forelesningen)
Plenum tirsdag 25.09 (Vegard). Kompendiet: 4.1.2abc, 4.2.5ab, 5.2.2, 5.2.6ab. Jeg rakk ikke oppgave 5.2.6cd og 5.2.4. Her er mine notater til dem.
pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 24.09 (Ulrik). Vi tok for oss annenordens inhomogene differensligninger med konstante koeffisienter. Hovedresultatet i denne seksjonen sier at hvis vi klarer å finne én enkelt løsning \(\{x_n^p\}\) av den inhomogene ligningen, så vil alle andre løsninger \(\{x_n\}\) kunne skrives på formen \(x_n = x_n^p + x_n^h\), der \(\{x_n^h\}\) er en løsning av den tilhørende homogene ligningen (som vi jo lærte å løse i Seksjon 4.1). Partikulærløsninger \(\{x_n^p\}\) finner vi ved å gjette på en løsning av samme form som høyresiden \(f(n)\) (for eksempel et polynom eller en trigonometrisk funksjon).
Vi gikk også over til seksjon 6.3 og 6.5 i kompendiet, der vi så hvordan vi beregner løsninger av differensligninger, og vi så at avrundingsfeil i visse tilfeller kunne gjøre stor skade på nøyaktigheten i beregningene.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 20.09 (Ulrik). Vi fortsatte å finne løsninger av annenordens, homogene differensligninger med konstante koeffisienter. Ved å studere det karakteristiske polynomet til differensligninga fant vi løsninger på formen \(r^n\) (og \(nr^n\) når det bare er én rot), der \(r\) er en rot av det karakteristiske polynomet. Vi beviste det essensielle superposisjonsprinsippet: Ved å summere løsninger av differensligninger eller gange dem med konstanter, får vi nye løsninger.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
LaTeX-forelesning tirsdag 18.09 (Knut). Dette var en kort demonstrasjon av LaTex.
Kopi av endelig LaTeX-dokument. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum tirsdag 18.09 (Vegard). Komp. 3.2.2ab, 3.2.5ac, 3.3.3ab, 3.3.7.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 17.09 (Knut). Vi studerte kansellering, en viktig effekt av representasjonen av reelle tall i datamaskinen. Dette stoffet finner du i seksjon 5.2 i kompendiet, særlig eksempel 5.12. Vi definerte også relativ feil og så hvordan denne kan gi et mål på antal riktige siffer i en flyttallsrepresentasjon. Den siste halvtimen brukte vi på å introdusere differensligninger (seksjon 4.1 i Kalkulus), og vi gjennomgikk griunntanken i hvordan andreordens, homogene ligninger med konstante koeffisienter løses. Merk at vi gjennomgår stoff litt raskt nå for å gi dere det grunnlaget dere trenger for å løse oppgavene i obligen.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning torsdag 13.09 (Knut). Vi gjennomgikk først lemma 3.22 i kompendiet som forteller oss hvilke reelle tall som har en endelig sifferutvikling i \(\beta\)-tallsystemet. Deretter gikk vi over til å se på representasjon av heltall og reelle tall i datamaskin, seksjonene 4.1 og 4.2 i kompendiet.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Plenum tirsdag 11.09 (Vegard). Vi løste oppgaver i Kalkulus. Oppgave. 1.4.2b, 1.4.5, 1.4.8a, 2.1.8, 2.1.9, 2.1.10. 2.2.8. Jeg rakk ikke oppgave 2.2.9, men den er stort sett det samme som 2.2.8. Bruk at hvis n ikke er et kvadrattall, så vil en av primtallsfaktorene forekomme et odde antall ganger. Jeg legger ved et løsningsforslag på 2.3.6.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 10.09 (Ulrik). Vi fortsatte med representasjon av desimaltall i andre tallsystemer. Gjennom et eksempel beviste vi at representasjonen av et desimaltall i et vilkårlig tallsystem er unik, såfremt man ser bort fra tall som ender med en uendelig rekke av siffer \(d_i = \beta-1\). Vi så også på to algoritmer for å beregne sifrene til et tall. Vi avsluttet med observasjonen at et tall \(a\) er irrasjonelt hvis og bare hvis tallet har en rekke med siffer som gjentar seg uendelig mange ganger.