Fredag 26/11 (forelesning, Mike). Gikk gjennom mesteparten av Del 2 av fjorårets eksamen.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 22/11 (forelesning, Mike). Gikk gjennom Oblig 2 og Del 1 av fjorårets eksamen.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 19/11 (forelesning, Mike). Gikk gjennom feilanalysen av Newtons metode, som viser at den har kvadratisk konvergens. Utledet også sekantmetoden.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 15/11 (forelesning, Mike). Vi studerte Eulers metode for et system av første ordens ligninger, og så hvordan vi kan konvertere en annen ordens ligning til et system av to første ordens ligninger. Etterpå begynte vi på nullpunktsmetoder. Vi studerte halveringsmetoden, og begynte å se på Newtons metode.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 12/11 (forelesning, Mike). Vi utledet løsningen til homogene differensialligninger når røttene er komplekse. Etterpå så vi på hvordan vi løser inhomogene ligninger når høyresiden tillater det. Vi så et eksempel hvor høyresiden er et (lineært) polynom. Vi begynte også å se hvordan å løse en andre ordens ligning numerisk: et triks er å omskrive den som et system (par) av første ordens ligninger. Neste uke skal vi se hvordan vi kan utvide Eulers metode til å løse slike ligningssystemer. Jeg måtte bruke tavlen igjen.
lignende notater fra 2020, pdf
Onsdag 10/11 (forelesning, Mike). Vi begynte på andre ordens differensialligninger. Vi skal bare studere de som er lineære og har konstante koeffisienter. Da bruker vi den karakteristiske ligningen (husk løsningsmetoden for differensligninger!), og formen av løsningen er avhengig av hvordan røttene er. Det er tre tilfeller vi må behandle (igjen, analogt med løsningsmetoden for differensligninger). Vi gikk gjennom tilfeller (i) og (ii). Jeg måtte bruke tavla igjen, så det er dessverre ingen opptak.
lignende notater fra 2020, pdf
Mandag 08/11 (forelesning, Mike). På grunn av teksniske problemer, måtte jeg forelese på tavlen i dag. Så det er ikke noe opptak og det er ingen notater. Jeg gikk gjennom seksjonene i Kalkulus om løsning av første ordens differensialligninger: (i) lineære ligninger (Sek. 10.1) og separable ligninger (Sek 10.4). Gikk også gjennom en god del eksmpler, og anvendelser, blant annet modellering av dyrepopulasjoner (10.2.1, 10.4.4) og modellering av vannet som renner ut av et kar (10.4.5).
lignende notater fra 2020: pdf1, pdf2
Fredag 05/11 (forelesning, Mike). Måtte avlyse forelesningen fordi pennen til smartboardet i Sophus Lie fungerte ikke. Planen var å gå gjennom to klasser av første ordens differensialligninger som kan løses analytisk (eksakt), (i) lineære ligninger (Kalkulus, Sekson 10.1) og (ii) separable ligninger (Kalkulus, Seksjon 10.4). Jeg har gitt beskjed til matnat-drift om det tekniske problemet. Hvis problemet er løst innen mandag, skal jeg forelese på mandag.
Mandag 01/11 (forelesning, Mike). Vi studerte differensialligninger av første orden, og utviklet en metode, Eulers metode, for å løse dem numerisk. Vi utledet også Eulers midtpunktmetoden, som har høyere nøyaktiget. Begge metodene kommer fra numerisk derivasjon, hvor vi approksimerer den første deriverte med en "differansekvotient" (Newton quotient).
pdf, opptak av forelesning
Fredag 29/10 (forelesning, Mike). Vi studerte trapesregelen og Simpsonsregelen. Midtpunkt- og trapes-metodene har O(h^2) konvergens, Simpsonsmetode har O(h^4) konvergens.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 25/10 (forelesning, Mike). Vi studerte midtpunktmetoden for å approksimere integralet av en funksjon. Vi utledet et feilestimat basert på restleddet i en passende Taylorapproksimasjon.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 22/10 (forelesning, Mike). Vi så på diverse metoder for å estimere den deriverte av en funksjon, gitt måleverdier i noen punkt. Vi brukte Taylorapproksimasjoner med restledd til å analysere feilen, både med og uten effekten av avrundingsfeil.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 18/10 (forelesning, Mike). Vi studerte polynominterpolasjon, og fant en metode for å finne polynomet basert på Newtonformen. Nå har vi sett to måter å approksimere en funkson med et polynom på: Taylorapproksimasjon og polynominterpolasjon.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 08/19 (forelesning, Mike). Vi utledet formler for feilen, eller "restleddet", R_nf(x) i Taylorapproksimasjon. Vi viste blannet annet at R_nf(x) ser ut som neste ledd i Taylorutviklingen, og er relativt lett å huske. Vi så på en anvendelse av formlen: vi estimerte feilen når vi bruker en Taylorapproksimasjon til å beregne e^x. Vi fant ut hvor stor n må være for å tilfredstille en gitt toleranse på feilen.
pdf, opptak av forelesning
Onsdag 06/10 (forelesning, Mike). Gikk gjennom Oppgaver 10,12,13,14,15,16,18 fra fjorårets midtveiseksamen (H2020).
