Mandag 23. august. Jeg snakket først litt om kurset og spesielt om hvordan man finner frem på nettsidene. Deretter snakket jeg litt om hvordan en matematisk tekst er bygget opp og hva ord som "teorem", "setning", "lemma", "korollar", "definisjon", "eksempel" osv. står for. Jeg snakket også litt om mengdenotasjon og funksjonsnotasjon, og til slutt også litt om logikk og bevisføring (det siste gikk litt fort, så jeg tar nok noe på nytt i morgen).
Notater (fra den delen av forelesningen som foregikk på Smartboard). Opptak.
Tirsdag 24. august. Avsluttet først gjennomgangen av bevistyper ved å snakke om motsigelsesbevis. Som et eksempel viste jeg at \(\sqrt{2}\) er irrasjonal. Vil du vite mer om bevis og bevistyper, anbefaler jeg disse videoene fra MatRIC-TV. Deretter begynte jeg på kapittel 3 om komplekse tall. Jeg rakk gjennom hele seksjon 3.1 og omtrent halvveis inn i seksjon 3.2 (jeg viste den geometriske tolkningen av multiplikasjon, men har ikke sett så mye på "oversettelsen" mellom vanlige koordinater og polarkoordinater).
Notater. Opptak.
Torsdag 26. august: Gikk gjennom resten av seksjon 3.2 og nesten hele 3.3. Sier noen ord til om 3.3 neste gang før vi går videre med 3.4. Opptaket er delt i to (før og etter pause) side teksteprogrammet sliter ekstra mye med store filer.
Notater. Opptak før pause (her gjør jeg en tabbe helt på slutten som jeg retter opp rett etter psuse). Opptak etter pause.
Mandag 30. august: Avsluttet seksjon 3.3 og fortsatte med seksjon 3.4 der jeg viste hvordan man finner n-te røtter av komplekse tall. Jeg demonstrerte metoden ved å finne tredje- og fjerderøtter. Helt til slutt utledet jeg abc-formelen for komplekse annengradsligninger, men rakk ikke å regne et eksempel. Det gjør jeg neste gang og fortsetter så med oppgaveregning.
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Tirsdag 31. august: Viste først ved et eksempel hvordan man løser en kompleks annengradsligning, og brukte så resten av dagen på oppgavegjennomgang. Jeg rakk ikke alt jeg hadde planlagt, men måtte nøye meg med å skissere løsningene til 3.3.11 og obligen fra 2018.
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Torsdag 2. september: Gjennomgang av Algebraens fundamentalteorem og kapittel 3.5. Fokus på komplekse og relle polynomer og faktorisering av disse. Gjorde oppgave 3.5.4 og et par eksempler. Blir flere oppgaver og eksempler (i hvert fall på snublegruppa) på mandag. Lykke til videre!
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Mandag 6. september: Snakket først om kompletthetsprinsippet (seksjon 2.3), som jeg tok ganske grundig til tross for at det egentlig hører hjemme i MAT-INF1100. På slutten av første time begynte jeg på seksjon 4.3 om følger. Etter pausen begynte jeg med å definere konvergens av følger (tøff, men viktig definisjon!), og gikk deretter gjennom en del regler og eksempler. Det gikk kanskje litt i forteste laget for mange, men vi kommer tilbake til disse temaene i neste forelesning.
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Tirsdag 7. september. Jeg fortsatte å snakke om følger og utdypet først noen av temaene fra forrige gang. Helt på slutten av første time beviste jeg teorem 4.3.9, og etter pause gjennomgikk jeg et eksempel av samme type som 4.3.10. De siste 10 minuttene snakkel jeg litt om funksjoner og definisjonsmengder (se begynnelsen på seksjon 5.1). Dessverre glemte jeg å sette på opptak etter pausen, men jeg har funnet en erstatningsfil fra 2014 som gjennomgår mye av det samme stoffet, men på et litt annet eksempel.
Notater. Opptak fra første time. Erstatningsvideo for andre time (dere kan kutte rundt 1.07).
Torsdag 9. september. Litt kort forelesning i dag siden jeg måtte avslutte tidlig og rotet bort en del tid i begynnelsen på å forsøke å rette opp en zoom-lenke som ikke fungerte (det kan være greit å vite til en annen gang at man kan bruke møte-ID-en til å koble seg på hvis ikke lenken fungerer). Dere som ser på opptak, må nok spole litt i første del av opptaket. Ellers var temaet for dagen kontinuitet, og jeg fikk dekket det jeg trenger fra seksjon 5.1.