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 06.09 (Ulrik). Vi introduserte forskjellige tallsystemer og diskuterte fordeler og ulemper med få eller mange sifre i tallsystemet: I \(\beta\)-tallsystemet trenger vi \(\beta\) forskjellige symboler for tall; jo mindre \(\beta\) er, jo mindre rom er det for feillesing av et siffer; og et tall med \(n\) sifre kan uttrykke \(\beta^n\) forskjellige tall. Gjennom et eksempel beviste vi at representasjonen av et tall i et vilkårlig tallsystem er unik, og ut av beviset fant vi en algoritme for å beregne sifrene. Vi rakk også innom de binære (\(\beta=2\)) og hexadesimale (\(\beta=16\)) tallsystemene, og fant ut at det er lett å konvertere mellom disse: Enhver sekvens av fire bits blir til én hexadesimal, og vice versa. Stoffet er hentet fra seksjon 2.1, 2.2, 3.1 og 3.2 i kompendiet.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 30.08 (Knut). Vi fortsatte med reelle tall og beviste at \(\sqrt{2}\) er et irrasjonalt tall. I andre time så vi på en del grunnleggende egenskaper for reelle tall og avsluttet med kompletthetsprinsippet. Alt dette er stoff fra seksjonen 2.3 og 2.4 i Kalkulus.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Plenum tirsdag 28.08 (Vegard). Vi snakket kort om hvordan plenumsregningene er lagt opp og løste deretter oppgaver. Kalkulus: 1.1.3ad, 1.1.6a, 1.2.2. Jeg skulle også regne 1.2.5, men dette rakk jeg ikke. Jeg har derfor lagt ut notatene mine.
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 27.08 (Knut). Vi fortsatte med stoff om heltall, mer presist binomialteoremet i seksjon 1.4. Selve formelen \((a+b)^n=\sum_{i=0}^n {n \choose i}a^{n-i}b^i\)er ikke så veldig komplisert i seg selv, men den inneholder mange symboler og kan virke vanskelig å få oversikt over. En nøkkelobservasjon er å gjenkjenne at koeffisientene er hentet fra rad n i Pascals trekant. I tillegg er vi opptatt av å bevise at formelen er riktig og da må vi bevise at binomialkoeffisientene \({n \choose i}\) har samme egenskap som tallene i Pascals trekant, nemlig at et tall i en rad er summen av de to tallene rett over (i foregående rad). For binomialkoeffesienter svarer dette til\({n+1 \choose i} = {n \choose i-1} + {n \choose i}\). En måte å vise dette på er å begynne med høyre side, sette inn definisjonen av binomialkoeffisientene og så forenkle. Det var dette vi gjorde i første time på forelesningen i dag, se notatene under.
I andre time så vi på reelle tall, seksjon 2.1 og 2.2. Dessverre glemte jeg å skru på igjen opptat etter pausen, så den delen fins det ikke noe webcast fra. Det betyr at dere må hjelpe meg å huske på å skru på opptak etter pausen!
Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd
Forelesning torsdag 23.08 (Knut). Tema i dag var induksjonsprinsippet eller induksjonsbevis, seksjon 1.2 i Kalkulus. Vi gjennomgikk et konkret induksjonsbevis i detalj, og løste en oppgave i tillegg. På grunn av tekniske problemer ble det litt dårlig tid på slutten.
Notat om induksjon: pdf. Forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.
Forelesning mandag 20.08 (Knut). I første time ga jeg litt generell info rundt emnet, og i andre time begynte vi så smått på matematikken ved å se litt på seksjon 1.1 i Kalkulus.
Presentasjon: pdf, forelesning: pdf. Video: 480p, 720p, 1080p. Lyd.