pdf, opptak av forelesning
Mandag 04/10 (forelesning, Mike). Vi begynte på Taylorapproksimasjon. Fant formelen for Taylorapproksimasjonen av orden n til en funksjon f(x) om et punkt x = a. Det er et polynom av grad <= n. Vi tok eksponentialfunksjonen og sinus og cosinus som eksempler av f(x).
pdf, opptak av forelesning
Fredag 01/10 (forelesning, Mike). I første timen så vi på hvordan løsningen til en differensligning kan være ustabil, i den forstand at en liten endring i initialbetingelsene kan føre til en stor endring i løsningen når n er stor. Ustabiliteten oppstår når initialbetingelsene er slik at koeffisienten til det dominante leddet i den generelle løsningen er 0. Denne ustabiliten oppstår hvis det skjer avrundingsfeil enten i initialbetingelsene eller koeffisientene i ligningen (Kap. 6, Kompendiet). Etter det gikk vi gjennom de første 9 oppgaver fra midtveiseksamen H2020.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 27/09 (forelesning, Mike). Vi studerte videre modellen for en smittsom skydom og diskuterete grensen va løsningen når n går til uendelig. Etterpå begynte vi på å løse inhomogene ligninger. Vi finner en løsning på formen x_n = x_n^h + x_n^p.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 24/09 (forelesning, Mike). Vi fortsatte med homogene annen ordens ligninger, og vi utledet den generelle løsningen i tillfelle (ii) en rot, og tilfelle (iii) to komplekser røtter. Vi så på flere eksempler. Vi begynte å studere en ligning som oppstår fra en modell for en smittsom sykdom, og vi skrev en liten pythonscript for å løse den numerisk.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 20/09 (forelesning, Knut Mørken). Differensligninger var tema i dag, fra kapittel 4 i Kalkulus. Vi begynte med å se på et par eksempler som gir opphav til førsteordens og andreordens differensligninger. Deretter så vi hvordan vi kan løse homogene og lineære ligninger av begge typer. Merk at det ikke ble gjort opptak av første time.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 17/09 (forelesning, Mike). Vi definerte absolutt og relativ feil og så hvordan relativ feil er en god måte å måle feil på når vi bruker flyttall, både selve avrundingsfeil, og feilen som oppstår når vi bruker addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon (flops). Store feil kan oppstå fra addisjon og subtraksjon. Vi nevnte til slutt differensligninger. Vi skal se hvordan å løse de neste uke.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 13/09 (forelesning, Mike). Tema i dag var representasjon av heltall og reelle tall i datamaskin, seksjonene 4.1 og 4.2 i kompendiet. Vi begynte også på kapittel 5 og kom fram til algoritmen for addisjon av flytall (algoritme 5.8).
pdf, opptak av forelesning
Fredag 10/09 (forelesning, Vegard) Vi jobbet mer med tallsystemer. Vi så på relasjonen mellom tall i 2 og 16 tallsystemet og vi så på sifferutviklingen til rasjonale tall i intervallet (0,1). Til slutt løste vi oppgave 3.3.7 i kompendiet.
pdf, opptak av forlesning, tmp234.py
Mandag 06/09 (forelesning, Mike). Vi så hvordan både heltall og tall i (0,1) kan representeres i ulike siffersystemer, Kapittel 3, Kompendiet.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 03/09 (forelesning, Mike). Formulerte kompletthet av R ved bruk av minste øvre skranker. Vi begynte å diskutere desimalformen av reelle tall og hvordan vi kan skille mellom de rasjonale og de irrasjonale. Dette gjelder også for totallsystemet. Til slutt gikk vi gjennom noen av ukeoppgavene til Uke 1.
pdf, opptak av forelesning
Onsdag 01/09 (forelesning, Mike). Mer fra Seks. 2.2. Viste at ethvert åpnet intervall inneholder rasjonale og irrasjonale tall. Brukte Arkimedes' prinsipp.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 30/08 (forelesning, Mike). Begynte på Kap. 2, Intervaller, trekantulikheten, rasjonale og irrasjonale tall, og kombinasjoner av de. Viste at kvadratroten av 2 er irrasjonalt.
pdf, opptak av forelesning
Fredag 27/08 (forelesning, Mike). Vi gikk gjennom et nytt eksempel av induksjonsbeviset, Bernoulli's ulikhet, og snakket litt om generaliseringer av induksjonsprinsippet. Så var det binomialteoremet, binomialkoeffisienter, og Pascal's trekant, Seksjon 1.4 fra Kalkulus.
pdf, opptak av forelesning
Onsdag 25/08 (forelesning, Mike). Tema i dag var induksjon, seksjon 1.2 i Kalkulus. Vi gikk gjennom to induksjonsbevis i detalj i et forsøk på å tydeliggjøre kjernen i induksjonsprinsippet. Husk at P_n er et utsagn (ikke et tall, ikke en ligning!). Det er to ting å vise: (i) at P_1 er sant og (ii) at hvis P_k er sant er også P_{k+1} sant.
pdf, opptak av forelesning
Mandag 23/8 (forelesning, Mike). Vi startet med litt informasjon om emnet. I andre time diskuterte vi noen grunnleggende egenskaper ved summetegnet.
pdf intro, pdf summetegn, opptak av forelesning