Notater. Opptak fra første time. Opptak fra andre time.
Mandag 13. september: Gikk igjennom seksjon 5.2 om skjæringssetningen og (nesten hele) seksjon 5.3 om ekstremalverdisetningen. For å spare tid, slo jeg sammen beviset for 5.3.2 og beviset for 5.3.5 i ett argument, selv om dette kanskje gjør det litt vanskeligere å følge med. Tar med et kort eksempel på bruk av ekstremalverdisetningen neste gang.
Notater. Opptak fra første time. Opptak fra andre time.
Tirsdag 14. september: Etter et kort eksempel på bruk av ekstremalverdisetningen brukte vi resten av tiden på seksjon 5.4 om grenseverdier. Det er ganske mange forskjellige versjoner av grenseverdier å holde styr på, og jeg nøyde meg med å gi en uformell beskrivelse av de fleste (presise definisjoner står i læreboken). Jeg la også vekt på hvordan man kan bruke grenseverdier til vise at en funksjon er kontinuerlig. Vi skal arbeide mer med grenseverdier når vi kommer til L'Hôpitals regel i seksjon 6.3.
Notater. Opptak av første time. Opptak av andre time.
Torsdag 16. september: Begynte på kapittel 6 om derivasjon og understreket at praktisk derivasjon er noe vi går ut ifra dere kan. Før pausen snakket jeg litt om definisjonen, litt om derivasjonsregler og litt om "praktisk bruk" av derivasjon (som i eksempel 6.1.8). Etter pausen snakket jeg først om logaritmisk derivasjon og begynte deretter på seksjon 6.2 om middelverdisetningen, som jeg akkurat rakk å bevise. Det viktigste med denne setningen er hva den kan brukes til, og det skal jeg gi en del eksempler på neste gang.
Notater. Opptak av første time. Opptak av andre time.
Mandag 20. september: Viste først noen eksempler på bruk av middelverdisetningen (ganske nær opp til eksemplene i boka) og gikk deretter over til å snakke om L'Hôpitals regel fra seksjon 6.3. Jeg tok eksempler på de fleste typer ubestemte uttrykk, men måtte utsette beviset for regelen til neste gang.
Notater. Opptak første time. Opptak andre time.
Tirsdag 21. september: Gikk først gjennom Cauchys middelverdisetning og beviset for L'Hôpitals regel i tilfellet "\(\frac{0}{0}\)". Deretter gikk jeg raskt gjennom seksjon 6.4 med hovedvekt på hvordan vi drøfter funksjoner i praksis. Jeg forklarte den geometriske definisjonen av konveks og konkav og beskrev sammenhengen med fortegnet til \(f''\) (setning 6.4.7) uten å komme inn på beviset. Avsluttet med å regne et langt og detaljert eksempel.
Notater. Opptak første time. Opptak andre time.
Torsdag 23. september: Gikk først raskt gjennom seksjon 6.5 om asymptoter med hovedvekt på metoden i 6.5.5. Brukte så metoden på et ganske utfordrende eksempel. Fortsatt med seksjon 7.1 om uoppstite maks./min.-problemer. Det er ikke noe nye teori her, bare et spørsmål om å lære seg å beherske mer utfordrende problemer. Regnet fire eksempler med økende kompleksitetsgrad (det siste var eksempel 7.1.3 i Kalkulus.
Notater. Opptak første time. Opptak andre time.
Mandag 27. september: Litt kort forelesning i dag siden den elektroniske pennen sviktet i starten av forelesningen. Jeg begynte med å gå igjennom fire eksempler på koblede hastighetsoppgaver fra seksjon 7.2. Deretter begynte jeg på sekjon 7.4 der jeg definerte injektive funksjoner og inverse funksjoner. Jeg nevnte at strengt voksende og strengt avtagende funksjoner er injektive, og jeg regnet et eksempel av samme type som eksempel 7.4.3 der vi faktisk kan finne den omvendte funksjonen.
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Tirsdag 28. september: Flere tekniske problemer - denne gangen var det et opptak av foregående forelesning som dro ut og gjorde at jeg ikke kunne logge meg på før 10 minutter ut i forelesningstiden. Dødtiden brukte jeg til å fortelle dem som var til stede, alt om midtveiseksamen. Det viktigste av det jeg sa, vil bli oppsummert på semestersiden i løpet av de nærmeste dagene. Jeg fortsatte deretter å snakke om omvendte funksjoner. Jeg prøvde å forklare hvorfor teoremene 7.4.5 og 7.4.6 er sanne uten å gi fullstendige bevis, og jeg regnet et eksempel av samme type som 7.4.7. Deretter forflyttet jeg meg til seksjon 7.6 der jeg innførte arcussinus og arcustangen og utledet formelen for deres deriverte. Snakker litt mer om disse funksjonene (og arcuscosinus) neste gang før jeg tar en kort tur innom seksjon 7.5 på veien mot kapittel 8.
Notat. Opptak fra første time. Opptak fra andre time,
Torsdag 30. september: Avsluttet behandlingen av arcusfunksjoner ved å innføre arcuscosinus og gi litt flere detaljer om arcsin og arctan. Regnet også noen eksempler som viser hvordan vi kan bruke disse funksjonene i praksis. Snakket så kort om cotangens (fra seksjon 7.5) og regnet et "koblet hastighet"-problem med cotangens (i dette eksemplet mistet jeg et minus-tegn som er rettet opp i notatene). Til slutt startet jeg på kapittel 8 der jeg gikk direkte løs på seksjon 8.2 og rakk å formulere definisjon 8.2.1. (Det lå en muffins på kateteret som jeg enten fikk eller stjal. Den smakte uansett godt.)
Notat. Opptak fra første time. Opptak fra andre time.
Mandag 4. oktober: Gjorde meg ferdig med seksjon 8.2 og gikk deretter igjennom seksjon 8.3 som inneholder et av de viktigste resultatene i pensum, analysens fundamentalteorem. Mye av det vi skal gjøre i uken etter midtveiseksamen bygger på dette resultatet (men på en ganske grei måte).
Notat. Opptak første time. Opptak andre time.
Tirsdag 5. oktober: Gikk gjennom pensum fra kapittel 3-7 og regnet en del typiske oppgaver fra tidligere midtveiseksamener. Det ble kanskje litt vel mange tunge oppgaver for noen, men neste gang regner jeg midtveiseksamen fra 2014, og da kommer også flere enkle oppgaver med.
Notat. Opptak fra første time. Opptak fra andre time.
Torsdag 7. oktober: Gikk gjennom midtveiseksamen fra 2014. Fikk litt dårlig tid på slutten, men det finnes et løsningsforslag her hvis det gikk altfor fort.
Notat. Opptak før pausen. Opptak etter pausen
Mandag 18. oktober: Gikk gjennom seksjon 8.4 om ubestemte integraler og 8.5 om Riemannsummer. Den siste tok jeg ganske kjapt, og det eneste man behøver å huske herfra, er hva Riemannsummer og at de konvergerer mot integralet når oppdelingen blir finere og finere. Til slutt startet jeg på seksjon 8.6 om anvendelser av integralet. Jeg rakk å snakke om arealer under og mellom funksjonsgrafer samt volumer til omdreiningslegemer rundt x-aksen.
Notat. Opptak før pausen. Opptak etter pausen.
Tirsdag 19. oktober: Avsluttet seksjon 8.6 ved å snakke om omdreiningslegemer om y-aksen, buelengde samt arbeid som integral av kraft. Deretter gikk jeg over til seksjon 9.1 om delvis integrasjon der jeg gikk gjennom en del typiske eksempler.
Notat. Opptak før pausen. Opptak etter pausen.
Tordag 21. oktober: Avsluttet først seksjon 9.1 ved å vise to eksempler på rekursjonsformler. Gikk så over til seksjon 9.2 der jeg første viste setning 9.2.3 (uten å kalle den det), og så regnet eksempler resten av tiden. Noen av disse integralene ble visst i tyngste laget for noen. Det er mye å passe på, men tingene vil falle på plass etter hvert. Jeg gjorde en feil (glemte en faktor) rundt 26:40 av andre time, men rettet den opp (ved hjelp av publikum) noen minutter senere-
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pausen.
Mandag 25. oktober: Gikk igjennom størstedelen av seksjon 9.3 om delbrøkoppspalting, men vil fortsette med noen avsluttende eksempler og bemerkninger neste gang. To rettelser: På slutten av første time glemmer jeg en faktor 1/2 foran det ene integralet (rettet opp i notatene), og i eksemplet på side 4 av notatene glemmer jeg å gå tilbake til det opprinnelige integralet til slutt (så det endelige svaret skal være \(3\ln|x-1|\) pluss det som står på nederste linje.
Notat. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Tirsdag 26. oktober: Avsluttet seksjon 9.3 om delbrøkoppspalting og tok en tur innom integraler av typen \(\int \sin^nx\cos^mx\,dx\) i seksjon 9.4. Denne seksjonen er egentlig ikke pensum, men det er greit å ha litt greie på disse integralene siden de dukker opp ofte i MAT1110. Helt på slutten av første time begynte jeg på seksjon 9.5 om uegentlige integraler. Jeg regner med å bruke litt mer tid på dette neste gang, og setter deretter i gang med seksjon 1.1 og 1.2 fra "Flervariabel analyse med lineær algebra".
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Torsdag 28. oktober: Avsluttet seksjon 9.5 i "Kalkulus" og gikk deretter gjennom seksjon 1.1 og 1.2 i FVLA. Det skjedde et eller annet 7 minutter før slutt som kuttet zoom-lyden og stoppet opptaket, så beviset for trekantulikheten mangler på opptaket. De som gjerne vil se se dette beviset likevel, kan gå inn etter 49 minutter her.
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Mandag 1. november: Litt rotete forelesning i dag, men fikk dekket seksjon 1.3 og nesten hele 1.4 i FVLA. Nyttige ting å være klar over: I eksemplet der jeg regner ut volumet til et parallellepiped, blir vektoren (5,2,-1) til (5,2,1) fordi jeg skriver av feil. Rett dette ved å bruke (5,2,1) helt fra starten (dette er rettet i notatet). Utledningen jeg startet på 2 minutter etter pause ble så rotete at jeg tok det hele på nytt fra 12:00.
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Tirsdag 2. november: Gikk gjennom seksjon 1.5 om matriser og seksjon 1.6 om multiplikasjon av matriser. Ideelt sett burde disse seksjonene ha kommet i hver sin forelesning slik at man fikk tid til å venne seg til definisjonene i mellomtiden, men slik ble det ikke i år. Hvis dere sammenligner forelesningen med boka, vær oppmerksom på at jeg brukte \(\mathbb{R}^m\), \(\mathbb{R}^n\) og \(\mathbb{R}^k\) i litt forskjellige posisjoner (og dermed gikk litt surr i dem selv et sted) da jeg prøvde å begrunne definisjonen av matriseprodukt.
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Torsdag 4.november: Før pausen fortsatt jeg med matrisemultiplikasjon og gikk gjennom oppgave 12 fra eksamen 2011 som et eksempel på en typisk eksamensoppgave. Etter pausen begynte vi på seksjon 1.7 om inverse matriser, men fikk etter hvert så store problemer med den elektroniske pennen at forelesningen måtte avbrytes. Istedenfor video fra etter pausen har jeg lastet opp en video fra 2014 som gjør mye av det samme uten avbrytelser.
Notater. Opptak fra før pausen. Erstatningen for opptak fra etter pause (gå inn ved ca. 15:30).
Mandag 8. november: Måtte bruke tavle i dag siden Smartboardet fortsatt er ute av drift og vi ikke fikk til iPad-oppkopling. Gikk gjennom resten av 1.7 og nesten hele 1.8. Notater og opptak fra 2017 dekker nesten nøyaktig det samme stoffet, men litt mer kortfattet.
Tirsdag 9. november: Ny runde med tavleundervisning. Jeg avsluttet først seksjon 1.8 ved å rergne ut volumet til et tetraeder med oppgitte hjørner. Deretter gikk jeg over til kapittel 2 der jeg dekket 2.1 og størstedelen av 2..2. Dette opptaket fra 2014 dekker omtrent det samme stoffet fra kapittel 2 (men går litt lengre). De tilhørende notatene ligger her.
Torsdag 11. november: I dag var smartboardet i orden, men nå sviktet projektoren, så det ble en ny runde med tavleundervisning. Jeg snakket først litt mer om kontinuitet og gikk så raskt gjennom seksjon 2.3 om grenseverdier, før jeg startet på seksjon 2.4. Dette er helt klart den viktigste seksjonen i kapittel 2, og vi må bruke litt tid på den. Det siste jeg fikk gjort i dag var regnestykket frem til formel (2.4.3) i boka, så vi fortsetter derfra neste gang. Stoffet fra seksjon 2.4 er dekket av denne forelesningen 2014 (notat og opptak, se frem til ca 63:00). Stoffet om grenseverdier er dekket av denne videoen (notat og opptak, se fra ca 78 minutter og ut).
Mandag 15. november: Avsluttet pensumgjennomgangen ved å snakke om begrepet deriverbarhet fra seksjon 2.4 før pausen og deretter gå raskt gjennom seksjon 2.5 og 2.6 etter pausen. I morgen starter vi repetisjonen.
Notat. Opptak før pausen. Opptak etter pausen.
Tirsdag 16. november: Begynte repetisjonen ved å snakke om to temaer. Før pausen gikk jeg gjennom et (altfor?) langt eksempel på delbrøkoppspalting der vi fikk bruk for komplekse tall til å faktorisere nevneren. Etter pausen snakket jeg om kontinuitet og deriverbarhet, og om hvordan vi sjekker om en funksjon er kontinuerlig og/eller deriverbar i "unntakspunkter" der funksjonen enten har en skjøt eller en spesiell verdi som skiller seg fra funksjonsuttrykket ellers.
Notat. Opptak før pausen. Opptak etter pausen.
Torsdag 18. november: Før pausen reperte jeg forskjellige teknikker for å regne ut grenseverdier. Etter pausen så jeg på bruk av skjæringssetningen, ekstremalverdisetningen og middelverdisetningen, og gikk deretter raskt gjennom omvendte funksjoner og arcusfunksjoner.
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Mandag 22. november: Regnet først en uoppstilt maks/min-oppgave (eksamen 2007, del 2, oppgave 4) og så en oppgave med koblede hastigheter (oppgave 7.2.2 i Kalkulus). Deretter repeterte jeg kapittel 8 og 9 om integrasjon og integrasjonsmetoder. I morgen repeterer jeg pensum fra FVLA.
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Tirsdag 23. november: Repeterte stoffet fra FVLA. Regnet oppgave 7 fra eksamen 2020 og oppgave 2 fra 2018 for å illustrere et par typiske eksamensoppgaver. De siste minuttene snakket jeg om eksamen og litt om sensurrutiner. Her henviste jeg blant annet til instituttets vurderingkriterier der dere blant annet finner den poengsskalaen vi tar utgangspunkt i (vær oppmerksom på at denne skalaen gjelder matematiske fag og at andre fag kan ha andre skalaer basert på sine oppgavetradisjoner).
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Torsdag 25. november: Gikk igjennom disse oppgavene:
2015, oppgave 7 (substitusjon)
2020, oppgave 2 (omdreiningslegeme, ligninger)
02010, oppgave 9 (analysens fundamentalteorem, funksjonsdrøfting)
2010, oppgave 10 (rekursive følger)
2009, oppgave 9 (asymptoter, kontinuitet)
2019, oppgave 8 (kontinuitet, deriverbarhet, integrerbarhet)
Kont 2020, oppgave 7 (analysens fundamentalteorem, skjæringssetningen, asymptoter)
Prøveeksamen 2, 2017, oppgave 8 (analysens fundamentalteorem, Cauchys middelverdisetning)
Notater. Opptak før pause. Opptak etter pause.
Ekstraforelesning 30. november: Gikk gjennom disse oppgavene:
2017, oppgave 1 (retningsderivert, gradient)
2010, oppgave 13 (tallverdi, deriverbarhet, kurvedrøfting)
2017, oppgave 3 (Koblede hastigheter)
Kont 2020, oppgave 6 (Uegentlige integraler)
2018, oppgave 6 (Jacobi-matriser, deriverbarhet i flere variable)
2017, oppgave 6 (analysens fundamentalteorem, tallverdier, estimater, \(\epsilon-\delta\)-argumenter)
Kont 2014, oppgave 13 og 14 (matriser, middelverdisetningen)
Kont 2003, del 2, oppgave 4 (koblede hastigheter)
2011, oppgave 8 og 9 (uegentlige integraler)
Prøveeksamen 2 2017, oppgave 7 (uoppstilt maks/min)
Notater. Opptak
Takk for et fint semester!